北京市西城区2015-2016学年九年级上期末数学试题含答案解析

第 1 页（共 7 页） 北京市西城区 2015年九年级上期末数学试题含答案解析 一、选择题（本题共 30分，每小题 3分） 下面各题均有四个选项，其中只有 一个 是符合题意的 1 二次函数 257 的 最小值 是 A 7 B 7 C 5 D 5 【 考点 】 二次函数的图像及其性质 【 试题解析 】 当 x=5时，二次函数取最小值，最小值是 7，所以选 B 【 答案 】 B 2 如图，在 ， C=90， ， ，则 值为 A 35B 53C 45D 34【 考点 】 锐角三角函数 【 试题解析 】 , 选 A 【 答案 】 A 3 如图， C 与 两边分别相切，其中 与 C 相切于点 P 若 0， ，则 长 为 A 12 B 12 2 C 62 D 63 【 考点 】 切线的性质与判定 【 试题解析 】 P=6 0 第 2 页（共 7 页） 【 答案 】 C 4 将 二次函数 2 65y x x 用配方法化成 2()y x h k 的形式 ，下列结果中正确的是 A 2( 6 ) 5 B 2( 3) 5 C 2( 3) 4 D 2( 3) 9 【 考点 】 二次函数的图像及其性质 【 试题解析 】 选 C 【 答案 】 C 5 若一个扇形的半径是 18它的弧长是 12 此扇形的圆心角等于 A 30 B 60 C 90 D 120 【 考点 】 弧长计算 【 试题解析 】 设圆心角为 x，根据题意得： 解得： x=120 选 D 【 答案 】 D 6 如图， 在 平面 直角坐标系 ，点 A 的坐标为 ( 1 ， 2)， x 轴于点 B以原点 O 为位似中心， 将 大 为 原来的 2 倍， 得到 且 点 限 ， 则 点 坐标为 A ( 2 ， 4) B ( 12， 1) C (2， 4 ) D (2， 4) 【 考点 】 位似图形 【 试题解析 】 位似比是 2，所以 ()，横坐标和纵坐标都扩大 2倍，所以点的坐标为 () 选 A 【 答案 】 A 7 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的 南 偏东 37方向，距离 灯塔 40 海里的 A 处 ， 它 沿正 北 方向航行 一段时间后 ， 第 3 页（共 7 页） 到 达位于 灯塔 P 的正东 方向 上 的 B 处 这时， B 处 与 灯塔 P 的距离 长 可 以表示 为 A 40 海里 B 40里 C 40里 D 40里 【 考点 】 解直角三角形 【 试题解析 】 A=37 0(海里 ) 选 D 【 答案 】 D 8 如图， A， B， C 三点在已知的圆上，在 ， 0 ， 0 ， D 是 的中点， 连接 则 度数为 A 30 B 45 C 50 D 70 【 考点 】 弦、弧、圆心角的关系 【 试题解析 】 0， 0 弧 00 点 0 【 答案 】 C 9 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件 市场调查反映， 如果 调整商品售价，每 降价 1 元，每星期可多卖出 20 件 设 每件商品降价 x 元后， 每星期售出商品的 总 销售额为 y 元， 则 y 与 x 的关系式为 A 6 0 (3 0 0 2 0 ) B ( 6 0 ) ( 3 0 0 2 0 )y x x C 3 0 0 ( 6 0 2 0 ) D ( 6 0 ) ( 3 0 0 2 0 )y x x 【 考点 】 二次函数的概念及表示方法 【 试题解析 】 y=(60300+20x), 选 B 【 答案 】 B 4 页（共 7 页） 10 二次函数 228y x x m 满足以下条件：当 21x 时，它的图象 位于 x 轴的下方 ；当67x 时，它的图象 位于 x 轴的 上 方 ， 则 m 的值为 A 8 B 10 C 42 D 24 【 考点 】 二次函数的图像及其性质 【 试题解析 】 把 x=入得： 8+16+m=0 所以 m= D 【 答案 】 D 二、填空题（本题共 18分，每小题 3分 ） 11 若 34则 值为 【 考点 】 分式的基本性质 【 试题解析 】 【 答案 】 12 点 A( 3 ，1y)， B(2 ，2y)在 抛物线 2 5y x x 上 ，则1（填 “ ” ， “ 答案 】 13 三边长分别为 5， 12， 13， 与它相似的 最 小 边长 为 15，则 周长为 【 考点 】 相似三角形的应用 【 试题解析 】 根据相似比等于周长比 第 5 页（共 7 页） 所以 15： 5=3 0 所以 90 【 答案 】 90 14 如图，线段 射 线 于点 A， A=30 ， 0 点 D 在射线 ，且 钝角， 写出一个满足条件 的 长 度值： 【 考点 】 三角形的性质及其分类 【 试题解析 】 当 所以 0 ， 所以 以等于 10. 【 答案 】 10 15 程大位所著 算法统宗是 一部 中国传统数学重要的著作在算法统宗中记载： “平地秋千未起，踏板 离 地一尺 送行二步与人齐，五尺人高曾记 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉 良工高士素好奇，算出索长有几？ ” 【注释】 1步 =5尺 译文： “当秋千静止时，秋千上的踏板离地有 1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（ 10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是 5尺 美丽的姑娘 和才子们 ，每天都来争荡秋千， 欢声笑语终日不断 好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？ ” 如图， 假 设 秋千的绳索长始终保 持直线状态， 秋千的静止状态，A 是 踏 板， 地面，点 B 是 推动两步 后 踏 板的位置，弧 踏板移动的轨迹 已知 尺， B=10 尺，人 的身 高 尺 设绳索 长 B=x 尺 ，则可列方程为 【 考点 】 垂径定理及推论 【 试题解析 】 根据题意得： OE=直角三角形 【 答案 】 第 6 页（共 7 页） 16 阅读下 面 材料： 在学习圆这一章时 ，老师 给同学们布置了一道尺规作图题： 小敏 的作法 如下 ： 老师认为 小 敏 的作法 正确 请回答 ： 连接 可证 0， 其依据是 ；由此 可证明 直线 是 O 的切线 ， 其依据是 【 考点 】 切线的性质与判定 【 试题解析 】 根据定理，直径所对的圆周角是直角， 直径所对的圆周角 0 过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【 答案 】 直径所对的圆 周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 三、 解答题 （本题共 72分， 第 17 26题，每小题 5分，第 27题 7分，第 28题 7分，第 29题 8分 ） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17 计算： 24 c o s 3 0 t a n 6 0 s i n 4 5 【 考点 】 特殊角的三角函数值 尺规作图：过圆外一点作圆的 切线 已知 ： 求作 ： 经过点 （ 1） 连接 作线段 N 交 ； （ 2） 以点 交 ， （ 3） 作直线 所以直线 求作 的切线 第 7 页（共 7 页） 【 试题解析 】 原式 = = = 【 答案 】 18 如图， ， 2， 5， 点 D， 0 求 值 【 考点 】 锐角三角函数 【 试题解析 】 ， 0 在 2， 0， ， B 12 = 5， 5 6=9 在 = = 【 答案 】 19 已知抛物线 2 23y x x 与 x 轴交于 A， B 两点，点 A 在点 B 的左侧 （ 1）求 A， B 两点的坐标和 此抛物线的 对称轴； （ 2） 设 此抛物线的顶点为 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求四边形 面积 【 考点 】 二次函数的图像及其性质 【 试题解析 】 （ 1）令 ，则 解得 ， 点 的左侧， 第 8 页（共 7 页） A（ ， 0）， B（ 3， 0） 对称轴为直线 （ 2）当 时， ， 顶点 1， 4） 点 C， 点 1， ） ， 【 答案 】 (1)x=1;(2)16. 20 如图， 四边形 ， A= （ 1）求证： （ 2） 若 2， ， 5， 求 长 【 考点 】 相似三角形判定及性质 【 试题解析 】 （ 1）证明： A= （ 2） 2， ， 5， 0 【 答案 】 （ 1）见解析（ 2） 0 21 某小区有一块长 21 米，宽 8 米的矩形空地， 如图 所示 社区计划在其中修建两块 完全 相同的矩形绿地， 并且 两块绿地之间 及 四周 都 留有宽度 为 x 米 的人行通道 如果 这 两块 绿地的 面积之和为 60 平方米 ， 人行通道的宽度 应 是多少 米 ？ 第 9 页（共 7 页） 【 考点 】 一元二次方程的应用 【 试题解析 】 根据题意，得 整理得 解得 ， 不符合题意，舍去， 答：人行通道的宽 度是 2米 【 答案 】 2米 22 已知抛物线1C： 21 24y x x k 与 x 轴只有一个公共点 （ 1） 求 k 的值； （ 2） 怎样平移抛物线122 2 ( 1) 4y x k ？请写出具体的平移方法； （ 3） 若点 A（ 1， t ）和点 B（ m ， n ）都 在抛物线2C： 22 2 ( 1) 4y x k 上，且 ，直接写出 m 的取值范围 【 考点 】 二次函数的图像及其性质 【 试题解析 】 （ 1）抛物线 ： 与 方程 有两个相等的实数根 解得 （ 2）抛物线 ： ，顶点坐标为（ 1， 0）， 抛物线 ： 的顶点坐标为（ 将抛物线 向左平移 2个单位长度，再向下平移 8个单位长度就可以得到抛物线 （ 3） 【 答案 】 （ 1） （ 2）见解析（ 3） 23 如图， O 的一条弦，且 3 点 C， E 分别在 O 上，且 点 D， E=30， 连接 （ 1）求 长 ； 第 10 页（共 7 页） （ 2） 若 O 的另一条弦，且点 O 到 距离为 22， 直接写出 度数 【 考点 】 圆的综合题 【 试题解析 】 （ 1） ， B， 0 ， E， E=30， 0 在 ， =4 （ 2） 5或 15 【 答案 】 （ 1） 4;（ 2） 75或 15 24 奥林匹克公园观光塔 由 五 座高度不等、错落有致的独立塔组成 在综合实践活动课中， 某小组的同学决定 利用测角仪测量 这五座塔中最高塔的高度 （ 测角仪 高度 忽略不计 ） 他们的 操作 方法 如下 ： 如图， 他们 先在 B 处测得 最高塔塔 顶 A 的仰角为 45， 然后 向 最高塔的塔基 直行 90 米到达 C 处，再 次 测得 最高塔 塔 顶 A 的仰角为 58 请 帮助 他们 计算出 最高塔 的高度 为多少米 （ 参考数据 ： 【 考点 】 解直角三角形 第 11 页（共 7 页） 【 试题解析 】 在 0， B=45， 0 B=45 B B 设 AD=x， 在 ， 8， D， 0， +90=x 将 解得 x 240 答：最高塔的高度 为 240米 【 答案 】 240m 25 如图， 接于 O， O 的直径 O 的切线， C 为切点 ， 点 D， 交 点 E （ 1） 求证： （ 2） 若 0， 2， 5，求 长 【 考点 】 圆的综合题 【 试题解析 】 （ 1）证明：连接 图 1 1+ 2=90 ， 0 第 12 页（共 7 页） A+ 3=90 C， A= 1 2= 3 3= 4， 2= 4 即 （ 2）作 ，如图 2 0 在 0， ， B =8 在 ， = C 2= 4， C ， ， 0 2+ 5=90 A+ 2= 1+ 2=90 A= 5 5 = 在 = 第 13 页（共 7 页） 【 答案 】 见解析 26 阅读下 面 材料： 如图 1，在平面直角坐标系 线1y ax b与 双曲线2 ky x交于 A（ 1， 3）和 B（ 3 ， 1 ）两点 观察图象可知 ： 当 3x 或 1时，12 当 30x 或 1x 时，12即 通过 观察 函 数的 图象，可以得到不等式 的解集 有这样一个问题：求不等式 324 4 0x x x 的解集 某同学根据学习以上知识的经验，对求 不等式 324 4 0x x x 的解集进行了探究 下面是他的探究过程，请 将（ 2）、（ 3）、（ 4） 补充完整： （ 1）将不等式按条 件进行转化 当 0x 时，原不等式不成立； 当 0x 时，原不等式可以转化为 2 441 ； 当 0x 时，原不等式可以转化为 2 441 ； （ 2）构造函数，画出图象 设 23 41y x x ，4 4y x，在同 一坐标系 中分别画出这两个函数的图象 双曲线4 4y x如图 2 所示，请在此坐标系中 画出抛物线 23 41y x x ； （不 用 列表） （ 3）确定两个函数图象公共点的横坐标 图 1 图 2 第 14 页（共 7 页） 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知： 满足34所有 x 的值为 ； （ 4）借助图象，写出解集 结合（ 1）的讨论结果，观察两个函数 的图象可知：不等式 324 4 0x x x 的解集为 【 考点 】 反比例函数与一次函数综合 【 试题解析 】 （ 2）抛物线如图所示； （ 3）根据图像，两个函数的相交时 到 ， 或 ； （ 4）根据函数图像 或 在 上面，成立 【 答案 】 见解析 27 如图，在平面直角坐标系 ， 二次函数 212y x b x c 的图象 经过点 A（ 1 ， 0 ） ，且当 0x 和 5x 时 所 对应 的函数值相等 一次函数 3 与 二次函数212y x b x c 的图象 分别交于 B， C 两点，点 B 在第 一 象限 （ 1） 求 二次函数 212y x b x c 的 表达 式； （ 2） 连接 求 长 ； （ 3） 连接 M 是线段 中点， 将点 B 绕点 M 旋转 180得到点 N，连接 断四边形 形状 ， 并 证明你的结论 第 15 页（共 7 页） 【 考点 】 二次函数与一次函数综合 【 试题解析 】 （ 1）二次函数 ， 当 和 时所对应的函数值相等， 二次函数 的图象的对称轴是直线 二次函数 的图象经过点 A（ ， ）， 解得 二次函数的表达式为 （ 2）过点 D ，如图 1 一次函数 与二次函数 的图象分别交于 B， 解得 ， 交点坐标为（ 2， 1），（ 5， ） 点 点 2， 1） 点 2， ） 在 ， ， = （ 3）结论：四边形 证明：设一次函数 的图象与 ，连接 图 2 点 旋转 180得到点 N， 第 16 页（共 7 页） 四边形 一次函数 的图象与 ， 当 时， 点 3， 0） = 在 5 同理 5 0 四边形 【 答案 】 见解析 28 在 ， 0， C= 4， M 为 中点 D 是 射线 一个动点，连接线段 点 A 逆时针旋转 90得到线段 接 N 为 中点，连接 （ 1） 如图 1，当 时， _， 位置关系是 _； （ 2） 当 4 时， 依题意补全图 2； 判断 （ 1） 中 位置关系是否发生变化，并证明你的结论； （ 3） 连接 点 D 运动的过程中， 当 长为何值时， 长 最小？ 最小值 是多 第 17 页（共 7 页） 少？请直接写出结果 图 1 图 2 备用图 【 考点 】 图形的旋转 【 试题解析 】 （ 1） ，垂直； （ 2）补全图形如图所示； 结论：（ 1）中 证明： 0， C， B=45 5 逆时针旋转 90得到线段 E， 0 5， 45， 0 在 = 在 = 第 18 页（共 7 页） 点 80 90 0 （ 3）当 6 时， 为 2 【 答案 】 见解析 29 在平面直角坐标系 ， 过 C 上一点 P 作 C 的 切线 l 当入射光线照射在点 P 处时，产生反射，且满足：反射光线与切线 l 的夹角 和 入射光线与切线 l 的夹角相等，点 P 称为反射点 规定 ： 光线不能 “ 穿 过” C，即 当入射光线 在 C 外时 ，只在 圆 外 进行反射；当入射光线 在 C 内 时 ，只在