高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算课堂探究 新人教B版必修1.doc

3.2.1 对数及其运算课堂探究探究一 对数式与指数式的互化由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其关系如下表：式子名称意义axn指数式axn底数指数幂a的x次幂等于n对数式loganx底数对数真数以a为底n的对数等于x【典型例题1】完成下表指数式与对数式的转换题号指数式对数式(1)1031 000(2)log392(3)log210x(4)e3x解析：(1)1031 000log101 0003，即lg 1 0003；(2)log392329；(3)log210x2x10；(4)e3xlogex3，即ln x3.答案：(1)lg 1 0003(2)329(3)2x10(4)ln x3探究二 对数基本性质的应用1对数恒等式alogann的应用(1)能直接应用对数恒等式的求值(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解2利用对数的基本性质求值时经常用到两个关键的转化(1)logax1xa(a0，且a1)(2)logax0x1(a0，且a1)我们常用其来实现一些较复杂的指数式的转化【典型例题2】(1)若log3(lg x)1，则x_；(2)求值：4_.解析：(1)log3(lg x)1，lg x3.x1031 000.(2)原式2(log29log25).答案：(1)1 000(2) 点评 在对数的相关运算中，除了对数的定义外，应灵活应用如loga10，logaa1，alogamm等常用性质，另外要特别注意真数与底数的取值要求，做到及时检验探究三 对数运算法则的应用对数运算法则的使用技巧及注意事项：1“收”：同底的对数式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂等，然后化简求值，如log24log25log220.2“拆”：将式中真数的积、商、幂等运用对数的运算法则把它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值，如log2log29log25.3各字母的取值范围即字母的取值必须保证底数大于0且不等于1，真数大于0.4注意“同底”这个化简的方向，因为同底的对数才可能利用对数的运算法则5要保证所得结果中的对数与化简过程中的对数都有意义【典型例题3】化简下列各式：(1)4lg23lg5lg；(2)；(3)2log32log3log385.思路分析：利用对数的运算法则，将所给式子转化为积、商、幂的对数解：(1)原式lg lg(2454)lg(25)44；(2)原式；(3)原式2log32(5log322)3log3232log325log3223log3231.点评 (1)注意对数运算法则的正用和逆用；(2)综合运用对数运算法则时应注意掌握变形技巧，如化为最简形式或统一底数等探究四 对数换底公式的应用1应用换底公式表示已知对数的两个策略2利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式(1)技巧：“化异为同”，即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算(2)常见的三种处理方式：借助运算性质：先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底求解借助换底公式：一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值利用对数恒等式或常见结论：有时可熟记一些常见结论，这样能够提高解题效率【典型例题4】(1)计算lglglg12.5log89log98的值；(2)已知log189a,18b5，求log3645.解：(1)原式lglg1010.(2)方法一：log189a,18b5，log18 5b.于是log36 45.方法二：log189a,18b5，log185b.于是log3645.方法三：log189a,18b5，lg 9alg18，lg 5blg18.log36 45.点评 在解题过程中，根据问题的需要将指数式转化为对数式，或者将对数式转化为指数式，这正是数学转化思想的具体体现，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用探究五 易错辨析易错点忽视底数的限制条件而致误【典型例题5】已知log(x3)(x23x)1，求实数x的值错解：由对数的性质，可得x23xx3，解得x1或x3.错因分析：错解中忽视了对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1.正解：由对数