黑龙江省大庆市喇中高考数学 三角函数模型的简单应用练习.doc

三角函数模型的简单应用练习1、现有一个以oa、ob为半径的扇形池塘，在oa、ob上分别取点c、d，作deoa、cfob交弧ab于点e、f，且bd=ac，现用渔网沿着de、eo、of、fc将池塘分成如图所示的三种的养殖区域若oa=1km，（1）求区域的总面积；（2）若养殖区域、的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元 试问当为多少时，年总收入最大？2、如图,在直角三角形中， ,点在线段上。（1）若,求的长；（2）若点在线段上，且，求的面积最小值，并求的面积最小时的长。3、如图，某大风车的半径为2 ，每6 s旋转一周，它的最低点离地面 m风车圆周上一点从最低点开始，运动（s）后与地面的距离为(m)，则函数的关系式（ ）a b c d 4、如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以pq为斜边的等腰直角三角形prq构成，其中o为pq的中点现准备在公园里建设一条四边形健康跑道abcd，按实际需要，四边形abcd的两个顶点c、d分别在线段qr、pr上，另外两个顶点a、b在半圆上，abcdpq，且ab、cd间的距离为1km设四边形abcd的周长为ckm（1）若c、d分别为qr、pr的中点，求ab长；（2）求周长c的最大值5、如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以pq为斜边的等腰直角三角形prq构成，其中o为pq的中点现准备在公园里建设一条四边形健康跑道abcd，按实际需要，四边形abcd的两个顶点c、d分别在线段qr、pr上，另外两个顶点a、b在半圆上，abcdpq，且ab、cd间的距离为1km设四边形abcd的周长为ckm（1）若c、d分别为qr、pr的中点，求ab长；（2）求周长c的最大值6、郑州市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似的为圆面，该圆面的内接四边形abcd是原棚户区建筑用地，测量可知边界ab=ad=4万米，bc=6万米，cd=2万米。（1）请计算原棚户区建筑用地abcd的面积及线段ac的长；（2）因地理条件的限制，边界ad,dc不能变更，而边界ab,bc可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一点p，使得棚户区改造的新建筑用地apcd的面积最大，并求最大值。7、如图，a、b是单位圆o上的点，c、d分别是圆o与x轴的两个交点，abo为正三角形（1）若点a的坐标为，求cosboc的值；（2）若aoc=x（0x），四边形cabd的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值8、如图，正三角形的边长为，分别在三边，和上，且为的中点，（1）当时，求的大小；（2）求的面积的最小值及使得取最小值时的值。9、如图，摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处（1）根据条件写出（米）关于（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过米?10、某休闲农庄有一块长方形鱼塘abcd，ab=50米，bc=米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊oe、ef和of，考虑到整体规划，要求o是ab的中点，点e在边bc上，点f在边ad上，且eof=90(1)设boe=，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用11、在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与 中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正 方形的面积是，小正方形的面积是的值等于（ ）a1 b c d12、某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增下表是今年前四个月的统计情况：月份1月份2月份3月份4月份收购价格（元/斤）6765养殖成本（元/斤）34465现打算从以下两个函数模型：，中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数解析式；（2）按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损?13、如图，某兴趣小组测得菱形养殖区abcd的固定投食点a到两条平行河岸线l1、l2的距离分别为4米、8米，河岸线l1与该养殖区的最近点d的距离为1米，l2与该养殖区的最近点b的距离为2米 （1）如图甲，养殖区在投食点a的右侧，若该小组测得bad60，请据此算出养殖区的面积s，并求出直线ad与直线l1所成角的正切值； （2）如图乙，养殖区在投食点a的两侧，试求养殖区面积s的最小值，并求出取得最小值时bad的余弦值14、如图，一条宽为1km的两平行河岸有三个工厂、，工厂与、的直线距离都是2km，与河岸垂直，为垂足现要在河岸上修建一个供电站，并计划铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km、4万元/km（）已知工厂与之间原来铺设有旧电缆（原线路不变），经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km现决定将供电站建在点处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值；（）如图，已知供电站建在河岸的点处，且决定铺设电缆的线路为、，若，试用表示出总施工费用（万元）的解析式,并求总施工费用的最小值15、设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.t036 912151821 24y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.根据上述数据，函数的解析式为（ ） a bc d16、如图，一个水轮的半径为，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间。（1）将点距离水面的高度表示为时间的函数，求其解析式；（2）求点第一次到达最高点时所需要的时间。17、如图，在海岸线ef一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段fgbc，该曲线段是函数y=asin（x+）（a0，0，（0，），x4，0的图象，图象的最高点为b（1，2）边界的中间部分为长1千米的直线段cd，且cdef游乐场的后一部分边界是以o为圆心的一段圆弧（1）求曲线段fgbc的函数表达式；（2）曲线段fgbc上的入口g距海岸线ef最近距离为1千米，现准备从入口g修一条笔直的景观路到o，求景观路go长；（3）如图，在扇形ode区域内建一个平行四边形休闲区ompq，平行四边形的一边在海岸线ef上，一边在半径od上，另外一个顶点p在圆弧上，且poe=，求平行四边形休闲区ompq面积的最大值及此时的值18、某风景区在一个直径ab为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点a与圆弧上的一点c之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点c到点b设计为沿弧bc的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带.（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（i）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；（ii）试确定的值，使得绿化带总长度最大.19、某大型企业一天中不同时刻的用电量（单位：万千瓦时）关于时间（，单位：小时）的函数近似地满足，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量与时间的大致图象（）根据图象，求，的值；（）若某日的供电量（万千瓦时）与时间（小时）近似满足函数关系式（）当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）.参考数据:（时）10111211.511.2511.7511.62511.6875（万千瓦时）2252.4332.52.482.4622.4962.4902.493（万千瓦时）53.522.753.1252.3752.5632.46920、如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路oc；另一侧修建一条休闲大道，它的前一段od是函数的一部分，后一段dbc是函数时的图象，图象的最高点为，垂足为f（i）求函数的解析式；（ii）若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园pmfe，问点p落在曲线od上何处时，儿童乐园的面积最大？ 答 案1、（1）因为，所以因为，deoa，cfob， 所以 又因为，所以所以 2分所以 所以，所以， 6分（2）因为，所以 所以， 10分所以，令，则 12分当时，当时，故当时，y有最大值答：当为时，年总收入最大 15分2、（1）在中由余弦定理，或 （2）设，在中由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：， 当时，取最小值为，此时为。3、c4、（1）解：连结ro并延长分别交ab、cd于m、n，连结ob，c、d分别为qr、pr的中点，pq=2，prq为等腰直角三角形，pq为斜边，mn=1，在rtbmo中，bo=1， （2）设bom=，在rtbmo中，bo=1，bm=sin，om=cosmn=1，cn=rn=1on=om=cos，当sin+cos=，即有sin2=，即或时取等号当或时，周长c的最大值为km5、（1）解：连结ro并延长分别交ab、cd于m、n，连结ob，c、d分别为qr、pr的中点，pq=2，prq为等腰直角三角形，pq为斜边，mn=1，在rtbmo中，bo=1， （2）设bom=，在rtbmo中，bo=1，bm=sin，om=cosmn=1，cn=rn=1on=om=cos，当sin+cos=，即有sin2=，即或时取等号当或时，周长c的最大值为km6、（1）四边形abcd内接于圆， -1分连接ac由余弦定理得,又,-3分又，故-4分（万平方米）.在中，由余弦定理，.-6分(2) ,又-7分设则.-9分又由余弦定理，-10分当且仅当时取等号.所以，面积最大为万平方米。-12分7、解：（1）abo为正三角形boa=60点a的坐标为tanaoc=，sinaoc=，cosaoc=cosboc=cos（aoc+60）=cosaoccos60sinaocsin60=；（2）由余弦定理可知ac=2sin，bd=2sin（），ab=ob=1，cd=2，=，0x当x=时，ymax=58、（1）；（2）当时，取最小值分析：在中，由正弦定理得，2分在中，由正弦定理得4分由，得，整理得，5分所以6分（2）10分当时，取最小值12分9、）（1）由题设可知， 1分又，所以， 3分从而，再由题设知时，代入，得，从而， 5分因此，. 6分（2）要使点距离地面超过米，则有， 8分即 ，又解得，即 10分所以，在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过米的时间有分钟. 12分10、(1)在rtboe中，ob=25, b=90，boe=，oe=. 在rtaof中，oa=25, a=90，afo=，of=. 又eof=90，ef=,，即当点f在点d时，这时角最小，求得此时=；当点e在c点时，这时角最大，求得此时=故此函数的定义域为. (2)由题意知，要求建设总费用最低，只要求的周长的最小值即可.由（1）得，设，则， 由，得，从而，当，即be=25时，,所以当be=af=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 11、b12、（1）选择函数模型拟合收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系，1分由题：，3分由题图象：图象过点，一解为， 5分选择函数模型拟合养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系6分由题：图象过点， 8分解得：， 10分（2）由（1）：当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，这说明第8、9、11、12这四个月收购价格低于养殖成本，生猪养殖户出现亏损。14分答：今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损。 15分13、（1）设与所成夹角为，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得， 解得，所以，养殖区的面积；（5分）（2）设与所成夹角为，则与所成夹角为 ，对菱形的边长“算两次”得，解得，所以，养殖区的面积，由得， 【要修改为：列表求最值】经检验得，当时，养殖区的面积 答：（1）养殖区的面积为；（2）养殖区的最小面积为（15分）14、（1）（1）过作于，地下电缆的最短线路为 该方案总费用为（万元）（2），则 设 则 由得 列表 ,则 此时因此施工总费用的最小值为万元，其中15、a16、（1）如图建立直角坐标系，设角是以为始边，为终边的角，每分钟内所转过的角为 ，（3分）得，（5分）当时，,得，即，（8分）故所求的函数关系式为（9分）（2）令，得，（11分）取，得，故点第一次到达最高点大约需要秒17、（1）由题意可得a=2，t=12，代入点求，从而求解析式；（2）令求解x，从而求景观路go的长；（3）作图求平行四边形的面积sompq=ompp1=（2cossin）2sin=sin（2+），（0，）；从而求最值解答： 解：（1）由已知条件，得a=2，又，又当x=1时，有，曲线段fbc的解析式为（2）由得，x=6k+（1）k4（kz），又x4，0，k=0，x=3，g（3，1），；景观路go长为千米（3）如图，作pp1x轴于p1点，在rtopp1中，pp1=opsin=2sin，在omp中，=，om=2cossin，sompq=ompp1=（2cossin）2sin=sin（2+），（0，）；当2+=时，即=时，平行四边形面