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小学五年同步辅导专题【本讲教育信息】一. 教学内容： 用“弦图”求面积 同学们，你们好！今天，我们一起来研究“弦图”的知识。 这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。 三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。 我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。（一）阅读思考 例1. 有一大一小的两个正方形（如下图），对应边之间的距离都是1厘米，如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？ 分析与解答：要想求出图中大正方形的面积，根据公式，只要先求出大正方形或小正方形的边长就行。下面我们就设法求出这两个量中的某个量。 解这道题有很多种方法；但都要添加辅助线。 方法1： 方法2： 方法3： 方法4： 图中两个梯形共12平方厘米，它们每个面积是平方厘米，因为梯形的高是2厘米，所以梯形上下底之和是厘米，上下底之差是2厘米，所以梯形的上底（大正方形边长）是4厘米，所以大正方形面积是平方厘米。 例2. 从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？ 分析与解答：我们可以将四个剩下的长方形这样的木板拼成一个如下图的“弦图”。 从图中可以看出，中间的小正方形面积是平方米，大正方形的面积是平方米。 由于，所以大正方形的边长是4.5米。也就是剩下的长方形的长和宽的和是4.5米，长与宽的差是0.5米。从图中也可以看出，大正方形的边长小正方形边长长方形宽2，所以长方形的宽是2米，那么长是2.5米。所以锯下的木条的面积是平方米。（二）尝试体验 1. 四个完全一样的长方形木板，拼成如图的正方形，大正方形周长32厘米，小正方形周长8厘米。求：每块长方形木板的面积和周长。 2. 同样大小的长方形纸片摆成下面这样的图形。已知每张小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。 3. 四个相同的小长方形，宽是1厘米，它们的面积和是12平方厘米，求正方形ABCD的面积。 4. 有9张相同的小长方形卡片，摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长是18厘米，宽是4厘米，求大长方形的面积。 5. 从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？ 6. 计划修一个正方形的花坛，并在花坛周围铺上宽2米的草坪，草坪的面积是40平方米，那么修建花坛需占地多少平方米？答案见名师面授！【模拟试题】（答题时间：40分钟）1、有一条红色的正方形丝巾，它的边长是30厘米，丝巾上横竖各有两道宽均为5厘米的黑条，如图中的阴影部分，则丝巾黑色部分的面积是_平方厘米。2、四个一样的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形，如图，已知大、小正方形的面积分别为81和25平方厘米，则长方形的长是_厘米，宽是_厘米。3、如图，用同样大小的长方形纸片拼成一个大长方形，已知，每张小纸片的宽是8厘米，则阴影部分的面积的和是_平方厘米。4、一个斜边是40厘米的直角三角形，两条直角边之差是6厘米，则这个直角三角形的面积是_平方厘米。5、用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框，如图，边框的外周长为288厘米，里面的小正方形面积为1600平方厘米，则每块长方形砖的长是_厘米，宽是_厘米。6、计划修一个正方形的花坛，并在花坛的周围铺上宽4米的甬道，甬道的面积是80平方米，那么修建花坛（包括甬道）需占地_平方米。7、如图，小长方形的长是宽的2倍，两个长方形对应边的距离是1厘米，夹在大、小两个长方形之间的面积是64平方厘米，则小长方形的面积是_平方厘米。8、26个长为6厘米的小纸片，摆成如图所示的图形，则阴影部分的面积和是_平方厘米。试题答案】1、答案：500 解析：丝巾黑色部分的面积为（平方厘米）。2、答案：7，2 解析：由已知得，大正方形的边长为9厘米，小正方形的边长为5厘米，又因为长方形的长加宽等于大正方形边长，长减去宽等于小正方形边长，所以长方形的长为（95）27（厘米），宽为（95）22（厘米）。3、答案：48 解析：由原图可知，5个小长方形的长等于3个小长方形的长加3个宽，所以2个小长方形的长等于3个长方形的宽，则小长方形的长为（厘米）， 每个小阴影部分的边长为1284（厘米）， 所以阴影部分面积的和为44348（平方厘米）。4、答案：391 解析：用四个这样的直角三角形拼成如图所示的大正方形。 大正方形的面积为（平方厘米）， 小正方形的面积为6636（平方厘米），一个直角三角形的面积为（160036）4391（平方厘米）。5、答案：28，16 解析：由原图可知长方形砖的2个长加上1个宽为288472（厘米），由已知得，小正方形的边长为40厘米，即长方形砖的2个长减去1个宽为40厘米，所以长方形砖的长为（厘米），宽为（厘米）。6、答案：81 解析：如图，小长方形的面积为80420（平方米），小长方形的长为2045（米），大正方形的边长为459（米），所以修建花坛需占地为9981（平方米）。7、答案：200 解析：如图，长方形A的面积为（6414）610（平方厘米），长方形A的长为10110（厘米），所以小长方形的面积为（102）10200（平方厘米）。8、答案：8 解析：由原图可知，3个小纸片的宽等于它的长，所以小纸片宽为632（厘米），每个小阴影部分的边长为小纸片的宽，所以阴影部分的面积和为2228（平方厘米）。【本讲教育信息】一. 教学内容： 图形的组合 同学们，你们好！今天我们一起来研究“图形的组合”。在我们解答的几何问题中，有一些是要将一个图形分割成若干块后，再拼成一个新的图形，仍然需要从计算中得到启发。（一）阅读思考 例1. 有一个长24厘米，宽15厘米的长方形，请你把它切成两块，拼成一个长20厘米，宽18厘米的新长方形。 分析与解答：我们可以先对比一下原来的长方形和新拼成的长方形的长、宽，可以看出：原来的长比新的长多4厘米，新的宽比原来的宽多3厘米，所以我们可以考虑将原来的长方形分割成一些（平方厘米）的小长方形。 因为新长方形的长为20厘米，应减少一个小长方形，而新长方形的宽为18厘米，应增加一个小长方形。 我们可以沿着对角线的方向，把它剪成呈阶梯状的2块，并使它们形状和大小完全一样，再把它们错位互相“咬”在一起，就组成了新的长方形。 例2. 请将下图切成两块，拼成一个的长方形。 分析与解答：我们通过观察图可以看出，这个图中的长边是7个长度单位，短边是3个长度单位。要拼成一个的长方形，可以把它分为上下两部分。 分割后，上边部分向左移动与下边部分“咬合”。 例3. 一个等腰三角形，如下图，它的高是底的2倍，把它剪成三部分，拼成一个正方形。 分析与解答：要把这个三角形拼成一个正方形，肯定要用到它的底，把它的底作为正方形的一条边，因为它的高是底的两倍，所以应从它高的中点处将它分为上下两部分。再将上半部分分为两半，分别放置在下半部分的两侧，就可以组成正方形了。（二）尝试体验 1. 将下图切分成两块，然后拼成一个正方形（每个小正方形的边长为1）。 2. 将长和宽分别为9厘米和16厘米的长方形纸片切分成两块，然后拼成一个正方形。 3. 下图是一块废木板，阴影部分为空缺，尺寸如图所示（单位：厘米）。把它锯成两块，然后拼成一个正方形。 4. 将下图分成四个形状和大小都相同的图形，然后将分得的图形拼成一个正方形。 以上答案请见名师面授！【模拟试题】（答题时间：40分钟）1、如图，将图形分成两块，然后拼成一个正方形。2、如图，将图形分成四个形状相同，大小相等的四个部分，然后拼成一个正方形。3、有一块长6米、宽3米的长方形地毯，现要把它放到长4.5米、宽4米的房间中，请将它剪成形状相同，大小相等的两块，使其正好铺满房间。4、将图分成两块，然后拼成一个正方形。5、如图，将图形分成四个形状、大小相同的图形，然后拼成一个正方形。6、如图是一块正中间有长方形孔的长方形木板，尺寸如图所示（单位：厘米），把它锯成两块，拼成一个面积为100平方厘米的正方形。7、如图，将图形分成形状、大小都相同的四块，且每块中含有一个数字。8、如图，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个。【试题答案】【本讲教育信息】一. 教学内容： 图形的分割【典型例题】 例1. 将图1中正方形分割成形状和大小一样的四块，并且每一块恰好有1、2、3、4四个数字。图1 分析与解：根据图形的对称性，将一个正方形分成形状和大小一样的四块，一般可以从正方形的中心点开始分，只要能设法找到其中一块的大小和形状，那么围绕中心点旋转，就会得到第二块，接着转下去，每次转，就会得到第三块，第四块。 怎样找出关键的第一块呢？因为每一块中只有1、2、3、4四个数字，所以相同的两个数字必须分开，我们先将两个并列在一起的“4”分开，在两个“4”之间画上一段划分线，然后将它分别绕中心旋转，得到另外三段划分线，如图2，仿照上述方法，可以画出所有这样的划分线，如图3。图2 图3 中间的四个小方格，必然，分属于四小块，不可能两格同属于一块，因此也要分开，注：要这个正方形的面积是个面积单位，因此切分后的每一块的面积为16个面积单位，即由16个小方格组成，在图3的基础上，从最里层开始沿着划分线，根据题目要求，就容易得到答案了。 具体分法见图4，图中的两块阴影和两块空白部分将图3分成形状和大小一样四块，并且每块中有1、2、3、4四个数字。图4 例2. 将图5中图形分成形状相同、面积相等的两部分，应怎么分？图5 分析与解：为了方便，可先将图分成许多的小正方形，如图6，由此可知，图形的面积为32个面积单位，每一部分的面积应为16个面积单位，为了保证分成的两个图形形状相同，根据最长边为8，其次为7，以及原图形的形状，可知每一部分的最长边只能为7，用两种阴影分别表示出来，下面继续进行类似的推理，可以找到答案。图6 具体分法见图7，图中的阴影和空白部分将图5分成了形状相同，面积相等的两部分。图7 例3. 图8是由三个同样大小的正三角形组成的，请把它分成形状相同、面积相等的四块。图8 分析与解：把三个同样大小的正三角形平均分成四份，每份应占正三角形的，因此先把每个正三角形四等分，选择其中的三份。图9二. 尝试体验，合作交流： 1. 把图10分成形状相同、面积相等的四份，应怎么分？ 2. 学校有一块正方形的小树林（如下图），里面正好有12棵树，现在学校要把它划分成四块交给四个班的同学看护，要求每块的形状和大小都相同，并且每块中都有三棵树，怎么分？ 3. 下图是由五个同样大小的正方形组成的，请把它分成形状相同，面积相等的四块。 4. 下图是一个直角梯形，请在它的内部画一条直线段，把梯形分成形状相同，面积相等的两部分。 5. 下图是一个正六边形，过A点在正六边形内引两条直线段，把正六边形分成面积相等的三部分。 6. 如下图，一个正三角形形状的土地上有四口水井，要把这块地分成和它形状相同的四小块，要求每小块的面积相等，并且每一块中都要有一口水井，应该怎样分？ 以上答案请见名师面授！【模拟试题】1、如图，DE2BD，BE3EC，AFFE，三角形ABC的面积是18平方厘米，则三角形ADF的面积是_平方厘米。2、如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，则阴影部分的面积和是_平方厘米3、如图，AE3EC，BF4FC，三角形AEF的面积是6平方厘米，则三角形ABC的面积是_平方厘米。4、如图，已知BC6BD，AB5BE，三角形BDE的面积是1，则三角形ABC的面积是_。5、如图，ABCD是平行四边形，则梯形EBCD的面积是三角形AED的面积的_倍。6、如图，三角形ABC的面积是6平方厘米，AB2AE，DC4AC，则三角形ADE的面积是_平方厘米。7、如图，三角形ABC的面积是12平方厘米，DC3BD，ACCE，则三角形ADE的面积是_平方厘米。8、如图，长方形ABCD的长是12，宽是8，E是BC的中点，F是CD的中点，则阴影部分的总面积是_。【试题答案】1、答案：4.5解析：由已知（平方厘米），所以（平方厘米）。2、答案：15 解析：由原图可知（平方厘米） 又因为 所以（平方厘米）。 故阴影部分的面积和为（平方厘米）。3、答案：40 解析：因为AE3EC，所以，（平方厘米）， 又由 所以（平方厘米）。4、答案：30 解析：连结AD，因为AB5BE，所以 又因为BC6BD，所以5、答案：2 解析：连结BD，因为，所以 设，则则 故梯形EBCD的面积是三角形AED面积的422（倍）。6、答案：15 解析：因为DC4AC，所以（平方厘米）， 又因为AB2AE，所以（平方厘米）。7、答案：18 解析：因为DC3BD，所以（平方厘米）， 又因为ACCE，所以（平方厘米）。8、答案：32解析：如图，连结AC，交BD于O，连结CM，因为AOOC，所以有又因为E为BC的中点，所以有且所以在三角形ABC中，阴影部分的面积占三角形ABC面积的。同理，在三角形ADC中，阴影部分的面积占三角形ADC面积的，所以图中的阴影部分面积是长方形ABCD的，即【本讲教育信息】一. 教学内容： 添辅助线求面积（一）阅读思考 例1. 如下图，已知：在四边形AECF中，AE和EC垂直，CF和AF垂直。AE8，AB7，CD4，CF10。（单位：厘米） 求：阴影部分面积 分析与解答：ABCD是一个任意四边形，没有办法直接求出它的面积。但如果连接A和C，这条辅助线就把四边形ABCD分成两个三角形，和。 是以AB为底，它的高是CF。所以的面积是平方厘米。 同样，的底是CD，高是AE，的面积是 平方厘米 所以四边形ABCD的面积是 平方厘米 例2. 如下图，已知ABCD是平行四边形，AC是对角线，AC3CG，AEEFFB，的面积是6平方厘米，求：平行四边形ABCD的面积。 分析与解答：连接GB，因为AEEFFB，所以、的面积都相等，都等于6平方厘米，因此的面积是平方厘米 因为AC3GC，所以AG2GC，所以的面积是面积的2倍，的面积是1829平方厘米，的面积是18927平方厘米。 因为AC是平行四边形ABCD的对角线，和的面积相等。因此平行四边形ABCD的面积是平方厘米 例3. 如下图，已知ABCD是长方形，A、D、E和F在一条直线上，AB7，BC5，DG3。（单位：厘米），求DE的长。 分析与解答：我们先添上一条辅助线，连接C和E。这样可以得到一个三角形BCE。的底是BC，高与AB相等。所以的面积是平方厘米。 是由和组成。的底是BC，高是CG，CG的长是734厘米。所以的面积是平方厘米。那么的面积是平方厘米 而的底是GC，高与DE相等。所以DE的长是： 厘米（二）尝式体验 1. 的面积是12平方厘米，F是CD的中点。求阴影部分的面积。 2. 在中，D、E和F分别为AC、AB和AD的中点。的面积是4平方厘米。厘米，求以BC为底时，它的高是多少厘米？ 3. 求下图中阴影部分的面积（单位：厘米） 4. 下图中正方形的面积为18.75平方厘米。在正方形内有两条平行于对角线的线段把正方形平均分成面积相等的三份。求图中的平行线段长是多少厘米？ 5. 在长方形ABCD中，AB6厘米，BC10厘米，E、F分别为AD、CD中点，EG2FG。求阴影部分面积。参考答案： 1. 的面积是12平方厘米，F是CD的中点。求阴影部分的面积。 答：5平方厘米 2. 在中，D、E和F分别为AC、AB和AD的中点。的面积是4平方厘米。厘米，求以BC为底时，它的高是多少厘米？ 答：12.8厘米 3. 求下图中阴影部分的面积（单位：厘米） 答：24面积单位 4. 下图中正方形的面积为18.75平方厘米。在正方形内有两条平行于对角线的线段把正方形平均分成面积相等的三份。求图中的平行线段长是多少厘米？ 答：5厘米 5. 在长方形ABCD中，AB6厘米，BC10厘米，E、F分别为AD、CD中点，EG2FG。求阴影部分面积。 答：7.5面积单位【模拟试题】（答题时间：30分钟）1、一个正方形，将它的一边截去15厘米，另一边截去10厘米（见图1），剩下的长方形比原来正方形的面积减少了1725平方厘米，求剩下的长方形的面积。图12、在平行四边形ABCD中，两条直线EF、GH分别平行于平行四边形的两邻边，它们的交点O在对角线BD上（见图2）。已知小平行四边形AEOG、GOFD的面积分别为7平方厘米和1平方厘米，求平行四边形ABCD的面积是多少？图23、如图3所示，梯形ABCD的面积是45平方厘米，高6米，AED的面积是5平方米，BC10米，求阴影部分面积。图34、如图4所示，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米。求阴影部分的面积。图45、如图5所示，正方形ABCD的边长为6厘米，ABE、ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。【试题答案】1、解：根据条件画出答图1，其中甲、乙、丙为截去的部分。答图1由题可知，丙是长15厘米、宽10厘米的矩形，面积为1510150（平方厘米）因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长，乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长，所以可将两者拼成答图1的矩形。答图1矩形的宽等于101525（厘米），长等于原正方形的边长，面积等于（甲丙）（乙丙）（甲乙丙）平方厘米）所以原正方形的边长等于18252575（厘米）。剩下的长方形的面积等于757517253900（平方厘米）2、解：连结BD，可得那么，平行四边形OHCF的面积平行四边形AEOG的面积7平方厘米又因为分别为7平方厘米和1平方厘米，得其面积的比为7：1，由此也可得出的面积之比也是7：1。通过计算可求出平行四边形GHCD的面积是718（平方厘米），根据它与平行四边形ABHG的面积比，可得出它占整个图形面积的。根据分数乘法的定义，平行四边形ABCD的面积为（平方厘米）。3、解：因为梯形面积（上底下底）高2即所以（米）又所以ADE的高是2米，EBC的高等于梯形的高减去ADE的高，即6米2米4米所以（平方米）答：阴影部分面积为20平方米。4、解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（ABG、BDE、EFG）的面积之和。因为又因为所以阴影部分面积244（5013212）50（平方厘米）。5、解：因为ABE、ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与ABE、ADF的面积都等于正方形ABCD面积的三分之一。也就是：（平方厘米）。在ABE中，因为AB6，所以BE4，同理DF4，因此CECF2，ECF的面积为。所以（平方厘米）【本讲教育信息】一. 教学内容： 添辅助线求面积（一）【例题分析】一. 阅读思考 例1. 图中线段AF与平行四边形ABCD的CD边交于E点，如果三角形DEF的面积为6平方厘米，请你算一算三角形BCE的面积。 分析与解答：从原图上看，三角形DEF和三角形BCE之间没有任何联系。如果能借助第三个图形，使它们联系起来就可以使问题得到解决。这时，我们就要添“辅助线”来帮助解决问题。但是，辅助线不能乱添，如果添上后不能使两个三角形产生联系，就没有意义了。 从图中可以看出ABCD是平行四边形，所以AB与CD平行，AD和BC平行。如果我们连接A和C，就可以看出：和的面积相等，和面积相等。（都是等底等高） 所以 所以的面积也是6平方厘米 例2. 在下图中，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于E，AFCE，DEBG，如果四边形ABCD的面积是25平方厘米，请算算三角形EFG的面积。 分析与解答：从图中可以看出，AC和BD把四边形分成了四个三角形，我们可以添上辅助线，来利用“三角形等底等高面积相等”这一关系。 连接AG和CG 因为DEBG，所以， 又因为，所以，到这里，我们就可以看出 也就是说，的面积和四边形ABCD的面积相等，都是25平方厘米。 例3. 在平行四边形ABCD中，AC为对角线，EF平行AC。如果三角形AED的面积为10平方厘米，求三角形CDF的面积。 分析与解答：既然是求三角形的面积，我们就应该利用“三角形”等底等高面积相等这一知识。 通过连接AF和CE，可以看出， 又因为 所以 所以三角形CDF和三角形AED的面积相等，都是10平方厘米。 同学们，你们能想出一个更简便的思路吗？ 例4. 在三角形ADE中，BD3AB，CE5AC，求三角形ADE是三角形ABC的多少倍？ 分析与解答：要解答这道题，我们可以添上一条辅助线，也就是连接BE。 添上辅助线后，可以看出： 和的高相等，因为“两个三角形高相等，它们面积的比就是它们底边长度的比”，CE5AC，所以 所以 同理，可知因为，所以， 所以是的6424倍二. 尝试体验 1. 在图中，ADAB，BE2BC，CF3AC。如果三角形ABC的面积是4个面积单位，那么三角形DEF的面积是多少？ 2. 如图，四边形ABCD的面积是2平方米，ABAE，BCBF，DCCG，ADDH，求四边形EFGH的面积。 3. 矩形ABCD的面积是72平方分米，E、F、G分别是边AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，求阴影部分的面积是多少？ 4. 在图中，ABCD是边长18厘米的正方形，E和F分别是BC和CD的中点，DE和BF交于O。求四边形ABOD的面积。参考答案：1. 在图中，ADAB，BE2BC，CF3AC。如果三角形ABC的面积是4个面积单位，那么三角形DEF的面积是多少？ 答：72个面积单位 2. 如图，四边形ABCD的面积是2平方米，ABAE，BCBF，DCCG，ADDH，求四边形EFGH的面积。 答：10平方米 3. 矩形ABCD的面积是72平方分米，E、F、G分别是边AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，求阴影部分的面积是多少？ 答：36平方分米 4. 在图中，ABCD是边长18厘米的正方形，E和F分别是BC和CD的中点，DE和BF交于O。求四边形ABOD的面积。 答：216平方厘米【模拟试题】（答题时间：25分钟）1、E是长方形ABCD中AB边的中点，CE和BD交于F。如果三角形EBF的面积是1平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？2、如图所示，ABCD是74的长方形，DEFG是102的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。3、（2004第2届“希望杯”）将长15厘米，宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如图所示，则阴影部分的面积是_平方厘米。4、如下图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使CE2BC，延长CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面积。【试题答案】1、思路剖析先画出图形，如下图所示。现在的图形里没有等底或等高的现象，需要连接一些线段，出现等底或等高的图形，当然，最好是三角形。很容易想到连AF，出现了等底等高的两个三角形AEF、BEF，面积都是1平方厘米。但这两个三角形现在都很难与所求的长方形面积有什么明显的关系。连AC，交BD于O点，注意O点是AC、BD的中点。现在又有了两个等底等高三角形AOF、COF，只是这两个三角形的面积现在不知道。其实，COF与BEF面积相等，可以从两个角度得到： 第一，AOB、ACE面积都是ABC的一半，即AOB面积ACE面积，考虑它们各自减去二者的公共部分：四边形AOFE，剩下的部分面积仍然应该相等，即各自剩下的是COF与BEF，面积相等，是1平方厘米。 第二，观察COB与BEC，如果把BC作为两个三角形的底边，它们就是等底三角形，再考虑相对这条底边的高，都等于长方形边AB的一半，即高相等，COB与BEC是等底等高三角形，面积相等，减去共同部分BFC，剩下的部分面积仍然应该相等，即各自剩下的是COF与BEF，面积相等，是1平方厘米。 这样，AOF、AEF、BEF面积相等，都是1平方厘米，AOB的面积就是1113（平方厘米），很容易发现，所求长方形面积是AOB的面积的4倍，因此所求长方形面积为3412（平方厘米）。解答 连结AF，两个三角形AEF、BEF等底等高，面积都是1平方厘米。 连结AC，交BD于O点，O点是AC、BD的中点。AOF、COF是等底等高三角形，面积相等。 因为AOB、ACE面积都是ABC的一半（AOB面积ACE面积），各自减去四边形AOFE，剩下的部分是COF与BEF，面积相等，是1平方厘米。 AOF、AEF、BEF面积相等，都是1平方厘米，AOB的面积就是1113（平方厘米），所求长方形面积是AOB面积的4倍，因此所求长方形面积为3412（平方厘米）。 答：长方形ABCD的面积是12平方厘米。2、思路剖析 直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。解答 解法一：连结B、E（见图1）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为图1 图2 4（107）22（107）23 解法二：连结C、F（见图2）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为 4（107）22（107）23 解法三：延长BC交GF于H（见图1）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为 （42）（107）22（107）3 解法四：延长AB、FE交于H（见图2）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为 4（107）（107）（42）23 答：三角形BCO与三角形EFO的面积之差为3。3、思路剖析分别求各阴影部分面积，再将两部分面积相加。解答如图所示，过所有三角形的公共顶点分别向长方形的四条边作垂线，它们的长分别为厘米，厘米，厘米，厘米，则左下方阴影部分的面积是平方厘米；右上方阴影部分的面积是平方厘米。所以阴影部分的总面积是（平方厘米）。4、思路剖析 本题无法直接求出三角形DEF的面积，应找到其与三角形ABC面积之间的关系，根据BDAB，CE2BC，AF3AC发现，可以分别以BD、CE、AF为底，作与三角形ABC同高的三角形，通过观察容易想到连结CD、AE，如下图所示，这样可通过各个三角形与小三角形ABC面积之间的关系，求得大三角形DEF的面积。解答连结CD、AE，如图所示，因为ABC与BDC共顶点C，且ABBD，所以因为ABC与ACE共顶点A，且CE2BC，所以因为AEF与ACE共顶点E，且AF3AC，所以因为ADC与AFD共顶点D，且AF3AC，所以因为BDC与CDE共顶点D，且CE2BC，所以因为答：三角形DEF的面积为18。【本讲教育信息】一. 教学内容： 列方程求面积 同学们，大家好！这一讲我们主要来研究一下“列方程求面积”这方面的问题，也就是研究如何利用列简易方程求面积。【典型例题】一. 阅读思考： 例1. 图1中三角形ABE、AFD和四边形AECF的面积相等，求三角形AEF的面积（单位：厘米） 分析与解答：因为三角形AEF的底和高很难求出，所以用三角形面积公式求三角形AEF的面积是很困难的。 但是，三角形ABE、AFD和四边形AECF面积相等，也就是说它们三个把这个长方形的面积平均分成了三份。因为长方形的面积是平方厘米，所以它们三个的面积都是平方厘米。 我们只要从四边形AECF中减去三角形ECF的面积，就可以求出三角形AEF的面积了。 而三角形ECF的面积，需要利用EC、CF的长来求。要想求EC、CF的长，就要知道BE和DF的长。 我们利用现有条件可以求出BE和DF的长度。 解：设BE长为厘米，DF长厘米。 所以厘米 厘米 那么，三角形ECF的面积就是平方厘米 三角形AEF的面积就是平方厘米 例2. 如图2所示，四个一样的长方形和一个小正方形，拼成一个面积为49平方米的大正方形，小正方形的面积是4平方米，问长方形的短边长是几米？图2 分析与解答：因为大正方形和小正方形的面积分别是49和4平方米，所以我们可以很快想出大正方形和小正方形的边长分别是7米和2米。从图中可以看出：大正方形的边长是2个长方形短边与一条小正方形边长的和。 解：设长方形短边长米。 答：长方形的短边长2.5米。例3. 图3中，梯形ABCD的面积为24平方厘米，求三角形ABD的面积。图3 分析与解答：要想求三角形ABD的面积，就要知道它的底和高分别是多少。三角形ABD的底就是梯形的上底AD长5厘米，高就是梯形的高。现在已知梯形的上底和下底以及面积，可以求出梯形的高，也就是三角形ABD的高。 解：设梯形ABCD的高是x厘米。 所以的面积是：（平方厘米） 答：的面积是10平方厘米。二. 尝试体验： 1. 图中，平行四边形的面积是48平方厘米。 2. 图中ABCD是直角梯形，三角形ABC、ACE和AED的面积相等，BF与AC垂直，AC为10厘米，AF为2厘米，梯形面积为45平方厘米，求三角形BCF的面积。 3. 如图所示，有9张相同的小长方形卡片摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长为18厘米，短边长4厘米，求大长方形的面积。 4. 一块长方形铁皮，在长边减去6厘米，短边减去3厘米后，得到的正方形面积比原长方形面积少了54平方厘米，求原长方形铁皮的面积。 5. 将图中的三角形纸片沿虚线折叠，原三角形面积是这个新图形面积的1.5倍，折后三个阴影三角形的面积之和是1，求重叠部分面积。 6. 图中，DE和AC垂直，AF和BC垂直，三角形ABC的面积为48平方厘米，AE=11厘米，AC=16厘米，求三角形DCE的面积。参考答案： 1. 图中，平行四边形的面积是48平方厘米。 9平方厘米 2. 图中ABCD是直角梯形，三角形ABC、ACE和AED的面积相等，BF与AC垂直，AC为10厘米，AF为2厘米，梯形面积为45平方厘米，求三角形BCF的面积。 12平方厘米 3. 如图所示，有9张相同的小长方形卡片摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长为18厘米，短边长4厘米，求大长方形的面积。 180平方厘米 4. 一块长方形铁皮，在长边减去6厘米，短边减去3厘米后，得到的正方形面积比原长方形面积少了54平方厘米，求原长方形铁皮的面积。 70平方厘米 5. 将图中的三角形纸片沿虚线折叠，原三角形面积是这个新图形面积的1.5倍，折后三个阴影三角形的面积之和是1，求重叠部分面积。 1 6. 图中，DE和AC垂直，AF和BC垂直，三角形ABC的面积为48平方厘米，AE=11厘米，AC=16厘米，求三角形DCE的面积。 10平方厘米【模拟试题】（答题时间：20分钟）1、如下图所示，一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形，已知A的面积是，B的面积是，C的面积是，试问原矩形的面积是多少？2、在图中，圆面积与长方形面积正好相等，问图中阴影部分的周长是多少？【试题答案】1、解答解法一：按照上图的方式在矩形A、B、C的边上标注字母，于是原矩形的面积等于因为矩形A的面积是所以所以原矩形的面积为解法二：仔细观察上图的特征，它的四个矩形是大矩形被两条直线分割后得到的。矩形的面积等于一组邻边的乘积。从横的方向看，两个相邻矩形的倍比关系是一致的，也就是说，B是A的2倍，那么D也应是C的2倍，所以D的面积是，这样原矩形的面积应是。答：原矩形的面积是。点津上面两个解法都很巧妙，解法一是运用字母表示边长，充分利用原来大矩形与小矩形A的关系，顺利获解；解法二是根据矩形面积计算公式，抓住这一条规律：“图形中两相邻矩形面积的倍比关系，与另两个相邻面积的倍比关系是一致的”，求出D的面积。解法二是横向观察图形找两个相邻矩形的倍比关系，我们从纵向观察图形找两个相邻矩形的倍比关系：C是A的3倍，所以D也应是B的3倍，即D的面积是，得到相同结果。2、思路剖析（1）设圆的半径为r，长方形的长为a，从图中可以看出，阴影部分的周长为（圆周长）因此现在的关键是求a。（2）由于长方形面积长宽，圆的面积。而长方形的宽恰好是圆的半径r，于是据已知条件有所以，即：a是圆周长的一半。由（1）、（2）两步分析便可求出阴影部分的周长。解答设圆半径为r，长方形的长为a，因为圆面积长方形面积所以 解出得（圆周长）于是 阴影部分周长答：图中阴影部分的周长是。【本讲教育信息】一. 教学内容： 图形中的部分与整体 同学们大家好！我们这一期的活动内容是研究“图形中的部分与整体。”我们一起来研究通过观察整体之间的面积关系而得到局部面积之间的关系。【典型例题】一. 阅读思考： 例1. 计算下图中阴影部分的面积占长方形总面积的几分之几？ 分析与解答：图中ABCD是一个矩形（长方形），阴影部分的面积可以用三角形ABD减去三角形AEG求出来。 从图中可以看出，AD等于4个长度单位（长方形的长），AB等于3个长度单位（长方形的宽）。 所以，长方形面积=（面积单位） 阴影面积EBDG=三角形ABD面积三角形AEG面积 =ADAB2AGAE2 =432212 =6-1 =5（面积单位） 答：阴影部分面积占长方形总面积的。 例2. 有4个正方形（如下图），边长分别是1米，2米，3米，4米，问白色部分面积是阴影部分面积的几分之几？ 分析与解答：根据已知条件，可以看出要求阴影部分面积要7步计算，而先求白色部分面积则只要5步计算，所以先算白色部分的面积。 白色部分面积： 阴影部分面积： 所以白色部分面积是阴影部分面积的（也可以写成）。 这道题，还可以有另外一种解法： 分析与解答：先在正方形上画出对角线AC和DB，两条对角线相交于O，这样，两条对角线就把正方形平均分成了4份。 根据图形的对称性，不难看出，三角形AOB中白色部分相当于阴影部分的几分之几，那么整个图形中白色部分就相当于阴影部分的几分之几。 我们可以把三角形AOB，看成是由几个小梯形组成的。其中最靠中心的小空白三角形可以看作上底是O的梯形。因为这些梯形