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复变函数论多媒体教学课件 DepartmentofMathematics 第三章复变函数的积分 复变函数论多媒体教学课件 DepartmentofMathematics 第一节复积分的概念及其简单性质 1 复变函数积分的的定义2 积分的计算问题3 基本性质 一 复变函数积分的定义 1 有向曲线 设C为平面上给定的一条光滑 或按段光滑 曲线 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向 或正向 那么我们就把C理解为带有方向的曲线 称为有向曲线 如果A到B作为曲线C的正向 那么B到A就是曲线C的负向 简单闭曲线正向的定义 简单闭曲线C 周线 的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方 与之相反的方向就是曲线的负方向 关于曲线方向的说明 在今后的讨论中 常把两个端点中的一个作为起点 另一个作为终点 除特殊声明外 正方向总是指从起点到终点的方向 2 定义3 1 设有向曲线C 把曲线C分成若干弧段 作和式 关于定义的说明 3 定理3 1 证明 正方向为参数增加的方向 根据线积分的存在定理 所以 当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时 在形式上可以看成是 公式 即复函数积分可表为两个实积分 二 复变函数积分的计算问题 设有向曲线C 或 证明 注 用公式 3 2 或 3 3 计算复变函数的积分 是从积分路径的参数方程着手 称为参数方程法 例1 解 积分路径的参数方程为 16 可编辑 重要结论 积分值与路径圆周的中心和半径无关 三 复变函数积分的性质 复积分与实变函数的定积分有类似的性质 估值不等式 6 积分估值 定理3 2 证明 两端取极限得 证毕 证明 而C之长为2 根据估值不等式知 例2 例3 证明 例4 解 1 积分路径的参数方程为 y x 2 积分路径的参数方程为 3 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1 i直线段的参数方程为 积分路径不同 积分结果也可能不同 例5 解 积分路径的参数方程为 四 小结与思考 本课我们学习了积分的定义 存在条件以及计算和性质 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质 本课中重点掌握
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