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数学选修2-2推理与证明第卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、 下列表述正确的是( ). 归纳推理是由部分到整体的推理;归纳推理是由一般到一般的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理;类比推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理. A. B. C. D.2、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的().充分条件.必要条件.充要条件.等价条件3、在中,则一定是().锐角三角形.钝角三角形.直角三角形.不确定4、下面使用类比推理正确的是 ( )A.直线a,b,c,若a/b,b/c,则a/c.类推出:向量a,b,c,若a/b,b/c,则a/cB.同一平面内,直线a,b,c,若ac,bc,则a/b.类推出:空间中,直线a,b,c,若ac,bc,则a/b.C.实数,若方程有实数根,则.类推出:复数,若方程有实数根,则.D.以点为圆心,为半径的圆的方程为.类推出:以点为球心,为半径的球的方程为.5、(1)已知,求证,用反证法证明时,可假设;(2)已知,求证方程的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1,即假设,以下结论正确的是()A.(1)的假设错误,(2)的假设正确 B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误 D.(1)与(2)的假设都错误6、观察式子:,则可归纳出式子为(). . .7、已知扇形的弧长为,所在圆的半径为,类比三角形的面积公式:底高,可得扇形的面积公式为().不可类比8、定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( ) (1) (2) (3) (4) (A) (B)A. B. C. D.9、观察下列各式:,可以得出的一般结论是()A. B.C. D.10、用数学归纳法证明,从到,左边需要增乘的代数式为()A. B.C. D.11、正整数按下表的规律排列12510174361118987121916151413202524232221则上起第2009行,左起第2010列的数应为()A.B.C.D.12、为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem),其加密、解密原理如下图:解密密钥密码加密密钥密码明文密文密文发送明文现在加密密钥为,如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.问:若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为( )A.12 B.13 C.14 D.15第卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、数列中的等于_.14、已知经过计算和验证有下列正确的不等式:,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式.15、已知命题:“若数列是等比数列,且,则数列也是等比数列”.可类比得关于等差数列的一个性质为_.16、若数列的通项公式,记,试通过计算的值,推测出三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)已知: 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明.18、(12分)如图(1),在三角形中,若,则;若类比该命题,如图(2),三棱锥中,面,若点在三角形所在平面内的射影为,则有什么结论?命题是否是真命题.19、(12分)已知实数满足,求证中至少有一个是负数.20、(12分)已知数列an满足Snan2n1.(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论.21、(12分)已知命题:“若数列为等差数列,且,则”.现已知数列为等比数列,且.(1)请给出已知命的证明;(2)类比(1)的方法与结论,推导出.22、(14分)在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成,在上定义一个运算,记为,对于中的任意两个元素,规定:.(1)计算:;(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律,并给出证明;(3)若“中的元素”是“对,都有成立”的充要条件,试求出元素.参考答案1.D 由归纳推理、演绎推理和类比推理的概念知正确.2.A 由分析法的定义知A正确.3.B 由已知得为锐角,得为钝角,为钝角三角形.4.D 若向量b=0,则a/c不正确;空间内,直线a与b可以相交、平行、异面,故B不正确;方程有实根,但不成立;设点是球面上的任一点,由,得,D正确.5.A 用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定.所以 的假命题应为6. 由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知,选C.7. 三角形的高类比扇形半径,三角形的底类比扇形的弧.8.B 观察知A表示“”,B表示“”,C表示“”,D表示“”,故选B.9.B 等式右边的底数为左边的项数.10.A 当时,左边=,从到,左边需要增乘的代数式为.11.D 由上的规律可知,第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减1的平方再加1.依题意有,左起第2010列的第一个数为,故按连线规律可知,上起第2009行,左起第2010列的数应为.12.C 由其加密、解密原理可知,当x=6时,y=3,从而a =2;不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b,则有,从而有.13.32 ,14.一般不等式为:.15.若数列是等差数列,则数列也是等差数列.证明如下:设等差数列的公差为,则,所以数列是以为首项,为公差的等差数列.16. 同理 17.解:一般性的命题为证明:左边 所以左边等于右边18.解:命题是:三棱锥中,面,若点在三角形所在平面内的射影为,则有是一个真命题.证明如下:在图(2)中,连结,并延长交于,连结,则有.因为面,所以.又,所以.于是.19.证明:假设都是非负实数,因为,所以,所以,所以,这与已知相矛盾,所以原假设不成立,即证得中至少有一个是负数.20.解:(1) a1, a2, a3,猜测 an2 (2) 由(1)已得当n1时,命题成立; 假设nk时,命题成立,即 ak2,当nk1时,a1a2akak1ak12(k1)1,且a1a2ak2k1ak 2k1ak2ak12(k1)12k3, 2ak122, ak12, 即当nk1时,命题成立. 根据得nN+ , an2都成立.21.解:(1)因为在等差数列an中,由等差数列性质得,又,得,两