势垒贯穿中U0=E时的透射系数研究--也从一道势垒习题的.pdf

第2 4 卷第5 期 2 0 0 5 年5 月 大学物理 C o L L E G EP H Y S I C S V 0 1 2 4N o 5 M a y 2 0 0 5 势垒贯穿中U o E 时的透射系数研究 也从一道势垒习题的问题谈起 刘明 湖北教育学院物理与电子信息系 湖北武汉4 3 0 0 6 0 摘要 推导出了势垒贯穿问题中当U E 时的透射系数表达式 并利用该公式圆满解释了 大学物理 刊出的一篇题为 从一道习题看量子力学中的势垒 文章中提出的问题 关键词 势垒贯穿 透射系数 量子力学 中图分类号 o4 1 3 1文献标识码 A文章编号 1 0 0 0 0 7 1 2 2 0 0 5 0 5 一0 0 3 4 一0 3 1问题的提出 大学物理 刊出过一篇题为 从一道习题看量 子力学中的势垒 的文章n 该文讨论了在目前国内 很流行的一本量子力学习题集中的一个问题 计算 质量优 5g 以速度可 1 0c m s 叫向一刚性障碍物 高H 5c m 宽w lc m 运动的子弹的透射概 率 习题书上是这样解答的 如果把障碍物的宽度看成势垒的厚度 子弹透 射看成是越过障碍物所设置的重力势垒 则透射概 率为 T e x p 一引2 优 m 姐一丢m u 2 w 2 e x p 一半厄万刁 1 其中 掣压丽 0 9 1 0 s 即 T 2e o 9 1 0 0 文献 1 的作者对此提出了质疑 他选择了一个 特殊的情况 即令子弹的速度恰好等于v 厂硒 并估计 了一下数量级 磊再 2 9 8 1 0 2 5 咖 s 1 1 0 0c m s 1 再代人到前面的透射概率表达式中 发现透射率T 可以接近1 这显然不合常理 文献 1 认为问题出在势垒不应是重力势垒 而应是刚体 对它的阻力势垒上 笔者原先认为这一分析有道理 但经过深入分析后发现 文献 1 实际上是利用式 1 讨论U 0 E 情况下的透射系数问题 按照这个 思路 如果换成微观粒子 如电子 在砜 E 的情 况下 利用式 1 同样也会出现丁接近于1 的不合 常理的结果 难道微观粒子 如电子 也不适于用量 子力学方法求解 于是笔者查阅了相关文献和教 材 对透射概率公式的由来进行了分析 发现该公式 出自于势垒贯穿问题中U E 的情况 没有等 号 3 此时透射系数为D D e 一鲁厂可町雨口 其 中D 是常数 接近于1 口是势垒宽度 U 是粒子在 力场中的势能 E 是电子的能量 而使子弹的速度恰 好等于 2 9 H 相当于取U 0 E 这显然是把u E 的情况直接套用到U 0 E 的公式中去了 这是不 合适的 笔者认为文献 1 之所以推出不合常理的 结论 问题的真正原因就在于此 一般教材上大多 都讨论了U 0 E 和U 0 E 的情况 而没有就 U E 的情况作专门讨论 本文就从势垒贯穿问 题的定态薛定谔方程出发 讨论砜 E 时的透射 系数D 2 u E 时透射系数公式的导出 一维方势垒粒子的波函数毋所满足的定态薛 定谔方程为 f 磐 簪妒 o z o 砂州2 I 粤 孕 E 一砜 驴 o o z 口 3 讨论U o E 时的情况 为简便起见 令是 等等 则式 2 3 可改写为 收稿日期 2 0 0 4 0 3 一1 7 修回日期 2 0 0 4 1 2 一0 9 作者简介 刘明 1 9 6 2 一 女 湖北武汉人 湖北教育学院物理与电子信息系教授 主要从事量子力学教学研究和高能多重产生唯象学的研究 万方数据 第5 期 刘明 势垒贯穿中U 0 E 时的透射系数研究 3 5 护 0 一 D 肾l 去e 哪P 2 南2 舞 擘 o o z 口 5 盖 在z 0 区域内 方程的解是 3讨论 在0 z 口区域内 方程的解是 3 C e 诰 2 C 7 e 叫6 l 8 按照公式 r 驴 r e 一扣 定态波函数是 驴 妒 妒 再分别乘上一个含时因子e 一扣 由此很容 易看出式 6 第一项是由左向右传播的平面波 第二 项是由右向左传播的平面波 式 8 第一项是入射 波 第二项是反射波 而在z 口区域内没有由右向 左运动的粒子 因而只应有向右传播的透射波 所以 在式 8 中必须令 C7 0 现在利用波函数及其微商在z 0 点和z 口 点连续的条件来确定波函数中的其他系数 由妒tI 删2 驴z 删有 A A7 B 7 9 由警L 尝L 有 i 愚1 A i 愚l A7 B 1 0 由驴zI 2 妒 l 有 B 口 B7 C e 讵l 4 1 1 由娑L 娑L 有 B i 愚 C e 谴z 1 2 式 9 乘以忌加式 1 0 得 2 忌1i A i 愚 B7 B 1 3 式 1 1 减去式 1 2 与以之积得 B7 C e 谴14 一i 足 C 口e 谴1 4 1 4 式 9 1 4 代入式 1 3 得 2 i 愚lA i 愚lC e 6 14 1 一i 愚1 口 i 是1C e 强1 4 故有 2 志 A 2 忌 c e 诰 4 1 一专足 口 辜 一一 e k A 1 一扣 透射系数D 为 1 1 一丢口 等 e 由上面分析可知 当砜 E 时不会出现上文提 到的透射系数为1 的不合常理的情况 从以上推得的表达式可知 透射系数随势垒宽 度口的增大而迅速减小 而且随U 0 E 的值的增 大而减小 当U n E 且趋于0 时 粒子的透射系数趋于1 同样 口趋于无穷大时 粒子的透射系数也会趋于0 以上推导说明 文献 1 中出现的不合理是套公 式时忽略了适用条件造成的 按我们推得的公式 不 管是微观粒子还是宏观刚体都不会出现砜 E 时 D 1 即透射系数为1 的情况 对于文献 1 中提到的该习题是否适合用量子 力学方法求解的问题可作如下讨论 对于题中提到的质量优 5g 运动速度口 1 0c m s 1 的子弹 利用德布罗意关系p 孚 则有 矗 6 6 2 6 1 0 一川 2 一 2 C m 2 户 2 肛 2 5 罢 5 1 0 2 f 厶7 J7 7 J7 上v V二 1 3 1 0 2 9c m 1 3 1 0 2 2n m 1 3 1 0 q 2m 显然是一个极小的量 与子弹自身尺度 约3 锄 或势垒宽度 1c m 相比 其波长A 更是小量 即d 仪器线度 H 1 远大于A 所以量子效应不明显 也 就是说 当仪器线度或光学特征尺度d 远大于实物粒 子的德布罗意波长时 经典的粒子性描述将是可行的 应用经典方法讨论 而不适于用量子力学的方法讨论 实际上 我们可以用式 1 6 来估算一下子弹的透射系数 这里取子弹的运动速度为1 0 0c I l l s 1 D 1 L 再 j 广 一 7 1 0 2 l 毒等 5 专 5 1 0 0 2 上1 虿6T 瓦双面可 可见其透射系数趋于0 即使子弹速度接近光速 也 是这个结果 所以对于子弹来说 其透射现象是可以 忽略不计的 同样我们可以讨论一个能量为E 1 0 0e V 的 电子的情况 注意 1d V 1 6 1 0 1 9J m 9 1 1 0 一2 8g E 1 0 0e v 1 6 1 0 1 7J 由德布罗意关系p 旱 有 万方数据 大学物理第2 4 卷 夕 2 弘E 2 9 1 l o 一2 8 1 6 1 0 一1 0 一 锄2 1 2 1 0 c m O 1 2c m 相当于晶格间距 当用晶格作光栅时就可观察到衍 射花纹 由此可证明其具有波动性 可用量子力学的 方法来处理 为了便于比较 以下估算一下电子的透射系数 D 取势垒宽度n l O c m 肛曩毒2 曩疆盟 秦焉产 即当U n E 时 能量为E 1 0 0e V 的电子在势垒 宽度为口 1 0 c m 的透射系数为0 0 5 5 即为 5 5 这是一个不可忽视的量 显然 电子的透射现 象是明显的 所以势垒贯穿效应也是微观粒子具有 波粒二象性的最好例证之一 参考文献 1 徐志凌 从一道习题看量子力学中的势垒 J 大学物 理 1 9 9 3 1 2 1 0 4 8 2 曾谨言 量子力学 M 北京 科学出版社 2 0 0 3 3 8 3 周世勋 量子力学教程 M 北京 高等教育出版社 1 9 7 9 4 4 4 威切曼EH 量子物理学 M 北京 科学出版社 1 9 7 8 2 8 3 T h er e s a r c hO np e n e t r a t i o nc o e f f i c i e n ti nb a r r i e r p e 淝t r a t i o nw h e nU o E L I UM i n g D e p a r t m e n to fP h y s i c s H u b e iU n i v e r S i t yo fE d u c a t i o n W u h a n4 3 0 0 6 0 C h i n a A b s t m c t F o m u l af o rp e n e t r a t i o nc o e f f i c i e n ti nb a r r i e rp e n e t r a t i o nw h e nU o Ei sp r e s e n t e d a n dt h e q u e s t i o ni nt h ea r t i c l e T h er e s e r c ho nb a r r i e ro fq u a n t u mm e c h a n i c sf r o map i e c eo fe x e r c i s e C 0 1 l e g eP h y s i c s 1 9 9 3 1 2 1 0 i se x p l a i n e du s i n gt h i sf o r m u l a 量 e yw o r d s b a r r i e rp e n e t r a t i o n p e n e t r a t i o nc o e f f i c i e n t 光学元件库 欧普特科技 北京欧普特公司参照国际通常规格及技术指标 备有完整系列的精密光学零部件 备有产品样本供参考 供国内各大专 院校 科研机构 实验室随时选用 公司同时可为用户提供技术咨询 光学透镜 平凸 双凸 平凹 双凹 消色差胶合透镜等 直径j 2 r 1 一一j 5 0m m 焦距I 一一I0 0 0m m 材料包括光学玻璃 紫外石英玻 璃 有色光学玻璃 红外材料 光学棱镜 1 5 0m m 各种规格直角棱镜 及其他常用棱镜 光学反射镜 各种尺寸规格的镀铝 镀银 镀金 及介质反射镜 直径够5 2 0 0m m 光学窗口 各种尺寸规格 材料的光学平面窗口 平晶 直径黟5 2 0 0m m 各种有色玻璃滤光片 规格够5 2 0 0m m 紫外 可见 红外 紫外石英光纤 进口紫外石英光纤 S M A 接口光纤探头 紫外石英聚焦探头 单位 北京欧普特科技有限公司电话 0 1 0 8 8 0 9 6 2 1 8 8 8 0 9 6 2 1 7传真 0 1 0 8 8 0 9 6 2 1 6 地址 北京市海淀区知春路4 9 号希格玛大厦B 座3 0 6 室邮编 1 0 0 0 8 0 网址 w w w g o l d w a y m c n 电子邮箱 o p t i c s g o l d w a y m c nk e v i n c h e n g o l d w a y c o m c nl i u c h u a n f e n g g o l d w a y c o m c n 陈锵先生 刘传峰先生 石冀阳小姐 万方数据 势垒贯穿中U0 E时的透射系数研究 也从一道势垒习题的问势垒贯穿中U0 E时的透射系数研究 也从一道势垒习题的问 题谈起题谈起 作者 刘明 LIU Ming 作者单位 湖北教育学院 物理与电子信息系 湖北 武汉