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为您服务教育网/第2节 牛顿第二定律理解领悟 牛顿第二定律具体地、定量地回答了物体运动状态的变化率加速度与它所受外力的关系，以及加速度与物体自身的惯性质量的关系，因而成为牛顿运动学的核心。本节课应重点理解牛顿第二定律公式的确立，并掌握其简单应用。基础级1 从牛顿第二定律的比例式到等式由上节课对加速度与力、质量关系的实验探究结果可知：物体的加速度跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，这就是牛顿第二定律。将此结论写成比例式就是a F，a ，即 a ，或F ma。上述比例式写成等式就是 F=kma，式中k是比例系数。2 力的单位“牛顿（N）”的定义在牛顿第二定律的表达式F=kma中，k的数值取决于F、m、a所选取的单位。若选择合适的单位使k=1，则可使上式最为简单。如果F、m、a的单位均已被确定，则k的数值就不能任意选择。现在的情况是m、a的单位已被确定，在国际单位制中它们的单位分别是kg、m/s2，而F的单位尚未确定。于是根据牛顿第二定律，规定国际单位制中力的单位“牛顿”（简称“牛”，符号是N）为：使质量是1kg的物体产生1m/s2的加速度的力为1N，即1N=1kgm/s2。从而，k=1，牛顿第二定律的表达式就简化为F=ma。3 对牛顿第二定律的理解牛顿第二定律揭示了加速度与力及质量的关系，着重解决了加速度的大小、方向和决定因素等问题。对于牛顿第二定律，应从以下几方面加深理解： 因果性 只要物体所受合力不为0（无论合力多么的小），物体就获得加速度，即力是产生加速度的原因。力决定加速度，力与速度、速度的变化没有直接的关系。 矢量性F=ma是一个矢量式，加速度与合外力都是矢量。物体的加速度的方向由它所受的合外力的方向决定，且总与合外力的方向相同（同向性），而物体的速度方向与合外力的方向之间则并无这种关系。应用时应规定正方向，凡是与正方向相同的力和加速度取正值，反之取负值，在一般情况下取加速度的方向为正方向。 瞬时性牛顿第二定律表示的是力的瞬时作用规律。物体在某一时刻加速度的大小和方向是由该物体在这一时刻所受到的合外力的大小和方向决定的。当物体所受到的合外力发生变化时，它的加速度随即也要发生变化，F=ma对运动过程的每一瞬时成立。加速度与力是同一时刻的对应量，即同时产生（虽有因果关系，但却不分先后）、同时变化、同时消失。 同体性加速度和合外力还有质量是对应于同一个物体的，所以分析问题时一定要确定好研究对象，把研究对象全过程的受力情况都搞清楚。 相对性 加速度a是相对于地面的（或相对于地面静止和匀速运动的物体），即相对于惯性参考系的。牛顿第二定律仅适用于惯性参考系，在非惯性参考系中应用时，必须引入惯性力（参见本章第1节“理解领悟”栏目中的“惯性参考系和非惯性参考系”）。4 关于牛顿第一定律和牛顿第二定律虽然由牛顿第二定律可以得出，当物体不受外力或所受合力为0时，物体将保持匀速直线运动状态或静止状态，但是不能说牛顿第一定律是牛顿第二定律的特殊情况。牛顿第一定律有其自身的物理意义和独立地位，如给出了力的定性概念，给出了惯性概念，是整个动力学的出发点等；而牛顿第二定律则进一步定量地揭示了加速度与力以及质量间的关系。5 教材中两道例题的说明例题1选取的是从物体的运动状态确定受力情况，以及从受力情况确定物体的运动状态的问题。这是将运动学与动力学相结合的典型问题。要重视题目的分析过程，并注意理解运算过程中力或加速度的字正、负号的含义。例题2选取的是已知作用在物体上的两个力，求物体的加速度问题。这个加速度是由作用在物体上的合力产生的，要根据平行四边形定则求出合力，然后再根据牛顿第二定律解出运动物体的加速度值。另外，解决这个具体问题还要学会怎样建立坐标系，如何恰当地选择坐标轴的方向能够使问题简化等。6 对“说一说”栏目问题的提示本节“说一说”栏目要求对“质量不同的物体，所受的重力不一样，它们自由下落时加速度却是一样的”做出解释。我们知道，物体的重力与质量之间的关系是G=mg。根据牛顿第二定律，可理解为重力G是使质量为m的物体产生重力加速度g的力。由于在同一地点，同一物体的重力与质量成正比，而，故g为常量。这就是说，质量不同的物体，所受的重力不一样，它们自由下落时加速度却是一样的。发展级7. 关于力的独立作用原理所谓力的独立作用原理，是指当物体受到几个力作用时，每个力各自独立地使物体产生一个加速度，就好像其他力不存在一样。物体的加速度等于各个力单独存在时所产生加速度的矢量和。根据力的独立作用原理，合力在x方向的分力产生x方向的加速度，合力在y方向的分力产生y方向的加速度。牛顿第二定律的分量式为Fx=max，Fy=may。8. 用动力学方法测质量本节教材在“科学漫步”栏目中介绍了用动力学方法测火箭组质量的实验。下面，我们根据实验测得的数据，应用牛顿第二定律来计算火箭组的质量：以m1和m2组成的系统为研究对象，系统的加速度m/s2=0.13 m/s2。由牛顿第二定律，有 F=( m1+m2)a，故火箭组的质量 kg3 400kg3 485kg。已知火箭组质量的真实值m2=3660kg，故测量的相对误差为4.8%5%。9. 求瞬时加速度时的几类力学模型在应用牛顿第二定律求解物体的瞬时加速度时，经常会遇到轻绳、轻杆、轻弹簧和橡皮绳这些常见的力学模型。全面准确地理解它们的特点，可帮助我们灵活正确地分析问题。这些模型的共同点是：都是质量可忽略的理想化模型，都会发生形变而产生弹力，同一时刻内部弹力处处相等且与运动状态无关。这些模型的不同点是： 轻绳 只能产生拉力，且方向一定沿着绳子背离受力物体，不能承受压力；认为绳子不可伸长，即无论绳子所受拉力多大，长度不变（只要不被拉断）；绳子的弹力可以发生突变瞬时产生，瞬时改变，瞬时消失。 轻杆 既能承受拉力，又可承受压力，施力或受力方向不一定沿着杆的轴向（只有“二力杆件”才沿杆的轴向）；认为杆子既不可伸长，也不可缩短，杆子的弹力也可以发生突变。 轻弹簧 既能承受拉力，又可承受压力，力的方向沿弹簧的轴线；受力后发生较大形变，弹簧的长度既可变长，又可变短，遵循胡克定律；因形变量较大，产生形变或使形变消失都有一个过程，故弹簧的弹力不能突变，在极短时间内可认为弹力不变；当弹簧被剪断时，弹力立即消失。 橡皮条 只能受拉力，不能承受压力；其长度只能变长，不能变短，同样遵循胡克定律；因形变量较大，产生形变或使形变消失都有一个过程，故橡皮条的弹力同样不能突变，在极短时间内可认为弹力不变；当弹簧被剪断时，弹力立即消失。应用链接 本节课的应用主要涉及对牛顿第二定律和力的单位（N）的理解，以及应用牛顿第二定律对相关问题的定性分析和简单计算。基础级例1 在光滑的水平面上做匀加速直线运动的物体，当它所受的合力逐渐减小而方向不变时，物体的（ ）A. 加速度越来越大，速度越来越大 B. 加速度越来越小，速度越来越小C. 加速度越来越大，速度越来越小 D. 加速度越来越小，速度越来越大提示 对于某个物体，合力的大小决定加速度的大小，合力的方向决定三定是增加还是减小。解析 开始时物体做匀加速直线运动，说明合力方向与速度方向相同。当合力逐渐减小时，根据牛顿第二定律可知，物体的加速度在逐渐减小。但合力的方向始终与物体运动的方向相同，物体仍做加速运动，速度仍在增加，只是单位时间内速度的增加量在减小，即速度增加得慢了。正确选项为D。 点悟 有同学可能会错误地认为：合力减小了，速度也随之减小，产生这种错误的原因是没有弄清合力对速度的影响。合力的大小会影响到加速度的大小，影响到速度变化的快慢；速度是增加还是减小要看合力方向与速度方向的关系。要注意正确理解力、加速度和速度之间的关系。加速度与合力有直接的关系，加速度的大小与合力的大小成正比，方向总与合力的方向相同；一般情况下，速度的大小与合力的大小无直接联系。图418OABC例2 如图418所示，一轻质弹簧一端固定在墙上的O点，自由伸长到B点。今用一小物体m把弹簧压缩到A点（m与弹簧不连接），然后释放，小物体能经B点运动到C点而静止。小物体m与水平面间的动摩擦因数恒定，则下列说法中正确的是（ ）A. 物体从A到B速度越来越大 B. 物体从A到B速度先增加后减小C. 物体从A到B加速度越来越小 D. 物体从A到B加速度先减小后增加提示 因为速度变大还是变小，取决于速度方向和加速度方向的关系（当a与v同向时，v增大；当a与v反向时，v减小），而加速度由合力决定，所以要分析v、a的变化情况，必须先分析物体受到的合力的变化情况。解析 物体从A到B的过程中水平方向一直受到向左的滑动摩擦力Ff=mg，大小不变；还一直受到向右的弹簧的弹力，从某个值逐渐减小为0。开始时，弹力大于摩擦力，合力向右，物体向右加速，随着弹力的减小，合力越来越小；到A、B间的某一位置时，弹力和摩擦力大小相等、方向相反，合力为0，速度达到最大；随后，摩擦力大于弹力，合力增大但方向向左，合力方向与速度方向相反，物体开始做减速运动。所以，小物体由A到B的过程中，先做加速度减小的加速运动，后做加速度增加的减速运动，正确选项为B、D。点悟 对于本题，有些同学可能会因受力分析不全面（漏掉滑动摩擦力）而误选A、C。注意分析物体运动时，将复杂过程划分为几个简单的过程，找到运动的转折点是关键。对此类运动过程的动态分析问题，要在受力分析上下功夫。例3 有一个恒力能使质量为m1的物体获得3m/s2的加速度，如将其作用在质量为m2的物体上能产生1.5m/s2的加速度。若将m1和m2合为一体，该力能使它们产生多大的加速度？提示 应用牛顿第二定律求解。解析 以m1为研究对象，有 F=m1a2；以m2为研究对象，有 F=m2a2；以m1、m2整体为研究对象，有 F=( m1+ m2)a。由以上三式解得m1、m2整体的加速度m/s2=1 m/s2。点悟 应用牛顿第二定律解题，当变换研究对象时，要注意物理量 F、m、a的同一性，即对同一个研究对象而言，切勿张冠李戴。图419例4 质量为m的三角形木楔A置于倾角为q的固定斜面上，它与斜面间的动摩擦因数为m，一水平力F作用在木楔A的竖直平面上，在力F的推动下，木楔A沿斜面以恒定的加速度a向上滑动，则F的大小为 ( )A BC D提示 应用牛顿第二定律求解。解析 如图420所示，木楔A除受水平力F作用外，还受竖直向下的重力mg、垂直于斜面斜向上的弹力FN和平行于斜向下的滑动摩擦力Ff的作用。以加速度方向（沿斜面向上的方向）为一个坐标轴的正方向，建立直角坐标系，由牛顿第二定律可得图419FNmgFfaOyx。 又 ， ， 由以上三式解得 F=，正确选项为C。点悟 用牛顿第二定律解题时，通常沿加速度方向由牛顿第二定律列出一个方程(如本例式)，沿垂直于加速度的方向由力的平衡条件列出另一个方程(如本例式)，有时还得列出辅助方程(如本例式)，由此组成方程组求解。另外，坐标轴的原点可定在物体的重心上，当不考虑物体的形变和转动时可把各力的作用点均移到重心上。图420没有采用上述画法，对这种形式的图，亦应熟练地将力分解。a300图420发展级例5 如图420所示，电梯与水平面的夹角为300，当电梯加速向上运动时，人对梯面的压力是其重力的，求人对梯面的摩擦力是其重力的多少倍？ 提示 应用牛顿第二定律的分量式求解。yaay图421OxaxFfFNmg300解析 人在水平方向受摩擦力Ff作用，竖直方向受支持力FN和重力G作用。如图421所示建立直角坐标系，并将加速度a沿坐标轴方向分解，由牛顿第二定律分量式可得Ff=max=macos300，FNmg=may=masin300，又 FN=FN=mg，由以上三式可得 ，即人对梯面的摩擦力方向是其重力的倍。点悟 本题中人所受的力沿水平方向和竖直方向，因而如图421 建立坐标轴可不必分解力，但须分解加速度。这种解法要比沿加速度方向和垂直于加速度方向建立坐标轴求解来得简单，同学们不妨比较一下。ABCO图422例6 如图422所示，A、B的质量分别为mA=0.2kg，mB=0.4kg，盘C的质量mC=0.6kg，现悬挂于天花板O处，处于静止状态。当用火柴烧断O处的细线瞬间，木块A的加速度aA多大？木块B对盘C的压力FBC多大？（g取10m/s2）提示 注意求瞬时加速度时不同的物理模型。解析 烧断细线前，木块A处于二力平衡状态，有F=mAg。在烧断细线瞬间，弹簧形变尚来不及改变，可认为F不变，从而木块A仍处于二力平衡状态，木块A的加速度为 aA=0。 在烧断细线瞬间，对木块B与盘C整体应用牛顿第二定律有F+mBg+mCg=(mB+mC)aBC ，对盘C应用牛顿第二定律有 FBC+ mCg=mC aBC ，解得木块B对盘C的压力为FBC=N=1.2N。点悟 本题应区分弹性模型和刚性模型。弹簧是弹性模型，其弹力变化需要时间；物体是刚性模型，B、C间的弹力变化是瞬时的。细线烧断瞬间，弹簧弹力不变，而B、C间的弹力却立即由(mA+mB)g变为。课本习题解读p.82问题与练习1. 从牛顿第二定律知道，无论怎样小的力都可以使物体产生加速度，可是，我们用力提一个很重的箱子，却提不动它。这跟牛顿第二定律没有矛盾。牛顿第二定律F=ma中的F指的是物体所受的合力，而不是其中的某一个力。我们用力提一个放在地面上的很重的物体时，物体受到的力共有三个：手对物体向上的作用力F1，竖直向下的重力G，以及向上的支持力F2。如果F1G，只是支持力F2减小，这三个力的合力F=0，故物体的加速度为0，物体保持不动。2. 由 ，可得需要施加的力 N=12N。3. 由 ，可得 ，F1OFF2图423即甲车的质量是乙车的3倍。4. 如图423所示，根据平行四边形定则，这两个力的合力的大小为 F=2F1cos45=214N19.8N。所以，这个物体加速度的大小为m/s2=9.9 m/s2。加速度的方向与合力方向相同，即与两分力成45角。5. 如图424所示，手推车原受水平推力F和阻力Ff两个力的作用，撤去推力后仅受阻力Ff一个力的作用。以小车的运动方向为正方向，根据牛顿第二定律有图424FfFfFFFf=ma，Ff=ma，由以上两式解得撤去推力后手推车的加速度=1.5m/s2m/s2=0.5 m/s2，负号表示加速度方向与推力方向相反。练习巩固（43）基础级1. 关于牛顿第二定律的表达式F=ma及其变形式，下列说法中正确的是（ ）A由F=ma可知，物体所受的合外力与物体的质量成正比，与物体的加速度成反比B由可知，物体的质量与其所受的合外力成正比，与其运动的加速度成反比C由可知，物体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比D由可知，物体的质量可以通过测量它所受的合外力和它的加速度而求得2. 在牛顿第二定律的表达式F=kma中，有关比例系数k的下列说法中正确的是（ ）A. 在任何情况下，k都等于1B. k的数值由质量、加速度和力的大小决定C. k的数值由质量、加速度和力的单位决定D. 在国际单位制中，k等于13. 一个物体只受到一个逐渐减小的力的作用，力的方向跟速度的方向相同，则物体的速度大小和速度大小将（ ）A. 加速度逐渐减小，速度逐渐减小，速度减小变慢了B. 加速度逐渐增大，速度逐渐减小，速度减小变快了C. 加速度逐渐增大，速度逐渐增大，速度增大变快了F图425D. 加速度逐渐减小，速度逐渐增大，速度增大变慢了4. 如图425所示，一根轻弹簧的一端系着一个物体，手拉弹簧的另一端，使弹簧和物体一起在光滑的水平面上向右做匀加速运动，当手突然停止运动的短时间内，物体可能（ ）A. 继续向右匀加速运动 B. 开始