苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter2.pdf

第二章 典型例题分析 2003 12 8 2 1 粒子在一维势 0 0 0 0 xa V x Vxxa 运动 当粒子的总能量 E V0时 试说明粒子 的能谱是分立的 解题思路 粒子的运动满足 Shrodinger 方程 当 E V0时 由于方程的边值条件使能级分裂 由粒子的波函数和它的一次导数连续 可得到能级 解 由静态 Shrodinger 方程及x 时波函数为零 22 2 2 d V xE m dx 得到 1020 0 sincos 0 kx kx c ex xck xck xxa c exa 2 1 00 2 2 km VEkmE 2 2 在 x a 处 1020 sincos ka ck ack ac e 2 3 1020 0 cossin ka k ck ack ac e k 2 4 在 x 0 处 1 0 k cc k 2 5 2 cc 2 6 由此 00 01 20 00 0 sincos cossin ka ka k c ek ak a kck k ck c ek ak a k 2 7 化简后有 0 0 22 0 2 tan k k k a kk 2 8 再用图解法 可以知道 E 的解是分立的 即粒子的能谱是分立的 2 2 证明从单粒子 Schrodinger 方程得出的粒子速度场是非旋的 即 0v 其中 vj 为概率密度 j 为概率流密度 解体思路 运用概率密度和概率流密度公式即可证此题 证明 概率密度和概率流密度的公式 2 9 2 i j m 2 10 速度场为 ln 22 ii vj mm 2 11 其旋度 ln 0 2 i v m 2 12 得证 2 3 求二维各向同性皆振子的能级和简并度 解题思路 在列出 Schrodinger 方程之后 可以看到二维情况下 方程可以通过分离变量法 求解 而且除了量子数外 方程形式和一维时一样 这样 就可以方便地得到能级形式 解 由 Shrodinger 方程 222 222 22 1 22 mxyx yEx y mxy 2 13 设 x yX x Y y 方程可化为 22 22 2 1 22 y my Y yE Y y m y 2 14 22 22 2 1 22 y mxX xEEX x m x 2 15 显然 这是两个一维振子的方程 它们的能级为 1 2 yy En 和 1 2 yx EEn 2 16 所以 1 1 xy Ennn 2 17 由于 当 n 一定时 nx取 0 1 2 而 ny相应地取 n nx 都对应同一能级 因此此能级 是 n 1 度简并的 2 4 在时间 t 0 时 一维线性皆振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态 0233 11 0 52 xuxuxc u x 其中 un x 为第 n 个时间无关的本征函数 1 求 C3的值 2 写出 t 时刻的波函数 3 在 t 0 时的振子能量的期望值为多少 t 1 时又如何 解题思路 题设的状态是一个混合态 由几个本征态组合而成 第一小题用波函数的归一 化条件即可解决 第二小题只要在每一项添上波函数的时间因子 第三小题直接利用定义即 可 解 1 归一化条件 0 0 1xxdx 2 18 即 2222 0233 11 1 52 ux dxux dxcux dx 2 19 或 2 33 11 3 1 10 52 cc 2 20 2 既然题设的状态是由几个本征态组合而成 应将每个本征态的时间因子补上 即 n E it nn n x tc ux e 2 21 1 2 n En 2 22 因此 0 1 2 E 2 5 2 E 3 7 2 E 157 222 023 113 5210 ititit x tux eux eu x e 2 23 4 在 t 时刻的能量期望值 22 22 2 1 22 d Ex tmxx t dx m dx 2 24 22 2 22 2 1 22 nn EE itit nnn n d Ecux emx ux edx m dx 2 25 而 22 22 2 1 22 nnn d mx uxE ux m dx 2 26 22 2 nnnnn nn Ec Eux dxc E 2 27 所以 1 11 53712 5 22 210 25 E 2 28 2 5 粒子以动能 E 入射到如下势垒 0 V xVxxa 求反射率和透射率 及发 生完全透射的条件 解题思路 通过 Shrodinger 方程 可以得到波函数的形式 入射波函数由入射波和反射波构 成 再利用边界上波函数的连续性 即可确定波函数系数的具体值 便可得到反射率和透 射率 要注意的是 势垒为广义函数 要用特殊的方法来处理边界的情况 解 设 2 kmE 2 0 2 CmaV Shrodinger 方程可写成 2 0 C kxxa a 2 29 在 x 0 附近几分 可得 跃变条件 0 0 0 C a 2 30 x a 处 C aaa a 2 31 而 x 应是连续的 除了 x 0 a 两个奇点外 Schrodinger 方程为 2 0k 2 32 特解为 ikx e 如取入射波为 ikx e 则总波函数可表为 0 0 ikxikx ikxikx ikx eRex xAeBexa Dexa 2 33 其中 R 项为反射波 D 项为透射波 2 R为反射率 2 D为透射率 利用 连续条件和 跃变条件 得到 1RAB 2 34 1 C ik ABRAB a 2 35 ikaikaika AeBeDe 2 36 ikaikaika C ik DA eikBeDe a 2 37 解出 R D A B 2 22 iak i A ie 2 22 iak i