三角函数与相似三角形练习题.pdf

1 1 ABC 中 中 a b c分别是分别是CBA 的对边 已知的对边 已知10a 32b 23 c 则 则 sinsinbBcC 的值等于 的值等于 解析 注意到 222 52 652 610bca 所以A 为直角 所以sin b B a sin c C a 所以 22 2 sinsin1 bc bBcC a 2 若若045 且 且 3 sincos7 16 求 求sin 的值的值 解析 方法 1 解析 方法 1 由 由 22 363 sincos7sincos 16256 结合 结合 22 sincos1 可得 可得 222 6397 sin 1 sin sin 2561616 或 由由045 可知可知 22 1 sinsin 45 2 故 故 2 77 sinsin 164 方法方法 2 由 由 33 sincos72sincos7 168 结合 结合 22 sincos1 可得 可得 337 sincos17 84 337 cossin17 84 故 故 7 sin 4 3 3 利用顶角为利用顶角为36 的等腰三角形来求的等腰三角形来求sin18 的值 的值 解析 如图 等腰ABC 中 ABAC 36BAC 作ABC 的平分线 交AC于点 E 取BC中点 D 连接 AD 则ADBC 设CDx 则2BCBEAEx 由角平分线定理可知 AEAB ECBC 即 2 2 xAC ECx 又2ACAECExCE 故 22 240CExCEx 从而 22 5 15 2 xx CEx 又0CE 故 51CEx 于是 151 sin18 415 251 CDx AC xx 另 解 通 过 证 明ABC BEC 也 可 得 出 上 述 关 系 式 22 240CExCEx ABC 222 240 BCAC BECBCAC CECExCEx CEBC 点评 以上两个例题主要考察如何利用特殊角来求其它特殊角的三角函数值 例 10 介绍的是一种典型的题型和方 法 解题技巧一定要掌握 4 4 化简计算 化简计算 1 22 2sincos 2cossin 2 2 sin 701 2sin20 cos20sin201 3 1sin1sin1cos1cos 1sin1sin1cos1cos 090 4 化简 4 化简 222 tan1tan2 tan89 sin 1sin 2 sin 89 5 若锐角 5 若锐角 A 满足满足tancot2AA 求 求 22 tancotAA 的值 的值 6 化简 化简 22 tan 40cot 402 7 化简 7 化简 2 2 sincossin 1sincostg 解析 1 1 2222 2sincos 2cossin 5 sincos 5 2 2 sin 701 2sin20 cos20sin201sin70 cos20sin20 1 sin201 E D C B A 3 原式 2222 2222 1sin1sin1cos1cos 1sin1sin1cos1cos 由090 可知 0cos1 0sin1 故原式 1sin1sin1cos1cos coscossinsin 2sin2cos 4 cossin 4 tan1tan2 tan89tan451 22222222 sin 1sin 2 sin 89sin 1cos 1sin 2cos 2 sin 45 189 44 22 故原式 2 89 5 5 tancot2AA tancot1AA 22222 tancot tancot2tancottancot24AAAAAAAA 22 tancot426AA 6 6 tancot1 又 又tan40cot 9040 cot50cot40 22 tan 40cot 402 22 tan 40cot 402tan40 cot40 2 cot40tan40 cot40tan40 7 原式 2 2 22 cossincossin cossinsincos 22 cossin sincos cossin 5 5 已知已知tan 2 求下列各式的值 求下列各式的值 sincos sincos 22 2sinsincoscos 解析 sin 1 sincostan11 cos sin sincostan13 1 cos 另解 sin tan22sin2cos cos 代入原式即可 由 22 sincos1 可知 22 22 22 2sinsincoscos 2sinsincoscos sincos 2 2 2tantan1 tan1 2 22217 55 另解 sin tan22sin2cos cos 代入原式有 222 2sinsincoscos7cos 将sin2cos 代入 22 sincos1 可得 2 5cos1 故原式 7 5 6 如果如果sincosa sincosb 222 sincossinb 求 求a b的值 的值 解析 可得 22 sincosab 由 可知 2 sinabb 可得 1 2sinsin 2 abab 从而 1 cos 2 ab 从而有 2 1 210 2 abbabbab 若0ab 则sin0 1 cos 2 abb 故 2 11bb 此时1a 若 1 210 2 bb 则由 22 22 12 22 abab ab 故 7 2 a 综上所述 1 1 a b 1 1 a b 7 2 1 2 a b 7 2 1 2 a b 7 7 若若 0 30 且 且 1 sin 3 km k为常数 且为常数 且k 0 则 则m的取值范是的取值范是 用 用 k 表示 表示 解析 解析 0 30 sin0 sin sin30 即 即0 sin 1 2 0 1 3 km 1 2 所以 所以 11 36 km 又因为 又因为0k 11 63 m kk 8 8 已知 已知 ABC 中 中 A B C 的对边分别是的对边分别是 a b c若若 a b是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程 2 4 480 xcxc 的两个根 且的两个根 且925 sin caA 1 求证求证 ABC是直角三角形是直角三角形 2 求求 ABC的三边长的三边长 解析 解析 1 a b是方程是方程 2 4 480 xcxc 的两个根 的两个根 4 48abc abc 222222 2 4 2 48 816816abababcccccc ABC是直角三角形是直角三角形 C 90 2 在在Rt ABC中 中 sin a A c 并代入 并代入925 sincaA 得得 22 925 ca 34 55 ac bc 由由 34 4 4 55 abcccc 得 10c 且此时 且此时0 从而从而6 8ab 9 9 在在 ABC 中 中 sin sin2 1AB 且 且 22 2cbbc 求 求 ABC 的度数 解析 分析 的度数 解析 分析 题目中涉及了角的正弦的关系 以及边的关系 常规方法便是利用正弦定理 解 解 由正弦定理 得 sin 2 sin aA bB 2ab 又由余弦定理得 222 2cosabcbcA 把 代入 得 22 2cosbcbcA 再把已知条件 22 2cbbc 代入 得 22 22cosbbbcbcA 0bc 2 cos 2 A 45A 21 sinsin 22 BA 又 AB 30B 即30ABC 10 已知 已知 ABC 中 方程中 方程 2 sinsin sinsin sinsin 0BA xAC xCB 的两根相等 求证的两根相等 求证 60B 解析 分析 解析 分析 两根相等则判别式为0 但是观察系数的规律 是否有其他的好办法呢 解 解 此方程系数之和为0 1x 必为此方程的根 又 此方程两根相等 12 1xx 12 sinsin 1 sinsin CB x x BA 又由正弦定理 有cbba 2 ca b 再由余弦定理 有 222 22222 3 2621 2 cos 22882 ca ac cabaccacaca B cacacaca 60B 且等号不会成立 否则方程就不存在了 11 在在ABC 中 已知中 已知 3abc abcab 3 sinsin 4 AB 试判定此三角形的形状 试判定此三角形的形状 解析 分析 解析 分析 题目中涉及的仍然是角的正弦的关系以及边的关系 解 解 3abc abcab 222 abcab 两边同除以2ab 得 222 1 22 abc ab 即 1 cos 2 C 60C 3 sinsin 4 AB 由正弦定理 有 3 224 ab RR 即 2 3abR 又由正弦定理有 2sin3 CC R C 22 3RC 把 代入 得 2 abc 由 有 22 ababab