差分方程模型的稳定性分析及其应用信息与计算科学毕业设计论文

差分方程模型的稳定性分析及其应用 of 业： 2011 信息与计算科学 姓 名： 郭甜甜 指 导 教 师： 申请学位级别： 学 士 论文提交日期： 2015 年 5 月 25 日 学位授予单位： 天津科技大学 摘 要 本文首先对差分方程这一门课程进行全面深入的研究，了解差分方程的背景， 学习 差分方程的 理论知识，在此基础上对差分方程的稳定性进行学习 仅使这一类常见问题更容易得到解决，更增加了人们的实践经验 复杂的生活问题准确、形象地反映出来，并通过对结果的分析对问题进行评估与改善 别为 金融问题：其一贷款问题研究了欠款，利率，还款额等的关系，其二养老保险问题研究了交保费，保险收益，利率等的关系；减肥计划模型：此模型研究了节食与运动对维持体重的影响关系，制定了减肥方案并给出了维持体重的办法；市场经济中的蛛网模型 :通过产 品的销售价格和生产产量建立数学模型，在得出市场经济趋于稳定的条件，并且对结果进行分析 ,最后 探讨 了 在市场经济不稳定时政府能够采用的干预措施 ；人口控制与预测模型：研究了人口 总数的变化 状况 ；军备力量模型：研究了军备力量参与预测战争时的影响 关键词 ： 差分方程； 稳定性； 数学建模； a of of as a to of of is of As an in s of to of In I of by is be - of of is of on a to is in is by of is in is to is to is is of in is of on In I to do 目 录 1 基础知识 . 1 分方程 . 1 绍 . 3 学建模 . 3 2 金融问题模型 . 5 款问题 . 5 老保险模型 . 6 3 减肥计划模型 . 9 题重述 . 9 题分析 . 9 型假设 . 9 号说明 . 9 立模型 . 9 4 蛛网模型 . 12 题重述 . 12 题分析 . 12 号说明 . 12 网模型 . 12 分方程模型 . 14 预办法 . 15 型的推广 . 16 5 人口的预测与控制模型 . 18 题重述 . 18 题分析 . 18 立模型 . 18 型的扩展 . 20 6 军备力量模型 . 21 题重述 . 21 题分析 . 21 立模型 . 21 结论 . 25 参考文献 . 1 致 谢 . 2 天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 1 1 基础知识 差分方程表达的 为 有关离散变量的取值与变 换 的规律 进过程中或系统的离散变量，依照实际问题中背景的本质、规律、相关联系， 写出 离散变量符合的关系等式，进而建立 差分方程 分析方程的解的某些特性（如稳定性、 周期性 等），进而明确这些离散变量的变 换进 程的规律，然后再连同其他分析，从而得到原问题的解 . 分方程 差分方程 的使用范围十分普遍 ，因为能够使离散变量的逼近 与 近似来表示连续变量，所以许多模型就可以类似于差分方程模型来解决 程中使 用，也可以在连续模型化为离散模型的数值计算中广泛的 使 用 但凡 涉及到有关变量的规律、本质， 便能够使 用差分方程模型 去 表达与分析求解 . 分方程的概念 差分 ：对于数列 n 处的前向差分为差分算子 ： n 处的后向差分为差分算子 ：1 可知n 的函数 . 进而可以定义为 n 处的二阶差分为 的差分： nn ，它反映的为量的增量 1为 n 处的 k 阶差分 . 差分方程：由某个函数多个不同时期值的符号或者某个函数的差分组成的方程称为差分方程，其中大多形式为 0),. . ,( 2 或 0), . . . ,(21 0), . . . ,(21 种表达形式的差分方程能够互相变换，各自相通 . 差分方程的解：若将某函数代入差分方程，让方程两边相等，那么就称此函数为差分方程的解 ， 要是差分方程的阶数与此方程的所有解中拥有互相独立的任意常数的个数相同，那么就称此解释差分方程的通解 ,以便体现在变化过程中某一事物的客观规律性，通常依据此事物在初始时刻所处情况，在差分方程上添加一定的条件，称此为初始条件 ， 若初始条件确定了通解中任意常数后，此解称之天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 2 为差分方程的特解 1. 分方程常用解法 常系数线性差分方程的解 方程 )(. . （ 1 其中., 10是常数，则称方程（ 1常系数线性方程 0. . 1 是方程（ 1对应的齐次方程 . 若（ 1解形式为 ，代近方程中可以得到 0. . 1110 （ 1 则称方程（ 1方程（ 1（ 1特征方程 . 可见，只要能够得到方程（ 1根，就能够求出方程（ 1解 . 一般结果为： 如果方程（ 1在 k 个不相同的实根，那么方程（ 1通解： . .1在 m 重根 ,那么方程（ 1解可以表示为： 121 . . 如果方程（ 1在两个单复根 i ，记 e ， 22 ， 那么方程（ 1解可以表示为 : s o s 21 如果方程（ 1在 m 重复根 i ，记 e ，那么方程（ 1解可以表示为 : s i n. .c o s. . 1221121 由上可知，由于方程（ 1好有 k 个根，所以方程（ 1通解定有 k 个相互独立的任意常数 1通解为： 若可以得到方程（ 1一个特解： *那么方程（ 1有通解： * 差分方程的 Z 变换解法 天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 3 在差分方程的左右取有关 变换，然后写出 Z 变换，利用 变换 )(最后利用求解代数方程的方法求出 )(同时将 )(开成洛朗级数在 0z 解析圆环域里，此系数即为所要求的差分方程稳定性 k 阶常系数线性差分方程（ 1定的充分必要条件为它所相应的特征方程（ 1有的特征根 ., 满足 1i1. 一阶非线性差分方程 )(1 nn （ 1 的平衡点 *x 由方程 )( * 所决定，展开为泰勒形式将 )(x 处，因此： 当 1 ，方程（ 1解 *x 是稳定的 . 当 1 ，方程（ 1平衡点 *x 是不稳定的 . 绍 一个面向科学与工程计算的高级语言，一个具有超强能力的数值计算和可视化特点的软件 的 计算机 软件 ， 运行方式与人们计算公式时的 思考方法非常类似 ，它编写程序的过程就如同人们在演算纸上罗列出公式进行求解，这避免了较多的重复、繁琐的机械性的编写程序细节，把重点放在有创造性问题上，在最短的时间内得到更具价值的结果 . 有许多特点，比如功能性强、容易学懂、效率高、应用面广泛、操作简单、节约时间等 仅简 单好用，而且数据和图像处理能力很是强大并且可以完成数值分析、 管理与调度优化计算 、 通讯系统设计与仿真 、 工程与科学绘图 等众多功能 经演变成为一种大型软件应用在多科学、多工作平台，被各个国家所接收和认可并在一定程度上体现了国际上计算机软件的总体水平，也成为了众多大学生应该熟练掌握的一项基本技能 程中将会使用到 制作 图像和 求解 功能 . 学建模 数学建模是通过数学的知识和思想来 简单清晰的 表示 现实 问题中的重点方面， 以此 完成 现实 中的问题，即通过 使用 各种数学办法 来 完成 现实 问题 . 数学建模 是一个模 拟过程，它是用 程序 、图像、数学的公式等对实际问题进行抽象、假设、简化后用数学方式描述出来，它可以预料将来的进行情况，可以说明一些客观存在的现象，也可以为有些现象的未来走向提供在特定环境中最合适的方案或相对好的方法 且天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 4 要求熟练应用各个方面的数学知识 . 建立数学模型多数应有如下几个阶 段：最开始应该明确研究的角色、目标以及问题的类型是确定型还是随机型；把问题 简单 化后列出 将要研究 的因素，并把这些因素用参量和变量的 方式 表现出来；应用数学知识和方法表达出问题中变量之间的联系，一般是列成数学表达式，进而建立了数学模型；通过各种数学知识、数学软件等解出模型的解；把模型的结果转换为与实际问题相适应的清晰易懂的语言；最后进行模型的检测与评估 . 天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 5 2 金融问题模型 款问题 题重述 由于 社会经济的 飞速增长 ，人们生活水平的持续 攀升 ，人们 的经济需 要更加增多 如买房 、买车、向银行贷款等等 解每一个细节尤其是要知道还款方式是等额本息还款法、等额本金还款法或是等本等息等额还款法亦或是其他方法 种还款方式每期应还款额，贷款时间以及贷款利率等 . 题分析 在日常生活中较为常用的就是等额本息还款法，因此在本文中只讨论此贷款方法 要还的钱数 是一定的，而每期所还的本金在逐渐增多，利息 越来越少 ,将 通过贷款总 值 、贷款时间、贷款利率、每期还款额这 些因素相互的联系 建立模型，再通过数学的递推思想得出第 k 期的欠款额，令欠款额为零时即可得到每期还款额的表达式 6. 型假设 贷款期间贷款利率一直不变； 贷款人能如期偿还每期的还款额； 贷款期间不考虑其他的经济问题影响 . 号说明 0A :贷款总额； N :贷款期限（以月计算）； 第 k 个月的欠款额 ( 0 R :贷款月利率； x ：每月还款额 . 立模型 等额本息还款法中每月所还的钱应等于每月所还的本金加上每月利息，即为 1 则有第 1k 个月还款后欠款额： 11第 1 个月还款后欠款额： 101第 2 个月还款后欠款额： 111 2012第 3 个月还款后欠款额： 1111 23023天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 6 . . . 第 k 个月还款后欠款额： 1. .01 应用数学归纳法和等比级数求和公式可得 110 （ 2 当到达最后期限即 时，有 0入（ 2可得 11 10 N （ 2 (2即为等额本息还款法中每月还款额 . 例 买一辆 11 万元的汽车，首付 %30 2 个月还完，年利率为 %分别用等额本息和等额本金还款法计算，并进行分析 . 贷款金额 0A 为 7 7 0 0 0%3011 1 0 0 0 0 元；月利率 R 为 等额本息还款法： 贷款期限 N 为 12 个月；每月还款额为 x 所以还款总额 8 0 3 6 9 6 W 元 ,其中总利息为 3361 元 . 等额本金还款法： 还款总额： 其中总利息为 . 由上可知，等额本金还款法所付的利息相对等额本息还款法要少些，并且还款时间越长，利息差值越大 . 老保险模型 题重述 随着社会的不断发展， 人们生活水平的持续攀升，人们平均 寿命也有所增加，以至于我国慢慢进入老龄化阶段 得养天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 7 老保险问题备受关注 投保人每月缴费 200 元一直到 59 岁末，从 60 岁开始领取养老金 5 岁开始投保，那么 60 岁以后每月可得 2282 元养老金，如果投保人从 35 岁开始投保，那么 60 岁以后每月可得 1056 元养老金 . 题分析 本文要研究此保险公司每月至少要有多少投资收益率才能确保保险责任 通 过缴纳的保费和收益的总值，每月收益率， 60 岁前每月缴费额， 60 岁后每月领取额，终止缴纳保险费与终止领取养老金的月份之间的关系建立数学模型 . 型假设 投保人能按期缴纳保险费 号说明 止到第 k 个月所交保费和收益的总额 .,0 ; r ：每月收益率 ; p ： 60 岁前每月缴费额 ; q： 60 岁后每月领取额 ; N :停缴保险费的月份 ; M :停领养老金的月份 . 立模型 在全部过程中，可知： kk . . . ,1 1. . . ,1,0,111 (2 其中 表的是从投保人开始交保费月后算起的 . 所要 研究的是在第 M 个月时， 数值为多少 .若 正数，那么代表保险公司最终获；若 负数，那么代表保险公司最终亏损；若 零，那么代表保险公司最终一无所有，投保人最终获益 . 例 某男子从 25岁开始投保，假设男子活到 75岁，所以 420,2282,200 0,600 0 由（ 2可得： 天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 8 . ,1,111. .,1,0,11100 (2在（ 2中，分别取 , ,可得 0111 设 1 利用 件 编写代码如下： x F=xx180+x=) 由于 x 一定大于 1，对众多的根进行分析可得， 00485.1x ， 即求出每月收益率为： 00485.0r 用同样的方法也可求出， 35 岁开始投保的每月收益率为： 00461.0r 天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 9 3 减肥计划模型 题重述 在现代社会中，越来越多的人们尤其女性认为瘦是衡量美的一种重要标准，因此许多自感肥胖的人开始尝试用各种方法减肥，但是减肥药和节 食等方法都是存在安全隐患的 要在健康的条件下达到减肥的效果并且维持下去，只有利用控制饮食和进行适当的运动 记 来衡量体重，体重（千克）除以身高（米）的平方 ，体重为正常；当 25，体重为超重；当 30，体重为肥胖 . 题分析 一般，但凡人体内的能量守恒被破坏就将会导致体重的变化 至体重增加；人们又通过运动以及代谢消耗热量，以至体重减少 以要求每天吸收的热量不能过多，体重减少的也不能过快了 收热量，消耗热量的关系建立数学模型 . 型假设 （） 增加的体重与吸收的热量成正比，每吸收 8000 千卡热量体重增加 1 千克 , 由代谢导致的体重减少与体重成正比，一般一公斤体重每周消耗 200 千卡到 320千卡的热量（每人不同），即为一个 70 千克的人每天消耗 2000 千卡到 3200 千卡的热量 7. （）运动导致的体重减少与体重成正比，并且与运动的时间和形式相关 . （）为保证身体的健康，一周内吸收的热量不能小于 10000 千卡，一周内体重减少不能超过 卡 . 号说明 )(第 k 周末体重； )(第 k 周吸收的热量； ：热量转换系数； ：每小时每千克体重运动消耗的热量（千卡） t ：每周运动的时间（小时） 1 ：代谢消耗系数（因人而异）； 2 ：运动消耗系数 立模型 可知体重变化的方程为 天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 10 , . ,0,1121 （ 3 肥计划的提出 现 为一个具体的人制定减肥计划来探讨此模型的应用 . 某人高为 ，体重为 100 千克， 现在每周平均吸收 20000千卡热量，并保证体重不发生改变 5 千克并且保持下去，请依照以下三点制定减肥计划： 当不进行任何运动时计划划分为两个阶段，第一阶段：每周控制饮食慢慢减少吸收的热量，使每周体重减 1 千克，一直到所吸收热量的最低点（ 10000千卡）；第二阶段：每周吸收的热量维持在下限 ，直至达到减肥的目标 . 在第二阶段添加运动以加速减肥速度，重新制定第二阶段方案 . 制定一个达到目标体重后保持体重的策略 . 肥计划的制定 （）在不进行运动时，可知 02 ，已知 20000c 千卡， 100w 千克， 80001（千克 /千卡），由（ 5可得 0 08 00 02 00 0 01 也就是每周每千克体重消耗 20010020000 千卡的热量 . 第一阶段：需要每周体重减 1 千克，一直到所吸收的热量成为最低点（ 10000千卡），可得 11 0 带入（ 5可得 1)0(111 再将 100)0(,0001 w 带入上式，又因吸收热量的下限为 10000 千卡，可得 10000200120001 说明第一阶段为 10 周，热量的吸收是依照 9, . .,1,0,20012 0 001 使得每周体重减少 1 千克，到第 10 周末体重减为 90 千克 . 第二阶段：每周吸收的热量维持在下限，要将体重减到 75 千克，由（ 3得 )()1()1( （ 3 天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 11 对（ 5进行递推并用等比数列求和可得 )()1()1(.)1(1)()1()( 1 （ 3 将 90)(,75)(,10000,0001 代入（ 3得 50)5090(9 7 n （ 3 4025n 说明第二阶段为 19 周，在吸收的热量每周维持在 10000 千卡时，依照 减到目标体重 75 千克 . （）依据查询资料可知每小时每千克体重各项运动消耗的热量如下： 表 5项运动消耗的热量 运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 （中速） 游泳 0m 热量消耗（千卡） 第二阶段添加运动以加速减肥进程，其中 t 2 ，在此取 003.0t ，故 24t ，那么（ 3中的 应改为 ,则（ 3为 7 n 说明如果在第二阶段增加 24t 的运动（如一周骑 10 小时自行车或跳 8 小时的舞蹈），那么第二阶段将会减为 14 周 . （）若想达到目标后保持体重，那么要使每一周吸收的热量都维持某常数 c ， 并让体重维持不变，由（ 3可得 121 可得出：如果不运动， 1 5 0 0 0750 2 0 0 c 千卡； 如果运动， 1 6 8 0 0750 2 0 0 c 千卡 . 天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 12 4 蛛网模型 题重述 在处于完全自由的经济市场里，许多商品的销售和生产明显表现出周期性 一定时期里商品的生产产量 、销售价格和销售量是稳定的，所以这些经济数据在某个时期里是离散变量的形式 要做好经营，获得较好的经济效益，必须掌握好这两个经营过程中的最重 要的因素 . 题分析 由于本期产品的销售价格决定于消费者的需求关系，产品数量越少就会导致价格越高 品的价格越高生产的数量就越多 事实上，存在各种形式的振荡，既有可能振幅越来越小直至趋于平稳，也有可能振幅越来越大，此时若没没有外界的干预（如政府）极有可能致使经济崩溃 . 通过产品的销售价格和生产产量建立数学模型，在得出市场经济趋于稳定的条件，并且对结果进行分析，再探讨政府能够采用的干预措施在市场经济不稳定时 . 号说明 k 时段产品的数量 k 时段产品的数量 衡点在函数 f 的斜率的绝对值 衡点在函数 g 的斜率的绝对值 网模型 将时间离散化划分为若干段，产品的一个生产周期即为一个时段，由于在一个时间段中产品的销售价格由产品产量决定，因此可设： )(kk （ 4 它是需求函数，体现的是此商品与消费者的需求关系 f 是单调递减的函数 . 由于上一个时段的销售价格决定了下一个时段产品的产量，因此可设： )(1 kk 或 )(1 kk 4 g 为 h 的反函数，它们都是供应函数，体现的是生产者的供应关系 015 届 本科生毕业论文 13 格与下时段生产产量成正比，故 g 是单调递增的函数 . 通过函数 f 和 g 反映点列 ),(kk ,(1 kk 利用对应的几何关系画出来，即将点列 ) , . . .,(),(,),(231221122111 图 4则将连成折线形似蛛网，因此 这种 用图形来研究市场经济的稳定性称为蛛网模型 . 图 4 图 4 见 ， 若 点 列 ) , . . .,(),(,),(231221122111 ( 000 即 00 , 而且点 0p 是函数 f 和 g 的交点，则代表市场经济在未来的一段时间里将会趋向稳定 图 4则代表市场经济将会趋向不稳定 f 是由消费者的消费能力和需求程度决定的， g 是由生产者的经营能力和生产能力等因素决定的 8. 通过分析图形可知：当K 时，点0 当K 时，点0 举例说明蛛网模型： 设：产品的本期产品数量 么供给函数是 1 产品 本期的需求量 本期产品销售价格 那么需求函数是 ，那么结合动态供需均衡模型，蛛网模型可以表达为： 1其中 , 都是正值 1 P （ 4 天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 14 因此能够知道第 t 期的产品价格是： 111. .有均衡价格1 入（ 4得 其带入上式有 00 1（ 4 对（ 4进行分析可得： 当 1时，那么P，称为收 敛型蛛网； 当 1时，那么 为发散型蛛网； 当 1时，那么为封闭型蛛网 . 分方程模型 分别取函数 f 和 h 在0得： 0),(00 4 0),(001 4 将（ 4（ 4并后能得： 天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 15 , . . ),(001 （ 4 对（ 4行递推可得： )(0101 （ 4 由（ 4得，当 k 时0，则当 1 或 1时0 当 k 时 则当 1 或 1时0 由于 是0f 上的切线斜率， 1 是0g 上的切线斜率，则有 1, K，可见差分方程模型与蛛网模型结果是相同的 . 从（ 4得， 的意义是产品的数量下降一单位时销售价格的上升幅度，因此 代表的是购买者对产品需要的灵敏度，若是生活必需的产品，并且消费者的状态是持币待购，一旦产品的数量缺少，人们就会抢购，则 相对较大 . 的意义为这期销售价格上升一单位是产品数量的增加量，因此 代表生产者对产品价格的灵敏度，若生产者贪图当下的高利润，一旦价格上升就增多生产，则 相对较大 . 预办法 综上可知，当 一定时， 越小，代表购买者对产品需要的灵敏度就越小，越对经济稳定有利 ;当 一定时， 越小，代表生产者对产品价格的灵敏度就越小，越对经济稳定有利 ， 越大时，越对经济稳定不利 . 图 4 图 4在两种干预办法在市场经济倾向不稳定时，第一种是让 尽可能小，为了更加明显研究 0 的情况，也就是 f 的图像为水平直线（见图 4此刻市场经济永远是稳定的无论 g 如何变化（也就是无论 多大） 015 届 本科生毕业论文 16 价格不能变化，不管产品数量为多少，即政府控制物价 尽可能小，为了更加明显研究 0 的情况，也就是 g 的图像为竖直直线（见图 4此刻市场经济永远是稳定的无论 f 如何变化（也就是无 多大） 品数量不能变化，当供不应求时将从其他地方购买或调货过来，当供应多于需要时，收购多于部分 . 型的推广 为了更加谨慎生产者在计算下一期的产品数量1但考虑这期的销售价格（ 4将变为： )2( 11 4 （ 4的近似直线（ 4应的改为： 0101 22 （ 4 由于（ 4和（ 4没有变化，所以合并（ 4和（ 4可得： , . . ,12012 （ 4 只 要方程的特征根都在单位圆里，那么当 k 时0，即0 （ 4的特征方程为： 02 2 （ 4 并得出（ 4特征根为 4822,1 （ 4 当 8 时，有 44822 因而 22 ，故 2 不在 单位圆内，所以舍去 时，可由（ 4得：22,1 如果让所有特征根在单位圆里，也就是 12,1 ，所有 天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 17 2 （ 4 （ 4即为0与之前0 相比，这个模型的 , 的使用范围都放宽了，即稳定性条件变宽了 . 若要更深一步的研究这个模 型，在计算下一期的产品数量1考虑最近三年来的价格，即 )3( 211 天津科技大学 2015 届 本科生毕业论文 18 5 人口的预测与控制模型 题重述 随着生活水平的不断提高，人口问题备受人们的关注 些国家的出生率过高，持续发展下去会对人们的正常生活产生很大的影响；又有些国家的 自然增长率接近于零更有甚者成为负数，对国家的发展也很是不利的，如缺少劳动力 但人口总数增长率太高，并且人口老龄化问题日益明显 量将年龄结构调节成适当的水平 . 题分析 每个地方人口数量的变化都是由多种因素所决定的，例如国家政策，社会发展水平，迁移，自然灾害等 性生育率与死亡率