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一次函数知识要点与经典题型 八年级数学 上册 1 圆的周长C与半径r的关系式 例 写出下列问题中的关系式 并指出其中的常量与变量 2 火车以60千米 时的速度行驶 它驶过的路程s 千米 和所用时间t 时 的关系式 3 n边形的内角和S与边数n的关系式 C 2 r2 是常量 C与r是变量 S 60t60是常量 S与t是变量 S n 2 18001800与2是常量 S与n是变量 一 常量 变量 在一个变化过程中 数值发生变化的量叫做变量 数值始终不变的量叫做常量 例 指出下列问题中的自变量与函数 1 票房收入问题 中y 10 x 对于x的每一个值 y都有的值与之对应 所以是自变量 y是x的函数 2 行程问题 中s 60t 对于t的每一个值 s都有 的值与之对应 所以是自变量 是的函数 归纳 如果有两个变量 对于x的每一个值 y都有的值与之对应 称x是 y是x的 唯一 x 唯一 t s t 唯一 自变量 函数 二 函数的概念 函数的定义 一般的 在一个变化过程中 如果有两个变量x与y 并且对于x的每一个确定的值 y都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说x是自变量 y是x的函数 三 函数有三种表示形式 x 分钟 O 例 小刚今天到学校参加初中毕业会考 从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐 吃早餐用了20分钟 再用10分钟赶到离家1000米的学校参加考试 下列图象中 能反映这一过程的是 一般的 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横 纵坐标 那么在坐标平面内由这些点组成的图形 就是这个函数的图象 四 函数图象的定义 D 1 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 2 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描出表格中数值对应的各点 3 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来 五 用描点法画函数的图象的一般步骤 注意 列表时自变量由小到大 相差一样 有时需对称 八年级数学 第十一章函数 六 函数中自变量取值范围的求法 1 用整式表示的函数 自变量的取值范围是全体实数 2 用分式表示的函数 自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数 3 用奇次根式表示的函数 自变量的取值范围是全体实数 用偶次根式表示的函数 自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数 4 若解析式由上述几种形式综合而成 须先求出各部分的取值范围 然后再求其公共范围 即为自变量的取值范围 5 对于与实际问题有关系的 自变量的取值范围应使实际问题有意义 求下列函数的自变量x的取值范围 x 0 x 1 x 0 x为一切实数 x 2 x为一切实数 七 正比例函数及性质一般地 形如y kx k是常数 k 0 的函数叫做正比例函数 其中k叫做比例系数 当k 0时 直线y kx经过一 三象限 从左向右上升 即随x的增大y也增大 当k0时 图像经过一 三象限 k0 y随x的增大而增大 k 0 y随x增大而减小倾斜度 k 越大 越接近y轴 k 越小 越接近x轴 2 函数y 7x的图象在第 象限内 经过点 与点 y随x的增大而 二 四 0 0 1 7 减小 3 正比例函数y k 1 x的图象中y随x的增大而增大 则k的取值范围是 k 1 4 正比例函数y m 1 x的图象经过一 三象限 则m的取值范围是 A m 1B m 1C m 1D m 1 B 1 若y 5x3m 2是正比例函数 则m 1 八 一次函数及性质一般地 形如y kx b k b是常数 k 0 那么y叫做x的一次函数 1 解析式 y kx b k b是常数 k 0 2 必过点 0 b 和 0 3 走向 k 0b 0直线经过第一 二 三象限k 0b0直线经过第一 二 四象限K0直线经过第二 三 四象限 4 增减性 k 0 y随x的增大而增大 k0时 将直线y kx的图象向上平移b个单位 当b 0时 将直线y kx的图象向下平移b个单位 九 一次函数与正比例函数的图象与性质 练习 1 若关于x的函数是一次函数 则m n 2 函数y ax b与y bx a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是 A B C D 3 将直线y 3x向下平移5个单位 得到直线 将直线y x 5向上平移5个单位 得到直线 4 若直线y x a和直线y x b的交点坐标为 m 8 则a b 5 已知函数y 3x 1 当自变量增加m时 相应的函数值增加 3m 1 3m m 3m 1 十 怎样画一次函数y kx b的图象 1 两点法 y x 1 2 平移法 十二 直线y k1x b1与y k2x b2的位置关系 1 两直线平行 k1 k2且b1 b2 2 两直线相交 k1 k2 3 两直线重合 k1 k2且b1 b2 十一 正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y kx b的图象是一条直线 它可以看作是由直线y kx平移 b 个单位长度而得到 当b 0时 向上平移 当b 0时 向下平移 1 根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式 2 将x y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程 3 解方程得出未知系数的值 4 将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式 十四 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤 应用新知 例1 1 若y 5x3m 2是正比例函数 m 2 若是正比例函数 m 1 2 直线y kx b经过一 二 四象限 则K0 b0 此时 直线y bx k的图象只能是 D 练习 已知直线y kx b平行于直线y 2x 且与y轴交于点 则k b 此时 直线y kx b可以由直线y 2x经过怎样平移得到 2 2 练习 若一次函数y x b的图象过点A 1 1 则b 2 根据如图所示的条件 求直线的表达式 练习 柴油机在工作时油箱中的余油量Q 千克 与工作时间t 小时 成一次函数关系 当工作开始时油箱中有油40千克 工作3 5小时后 油箱中余油22 5千克 1 写出余油量Q与时间t的函数关系式 解 设所求函数关系式为 kt b 把t 0 Q 40 t 3 5 Q 22 5分别代入上式 得 解得 解析式为 Q t 40 0 t 8 2 画出这个函数的图象 取t 0 得Q 40 取t 得Q 描出点 40 B 8 0 然后连成线段AB即是所求的图形 图象是包括两端点的线段 Q t 40 0 t 8 某医药研究所开发了一种新药 在实际验药时发现 如果成人按规定剂量服用 那么每毫升血液中含药量y 毫克 随时间x 时 的变化情况如图所示 当成年人按规定剂量服药后 1 服药后 时 血液中含药量最高 达到每毫升 毫克 接着逐步衰弱 2 服药5时 血液中含药量为每毫升 毫克 3 当x 2时y与x之间的函数关系式是 4 当x 2时y与x之间的函数关系式是 5 如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时 治疗疾病最有效 那么这个有效时间是 时 y 3x y x 8 4 1 已知y 1与x 2成正比例 当x 3时 y 3 1 求y与x的函数关系式 2 画出这个函数图象 3 求图象与坐标轴围成的三角形面积 4 当 1 x 4时 求y的取值范围 注意点 1 函数表达形式要化简 2 第 4 小题解法 代数法 图象法 正比例函数与一次函数的关系及有关的图象问题 知识点 1 正比例函数与一次函数的关系 2 一次函数图象的画法 3 一次函数图象与坐标轴交点坐标求法 1 已知一次函数y m 4 x 3 m 当m为何值时 1 Y随x值增大而减小 2 直线过原点 3 直线与直线y 2x平行 4 直线不经过第一象限 5 直线与x轴交于点 2 0 6 直线与y轴交于点 0 1 7 直线与直线y 2x 4交于点 a 2 m m 4 m 2 3 m 4 m 3 m 5 m 4 m 5 5 一次函数性质的运用问题 2 已知正比例函数y kx k 0 的函数值随的增大而增大 则一次函数y kx k的图象大致是 B C 正比例函数与一次函数中k b的符号判断问题 A 一次函数与实际问题 1 某农户种植一种经济作物 总用水量y 米3 与种植时间x 天 之间的函数关系式如图 1 第20天的总用水量为多少米 2 求y与x之间的函数关系式 3 种植时间为多少天时 总用水量达到7000米3 注意点 1 从函数图象中获取信息 2 根据信息求函数解析式 从一次函数图象中获取信息问题 3 三军受命 我解放军各部奋力抗战在救灾一线 现有甲 乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇 甲队先出发 从部队基地到该小镇只有唯一通道 且路程为24km 如图是他们行走的路程关于时间的函数图象 四位同学观察此函数图象得出有关信息 其中正确的个数是 A 1B 2C 3D 4 甲队到达小镇用了6小时 途中停顿了1小时 甲队比乙队早出发2小时 但他们同时到达 乙队出发2 5小时后追上甲队 乙队到达小镇用了4小时 平均速度是6km h 4 5 4 5 D 2 5 12 汶川地震发生后 某天广安先后有两批自愿者救援队分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往重灾区平武救援 下图表示其行驶过程中路程随时间的变化图象 1 根据图象 请分别写出客车和出租车行驶过程中路程与时间之间的函数关系式 不写出自变量的取值范围 2 写出客车和出租车行驶的速度分别是多少 3 试求出出租车出发后多长时间赶上客车 一次函数与动点问题 1 如图 在边长为的正方形ABCD的一边BC上 有一点P从点B运动到点C 设BP X 四边形APCD的面积为y 1 写出y与x之间的关系式 并画出它的图象 2 当x为何值时 四边形APCD的面积等于3 2 A B C D P 2 如图1 在矩形ABCD中 动点P从点B出发 沿BC CD DA运动至点A停止 设点P运动的路程为x ABP的面积为y 如果y关于x的函数图象如图2所示 1 求 ABC的面积 2 求y关于x的函数解析式 BC 4 AB 5 2 y 2 5x 0 x 4 y 10 4 x 9 13 y 2 5x 32 5 9 x 13 3 当 ABP的面积为5时 求x的值 X 2 X 11 一次函数与方程 组 及不等式问题 1 用图象法解某二元一次方程组时 在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象 如图所示 则所解的二元一次方程组是 A B C D D 2 如图 已知函数y x b和y ax 3的图象交于P点 则x b ax 3不等式的解集为 X 1 一次函数中数形结合思想方法的应用 1 如图 直线AB与y轴 x轴交点分别为A 0 2 B 4 0 问题1 求直线AB的解析式及 AOB的面积 问题2 当x满足什么条件时 y 0 y 0 y 0 0 y 2 当x 4时 y 0 当x 4时 y 0 当x 4时 y 0 当0 x 4时 0 y 2 问题3 在x轴上是否存在一点P 使 若存在 请求出P点坐标 若不存在 请说明理由 1 7 P 1 0 或 7 0 问题4 若直线AB上有一点C 且点C的横坐标为0 4 求C的坐标及 AOC的面积 0 4 问题5 若直线AB上有一点D 且点D的纵坐标为1 6 求D的坐标及直线OD的函数解析式 1 6 D C点的坐标 0 4 1 8 D点的坐标 0 8 1 6 y 2x 问题6 求直线AB上是否存在一点E 使点E到x轴的距离等于1 5 若存在求出点E的坐标 若不存在 请说明理由 1 5 1 5 问题7 求直线AB上是否存在一点F 使点E到y轴的距离等0 6 若存在求出点F的坐标 若不存在 请说明理由 E点的坐标 1 1 5 或 7 1 5 F点的坐标 0 6 1 7 或 0 6 2 3 A 2 O 4 B x y 问题8 在直线上是否存在一点G 使 若存在 请求出G点坐标 若不存在 请说明理由 G 2 1 或 6 1 问题9 在x轴上是否存在一点H 使 若存在 请求出H点坐标 若不存在 请说明理由 H 1 1 5 或 1 2 5 问题10 已知x点A 4 0 B 2 0 若点C在一次函数的图象上 且 ABC是直角三角形 则满足条件点C有 A 1个B 2个C 3个D 4个 问题11 如图 直线AB与y轴 x轴交点分别为A 0 2 B 4 0 以坐标轴上有一点C 使 ACB为等腰三角形这样的点C有 个A 5个B 6个C 7个D 8个 A 2 O 4 B x y 一次函数中方案的选择问题 1 某学校计划在总费用2300元的限额内 租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动 每辆汽车上至少要有1名教师 现有甲 乙两种大客车 它们的载客量和租金如下表 1 1 共需租多少辆汽车 2 给出最节省费用的租车方案 要求 1 要保证240名师生有车坐 2 要使每辆车至少要有1名教师 解 1 共需租6辆汽车 2 设租用x辆甲种客车 租车费用为y元 由题意得y 400 x 280 6 x 化简得y 120 x 1680 x是整数 x取4 5 k 120 O y随x的增大而增大 当x 4时 Y的最小值 2160元 2 9分 5月12日 我国四川省汶川县等地发生强烈地震 在抗震救灾中得知 甲 乙两个重灾区急需一种大型挖掘机 甲地需要25台 乙地需要23台 A B两省获知情况后慷慨相助 分别捐赠该型号挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区 如果从A省调运一台挖掘机到甲地要耗资0 4万元 到乙地要耗资0 3万元 从B省调运一台挖掘机到甲地要耗资0 5万元 到乙地要耗资0 2万元 设从A省调往甲地台挖掘机 A B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元 请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围 调入地 调出地 A 26台 B 22台 甲 25台 乙 23台 x 25 x 26 x X 3 0 4 0 5 0 3 0 2 Y 0 4x 0 5 25 x 0 3 26 x 0 2 X 3 Y 0 2x 19 7 3 x 25 若要使总耗资不超过15万元 有哪几种调运方案 Y 0 2x 19 7 3 x 25 0 2x 19 7 15 X 23 5 x是整数 x取24 25 即 要使总耗资不超过15万元 有如下两种调运方案 方案一 从A省往甲地调运24台 往乙地调运2台 从B省往甲地调运1台 往乙地调运21台 方案二 从A省往甲地调运25台 往乙地调运1台 从B省往甲地调运0台 往乙地调运22台 怎样设计调运方案能使总耗资最少 最少耗资是多少万元 3 已知雅美服装厂现有A种布料70米 B种布料52米 现计划用这两种布料生产M N两种型号的时装共80套 已知做一套M型号的时装需用A种布料1 1米 B种布料0