2018-2019学年重庆市七校高二下学期期末联考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市七校高二下学期期末联考数学（理）试题一、单选题1已知集合，则为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用集合的交集运算进行求解即可【详解】由题可知集合中，集合中求的是值域的取值范围，所以的取值范围为答案选A【点睛】求解集合基本运算时，需注意每个集合中求解的是x还是y,求的是定义域还是值域，是点集还是数集等2下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）ABCD【答案】A【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性由函数的奇偶性定义易得，是偶函数，是奇函数是周期为的周期函数，单调区间为时，变形为，由于21,所以在区间上单调递增时，变形为，可看成的复合，易知为增函数，为减函数，所以在区间上单调递减的函数故选择A3函数的零点个数是（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】因为和在均为增函数，所以在单调递增，所以函数至多一个零点，再给赋值，根据可得函数在上有一个零点【详解】因为与均在上为增函数，所以函数至多一个零点又，即函数在上有一个零点答案选B【点睛】零点问题可根据零点存在定理进行判断，也可采用构造函数法，根据构造的两新函数函数交点个数来确定零点个数4若，则实数，的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用幂指对函数的单调性，比较大小即可.【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查了指对函数的单调性及特殊点，考查函数思想，属于基础题.5设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】复数是纯虚数，必有利用充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】若复数是纯虚数，必有所以由能推出；但若,不能推出复数是纯虚数. 所以由不能推出.，因此是充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6已知函数(其中，)在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】分类讨论a的范围，根据真数的符号以及单调性，求出a的范围【详解】解：函数yloga（8ax）（其中a0，a1）在区间1，4上单调递减，当a1时，由函数t8ax在区间1，4上单调递减且t0，故84a0，求得1a2当0a1时，由函数t8ax在区间1，4上单调递减，可得函数yloga（8ax）在区间1，4上单调递增，这不符合条件综上，实数a的取值范围为（1，2），故选：D【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于中档题7已知函数的定义域是，则的展开式中的系数是（ ）AB192CD230【答案】A【解析】函数的定义域是可知，-1和2是方程的两根，代入可求得值，再根据二项式定理的通项公式进行求解即可【详解】因为的定义域，所以-1和2是方程的两根，将-1代入方程可得，则二项式定理为根据二项式定理的通项公式，的系数答案选A【点睛】本题考察了一元二次方程根与系数的关系，二项式定理通项公式的求法及二项式系数的求法，难度不大，但综合性强8湖北省2019年新高考方案公布，实行“”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选科组合中某学生选择考历史和化学的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】基本事件总数，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数，由此能求出在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率【详解】湖北省2019年新高考方案公布，实行“”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，基本事件总数，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数，在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为故选【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9下列说法中， 正确说法的个数是（ ）在用列联表分析两个分类变量与之间的关系时，随机变量的观测值越大，说明“A与B有关系”的可信度越大以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和 0.3已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，则A0B1C2D3【答案】D【解析】对题目中的三个命题判断正误，即可得出结论【详解】解：对于，分类变量A与B的随机变量K2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大，正确；对于，以模型ycekx去拟合一组数据时，设zlny，由ycekx，两边取对数，可得lnyln（cekx）lnc+lnekxlnc+kx，令zlny，可得zlnc+kx，又z0.3x+4，lnc4，k0.3，ce4，正确；对于，根据回归直线方程为ya+bx，ab3211，正确；综上，正确的命题为，共3个故选：D【点睛】本题考查了回归方程，对数的运算性质，随机变量K2的概念与应用问题，是基础题10下列说法正确的是（ ）A若为真命题，则为真命题B命题“若，则”的否命题是真命题C命题“函数的值域是”的逆否命题是真命题D命题“，关于的不等式有解”，则为“，关于的不等式无解”【答案】C【解析】采用命题的基本判断法进行判断，条件能推出结论为真，推不出为假【详解】A. 若为真命题，则中有一个为真命题即可满足，但推不出为真命题，A错B. 命题“若，则”的否命题是：“若，则”，当时，不满足，B错C. 原命题与逆否命题真假性相同，的取值大于零，所以值域为，C为真命题D. 命题“，关于的不等式有解”，则为“，关于的不等式无解”，D错答案选C【点睛】四种常见命题需要熟悉基本改写方式，原命题与逆否命题为真，逆命题与否命题为真，原命题与逆命题或否命题真假性无法判断，需改写之后再进行判断，命题的否定为只否定结论，全称改存在，存在改全称11已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，且对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】由可判断函数为减函数，将变形为，再将函数转化成恒成立问题即可【详解】，又是定义在上的奇函数，为R上减函数，故可变形为，即，根据函数在R上为减函数可得，整理后得，在为减函数，为增函数，所以在为增函数，为减函数在恒成立，即，当时，有最小值所以答案选B【点睛】奇偶性与增减性结合考查函数性质的题型重在根据性质转化函数，学会去“”；本题还涉及恒成立问题，一般通过分离参数，处理函数在某一区间恒成立问题12已知函数的图象上，有且只有三个不同的点，它们关于直线的对称点落在直线上，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】可先求关于的对称直线，联立对称直线和可得关于x的函数方程，采用分离参数法以及数形结合的方式进行求解即可【详解】设直线关于的对称函数为，则，因为与有三个不同交点，联立，可得，当时显然为一解，当时，有，画出的图像，可知满足与有两交点需满足综上所述，实数的取值范围是答案选D【点睛】本题考察了直线关于对称直线的求法，函数零点中分离参数、数形结合、分类讨论等基本知识，对数学思维转化能力要求较高，特别是分离参数与数形结合求零点问题，是考察重点二、填空题13已知函数，则_.【答案】1【解析】利用分段函数的性质求解【详解】解：，故答案为：1【点睛】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的灵活运用14已知定义在上的函数满足，且当时，则_【答案】18【解析】由可判断函数周期为2，所以，将代入即可求值【详解】由，可得所以18【点睛】若函数满足，则函数周期为，对于给出x的取值不在给定区间的，必须要根据周期性转化为在对应区间的x值，再代入表达式进行求解15中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造. 算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，用算筹表示数19的方法如图:例如：163可表示为“”，27可表示为“”.现有6根算筹，用来表示不能被10整除的两位数，算筹必须用完，则这样的两位数的个数为_.【答案】16【解析】根据算筹计数法，需要对不能被10整除的两位数进行分类讨论。可采用列举法写出具体个数【详解】根据算筹计数法中的技术特点，可分为：“1”作十位数：另外五根算筹有两种组合方式，分别为15、19“2”作十位数：另外四根算筹有两种组合方式，分别为24、28“3”作十位数：另外三根算筹有两种组合方式，分别为33、37“4”作十位数：另外两根算筹有两种组合方式，分别为42、46“5”作十位数：另外一根算筹有两种组合方式，分别为51“6”作十位数：另外四根算筹有两种组合方式，分别为64、68“7”作十位数：另外三根算筹有两种组合方式，分别为73、77“8”作十位数：另外两根算筹有两种组合方式，分别为82、86“9”作十位数：另外一根算筹有两种组合方式，分别为91所以这样的两位数的个数共有16个【点睛】本题结合中国古代十进制的算筹计数法，体现了数学与生活的联系，数学服务于生活的思想，对于这种数学文化题型，合理的推理演绎，学会寻找规律规律是解题关键。本题还可采用分析算筹组合特点，先考虑十位数特点，再考虑个位数特点，采用排列组合方式进行求解16已知曲线F（x，y）=0关于x轴、y轴和直线y=x均对称，设集合S=（x，y）|F（x，y）=0，xZ，yZ下列命题：若（1，2）S，则（-2，-1）S；若（0，2）S，则S中至少有4个元素；S中元素的个数一定为偶数；若（x，y）|y2=4x，xZ，yZS，则（x，y）|x2=-4y，xZ，yZS其中正确命题的序号为_（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】结合曲线F（x，y）=0关于x轴、y轴和直线y=x均对称，利用对称性分别进行判断即可【详解】若（1，2）S，则（1，2）关于y=x对称的点（2，1）S，关于x轴对称的点（2，-1）S，关于y轴对称的点（-2，-1）S；故正确， 若（0，2）S，关于x轴对称的点（0，-2）S，关于y=x对称的点（2，0）S，（-2，0）S，此时S中至少有4个元素；故正确， 若（0，0）S，则（0，0）关于x轴，y轴，y=x对称的点是自身，此时S中元素的个数为奇数个，故错误； 若（x，y）|y2=4x，xZ，yZS，则关于y对称的集合为（x，y）|y2=-4x，xZ，yZS， 从而（x，y）|y2=-4x，xZ，yZS关于y=x对称的集合（x，y）|x2=-4y，xZ，yZS，故正确， 故答案为：【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合函数图象的对称性分别进行验证是解决本题的关键，属于中档题三、解答题17已知函数.（1）解不等式；（2）若的最小值为，正实数，满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）9【解析】（1）可采用零点讨论法先求出零点，再将x分为三段，分别进行讨论求解（2）采用绝对值不等连式特点求出最小值，再采用均值不等式进行求解即可【详解】解：（1）当时，解得；当时，恒成立；当时，解得；综上所述，该不等式的解集为.（2）根据不等连式，所以，当且仅当时取等号.故最小值为9.【点睛】绝对值不等式的解法常采用零点讨论法，分区间讨论时，一定要注意零点处取不取得到的问题，如本题中将x分为三段，；绝对值不等连式为：，应熟悉均值不等式常见的基本形式，知道基本形式都源于18在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆经过极点，且其圆心的极坐标为.（1）求圆的极坐标方程；（2）若射线分别与圆和直线交于点，（点异于坐标原点），求线段的长.【答案】（1）；（2）【解析】(1)将圆心极坐标转化为直角坐标，可得圆是以为圆心，半径为2的圆，写出标准方程，再转化成极坐标方程即可（2）将代入可求得，再根据直线的参数方程进行消参，得到普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，算出，可求得答案【详解】解：（1）圆是以为圆心，半径为2的圆.其方程是，即，可得其极坐标方程为，即；（2）将代入得，直线的普通方程为，其极坐标方程是，将代入得，故.【点睛】对于圆的普通方程和参数方程及极坐标方程，应熟练掌握，平时应熟记四种极坐标方程及对应的普通方程：，做题时才能游刃有余，本题第二问巧妙地运用了极径来求解长度问题，体现了极坐标处理解析几何问题的优越性19为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品，从设备的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数的数学期望；（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）：；.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级并说明理由.【答案】（1）；（2）设备的性能为丙级别.理由见解析【解析】（1）对于次品个数的数学期望的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合条件的次品数/样本总数，次品可通过寻找直径小于等于或直径大于的零件个数求得，再根据该分布符合，进行期望的求值（2）根据（2）提供的评判标准，再结合样本数据算出在每个对应事件下的概率，通过比较发现，三个条件中只有一个符合，等级为丙【详解】解：（1）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件，从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，依题意，故；（2）由题意知，所以由图表知道：，所以该设备的性能为丙级别.【点睛】对于正态分布题型的数据分析，需要结合的含义来进行理解，根据题设中如；来寻找对应条件下的样品数，计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须够保证数据的准确性，特别是统计个数和计算，等数据时20如图，直三棱柱中，为的中点，点为线段上的一点.(1)若，求证: ;(2)若，异面直线与所成的角为30，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】（1）取中点，连接，易知要证，先证平面；（2）如图以为坐标原点，分别以，为轴轴轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及直线的方向向量，即可得到结果.【详解】(1)证明:取中点，连接，有，因为，所以，又因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，所以.(2)设，如图以为坐标原点，分别以，为轴轴轴，建立空间直角坐标系，由 (1)可知，所以，故，对平面，所以其法向量为.又，所以直线与平面成角的正弦值.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题21已知函数，其中.（1）求的单调递增区间；（2）当的图像刚好与轴相切时，设函数，其中，求证：存在极小值且该极小值小于.【答案】（1）当时，的单调增区间是，当时，的单调递增区间是；（2）证明见解析【解析】（1）先求导，通过导论参数和，根据导数值大于零，求出对应增区间即可（2）当时，由（1）知切点即为，可求出，求出，先求导，再根据导数值正负进一步判断函数增减性，确定极值点，求证在该极值点处函数值小于即可【详解】解：（1），当时，的单调增区间是；当时，由可得，综上所述，当时，的单调增区间是，当时，的单调递增区间是.（2）易知切点为，由得，所以设，则在上是增函数，当时，所以在区间内存在唯一零点，即.当时