对称性在积分学中的应用.doc

毕 业 论 文（理工类）题 目： 对称性在积分中的应用 学生姓名： 学 号： 专 业： 数学与应用数学 年 级： 学 院： 数学与计算机学院 指导教师： 教务处制目录第一章 对称性在定积分中的应用4第一节 对称性与定积分的相关定义、定理4 第二节 定积分的基本定理4第三节 对称性在定积分中的应用举例6第二章 对称性在重积分中的应用8第一节 重积分的几何意义8第二节 对称性在重积分中的重要定理8第三节 对称性在二重积分中的应用举例13第三章 三重积分的对称性应用14第一节 空间对称区域14第二节 空间对称区域上的奇偶函数15第三节 奇偶函数在空间对称区域上的积分15第四节 三重积分的应用举例16第四章 利用对称性构造积分18 第一节 对称性在积分应用中的其他重要结论18第二节 利用对称性构造积分的应用举例18参考文献21对称性在积分中的应用 摘要：本文归纳了对称性在积分计算中的一些重要结论，利用这些结论，使较复杂的计算变得简单，并结合实例说明这些结论的应用. 关键词：奇偶函数 积分 对称性在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线、平行于坐标面的平面、平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，来讨论积分的对称性。第一章对称性在定积分中的应用第一节.对称性与定积分的相关定义、定理对称性定义1： 设平面区域为,若点 ,则关于直线对称，则与是关于的对称点.若点 ，则关于直线对称，称点与是关于的对称点（显然当,对关于,轴对称）对称性定义2: 设平面区域为,若点，则关于对称，称点与是关于的对称点.定积分定理1：设在区间上连续，则在上可积.定积分定理2:设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积.第二节： 定积分的基本定理1.1定积分的意义 （1）若，定积分表示曲线与直线轴所围成的曲边梯形的面积； （2）若，曲线与直线轴所围成的曲边梯形的面积为； （3）若符号不定，则定积分表示曲线与直线轴所围成的曲边梯形位于。1.2对称性在定积分应用中的基本定理 推理 设函数在上连续，则有 （1） 证 令，有 （2）令，则 （3）将（3）式代入（2）式，并将积分变量统一成,则 特别地，令，就得公式 由函数奇偶性的定义及上式，易得定理1 设在对称区间上可积 （i）若是偶函数，则成立 （ii）若是奇函数，则成立 证明：由 ， 对积分作变量代换，得 例1： 计算 解： 很容易知道为奇函数，为偶函数，所以有： 而为偶函数，所以有： 即： 例2： 计算积分 解：我们计算积分，一眼就看出了它的积分域是对称的，我们可以直接联想到对称性得问题 令 而有：，即是偶函数 有：即是奇函数则有： 定理2 设函数连续， 1)若的图形关于直线对称，即，则对一切,有2)若的图形关于点对称，即，则对一切，有证 1)由（1）式及已知条件，有2)由（1）式及已知条件，有此结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大帮助.第三节：对称性在定积分中的应用举例例 1 求 ，解：（i）因为为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，在对称区间上的积分是 0即： （ii）将看成，看成，则代入分部积分有：=0例2 求 解 一看这个被积函数是非奇即偶，但是可以把它分成两部分来看和,前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，可用定理1的结论简化其计算.而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间上求解. 就像这样的例子很多,应用定积分的性质进行拆项后,达到简化计算的目的. 例3 求解 因为及都关于对称（由图像可知），且关于点中心对称.所以关于点中心对称，又区间关于对称，故定理有于是利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.例4：求椭圆所围成的图形的面积 解： 这椭圆关于两坐标轴都对称（见图），所以椭圆所围成的图形的面积为 其中为该椭圆在第一象限部分与两坐标轴所围成图形的面积， 因此 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法，令，则 ， 当由0变到时， 当时，就得到大家所熟悉的圆面积的公式 第二章对称性在重积分中的应用第一节：重积分的几何意义当函数在有界闭区域上连续时，若，二重积分表示以区域为底、以函数为顶的曲顶柱体的体积；若，二重积分表示以区域为底、以函数为顶的曲顶柱体的体积的相反数，则，二重积分表示以区域为底、以函数为顶的曲顶柱体的“有向体积”。其有向性为：若，则体积为正；若，则体积为负。二重积分为正负各部分体积的代数和。第二节： 对称性在重积分中的重要定理定理1：设函数在有界闭区域上连续，且有界闭区域,与关于（或）轴对称.那么（i）若D关于x轴对称，则其中是的上半部分：= 证明 （1）若区域对称与轴（图），对任意，其对称点，令 ，则变换为坐标面上的，且雅可比行列式 故： =于是，代入（1）式得： 例1 计算，其中区域 解： 是关于的奇函数且关于轴对称，所以 = 0 例2 计算，其中区域 解： 是关于的偶函数，且关于轴对称， 所以： =2 =2=（ii）若积分域关于轴对称，为的奇偶函数，则二重积分其中是的右半部分： 证明：若区域对称于轴（图2）对任意，对称点类似于（i）的证明可得 例3： 计算，其中： 解： ， 且区域关于轴对称，所以 例4： 计算 ，其中区域： 解：是关于的偶函数，且区域关于轴对称， 所以 定理2：设有界闭区域D关于x轴和y轴均对称，函数在D上连续且 关和均为偶函数，则其中是的第一象限的部分：= 例5：计算二重积分，其中区域： 解：由于积分区域关于坐标轴均对称，原点也全对称，且函数在上连续且也关于均为偶函数， 所以由上述定理可知： =定理3设有界闭区域D关于原点对称，函数在上连续，则其中= 例6：计算 其中是由区域所围成的闭区域 解：有图，但被积函数不满足 ，也不满足，故我们不能直接用定理来计算，但若记 ， 然后对分别用定理3，则： ， 故 定理4：设有界闭区域D关于对称, 函数在上连续，则例7：设为恒正的连续函数，计算积分 解：由于积分区域，所以由定理4，可得： ， 于是 故： 当积分区域关于对称时，被积分函数的两个变量可以互换位置的特殊性质可以使二重积分计算化简。 类似的，若积分区域关于直线对称且满足，则 ，或满足，则有 （其中的一半）第三节： 对称性在二重积分中的应用举例例1.计算二重积分，其中是由，所围成的区域. 解 积分区域关于轴对称（见图1），且为关于轴的奇函数，故例2：计算，其中D由下列双纽线围成：(1)(2) 解：（1）由于围成的区域关于x轴y轴均对称，而被积函数关于（或轴）为奇函数则有 （2）由围成的区域对称于原点，而被积函数是关于,的偶函数则有=由极坐标知，代入得且由，知则于是例3：设函数在上的正值连续函数证明：，其中为常数，证明：积分区域D关于对称设，由定理得：，以上两式相加,得，从而 第三章三重积分的对称性应用第一节： 空间对称区域 （1）若对，则称空间区域关于面对称；运用同样的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性。 （2）若对，则称空间区域关于轴对称；运用同样的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性。 （3）若对，则称空间区域关于坐标原点对称。第二节： 空间对称区域上的奇偶函数 设施定义在空间区域上的三元函数 （1）若满足关系式，则称是关于的奇函数；满足关系式，则称是关于的偶函数。利用相同的方法，可以定义关于的奇偶函数的定义。 （2）若满足关系式，则称是关于的奇函数；若满足关系式，则称是关于的偶函数。利用相同的方法，可以定义关于的奇偶函数定义。 （3）若满足关系式，则称是关于的奇函数；若满足关系式，则称是关于的偶函数。第三节： 奇偶函数在空间对称区域上的积分 （1）若空间区域关于面对称，则当在上是的奇函数时， ；则当在上是的偶函数时， ，其中是在面上侧的部分。 （2）若空间区域关于轴对称，则当在上是的奇函数时， ； 当在上是的偶函数时， ，其中是位于过轴的平面一侧的部分。 （3）若空间区域关于坐标原点对称，则当在上是的奇函数时， 当在上是的偶函数时， ，其中是位于过原点的平面一侧的部分。 第四节 三重积分的应用举例例1：计算三重积分，其中是由平面与三个坐标面所围成的四面体。 解： 积分区域关于面对称，被积函数是的奇函数，所以 例2：计算，其中为 解：， 因：关于原点对称，又，分别为的奇函数，所以： 例3：计算，其中为 解：因为及关于变量均具有轮换对称性，所以 而，（的奇函数，关于面对称） 所以 第四章利用对称性构造积分第一节 对称性在积分应用中的其他重要结论 定理1 设在区间上可积，则有将上述定理进一步推广可得：定理2 若存在，则有第二节 利用对称性构造积分的应用举例例1 计算. 解 由于是以为对称轴的奇对称函数且点-5，-1关于点-3的对称，作变换，把积分变成对称区间上的奇、偶函数的积分.即作变换把对称平移到点，故令，则 .例2 计算. 解 令有 即 所以 .由此可见，上述关于积分(定积分、重积分)对称性的定理对于在特殊情况下简化积分的计算是非常有效的，它可以避免很多的干扰，所以在解题中注意积分区域是否具有某种对称性是简化题目的关键.如果对称性不明显的，有时也可以通过一定的方法，根据问题的特点构造对称性，则可减少一些繁琐的计算，提高解题效率，往往能收到事半功倍的效果.总之，应用对称性计算积分时应注意以下几点： 必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面都具有某种对称性时才能利用。如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，再考虑利用上述结论。 对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重。 有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答。参考文献：1 华东师范大学.数学分析M.北京:高等教育出版社,2001.2 同济大学数学教研室.高等数学M.北京: 高等教育出版社,2002.3 裴礼文.数学分析