高中数学《抛物线的简单性质的应用》导学案 北师大版选修11(1).doc

第6课时抛物线的简单性质的应用1.根据抛物线的几何性质进行一些简单问题的应用,会利用几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程、焦半径和通径.2.能判断抛物线与直线的位置关系,理解抛物线的焦点弦的特殊意义,结合定义得到焦点弦的公式,并利用该公式解决一些相关的问题.我们已经学习了抛物线及抛物线的简单几何性质,抛物线的几何性质应用非常广泛,通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几何性质,再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质不难掌握,而抛物线几何性质的应用是学习的难点,学习中应注重几何模型与数学问题的转换.问题1:直线和抛物线的位置关系的判定方法联立直线和抛物线方程得:ax2+bx+c=0.当a0时,0;=0;0)为例,根据抛物线的定义,可以将焦点弦长转化为|ab|=,这样在求解时可以大大简化运算量.过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径.直接应用抛物线定义,得到通径:d=2p.问题3:关于抛物线的几个结论设ab是过抛物线y2=2px(p0)焦点f的弦,过点a(x1,y1),b(x2,y2)的直线的倾斜角为,p(x0,y0)是抛物线上任意一点,则(1)以ab为直径的圆必与准线l相切;(2)a,b两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值.即x1x2=p24,y1y2=-p2;(3)焦半径(抛物线上一点与抛物线焦点f的线段)为|pf|=x0+p2;(4)焦点弦|ab|=x1+x2+p=2psin2,1|fa|+1|fb|=2p;(5)焦点三角形面积为soab=p22sin;(6)若点p(x0,y0)在抛物线y2=2px(p0)或x2=2py(p0)的内部(含焦点区域),则y022px0或x020),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a,b两点,若线段ab的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为().a.x=1b.x=-1c.x=2d.x=-22.若点(3,1)是抛物线y2=2px(p0)的一条弦的中点,且弦所在直线的斜率为2,则p等于().a.1b.2c.12d.43.已知o为坐标原点,f为抛物线y2=4x的焦点,a是抛物线上一点,若oaaf=-4,则点a的坐标是.4.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15,求抛物线的方程.(2013年新课标卷)设抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,点m在c上,|mf|=5.若以mf为直径的圆过点(0,2),则c的方程为().a.y2=4x或y2=8xb.y2=2x或y2=8xc.y2=4x或y2=16xd.y2=2x或y2=16x考题变式(我来改编):第6课时抛物线的简单性质的应用知识体系梳理问题1:直线与抛物线相交,有两个不同的交点直线与抛物线相切,只有一个公共点直线与抛物线相离相交问题2:x1+x2+p基础学习交流1.a设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点f(12,0),所以312-20+c=0,所以c=-32,故直线l的方程是6x-4y-3=0.选a.2.b不妨设a,b两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中x1x2.由直线ab斜率为-2,且过点(1,0)得直线ab的方程为y=-2(x-1),代入抛物线方程y2=8x,得4(x-1)2=8x,整理得x2-4x+1=0,解得x1=2+3,x2=2-3,|ab|=1+(-2)2|x1-x2|=215.3.x2=16y过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍.所求抛物线的方程为x2=16y.4.解:设r(x,y),相应的p(x1,y1),则x+x12=-1+02,y+y12=2+02x1=-x-1,y1=-y+2,由x1=-x-10,得x-1.又点p在抛物线x2=y上,(-x-1)2=-y+2,即(x+1)2=-y+2(x0,即a4.x1+x2=a-2,x1x2=1,oaob=x1x2+y1y2=2x1x2+x1+x2+1=a+1.a+1=a2-1,解得a=-1或a=2(舍去).所求方程y2=-x,焦点坐标为(-14,0),准线方程为x=14.【小结】这类问题的一般方法: (1)用直线方程和抛物线方程列方程组;(2)消元化为一个一元二次方程后,利用韦达定理得到x1+x2 ,x1x2 ;(3)将x1+x2 ,x1x2 代入题中的条件,从而得到关系式,使问题得到解决.探究二:【解析】若抛物线开口向右,如图,依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则直线方程为y=-x+12p.设直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2),则由抛物线定义,得|ab|=|af|+|fb|=|ac|+|bd|=x1+p2+x2+p2=8.又a(x1,y1),b(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由y=-x+12p,y2=2px消去y,得x2-3px+p24=0,x1+x2=3p,p=2,所求抛物线方程为y2=4x.同理,当抛物线开口向左时,可求得抛物线方程为y2=-4x.【小结】(1)在解决与焦点弦有关的问题时,一是注意焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组,再结合根与系数的关系解题;二是注意焦点弦、焦半径公式的应用,解题时注意整体代入的思想,可使运算、化简简便.(2)在解决直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题,处理的基本方法是点差法、利用根与系数的关系快速地求出中点弦所在直线的斜率.探究三:【解析】设直线l的方程为y=kx+3,将其代入y2=4x,整理得k2x2+(6k-4)x+9=0,则=(6k-4)2-49k2=16-48k=0,解得k=13,直线l的方程为y=13x+3.问题直线l的斜率一定存在吗?结论上述解法只考虑了直线的斜率k存在的情况,而忽视了k不存在以及直线l平行抛物线对称轴时两种情形.于是,正确解答为:当斜率k存在且k0时,直线l的方程为y=13x+3,当k=0时,直线l:y=3,此时l平行于对称轴,且与抛物线只有一个交点(94,3),当k不存在时,直线l与抛物线也只有一个公共点,此时l的方程为x=0,综上,过点(0,3)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线的方程为y=13x+3,y=3,x=0.【小结】要判断直线与抛物线的位置关系,通常是通过讨论直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况来判断,对于直线与抛物线只有一个公共点的情况,应特别注意平行于抛物线对称轴的直线与抛物线只有一个公共点,但它不是切线,不能用=0求解,此时应分类讨论.思维拓展应用应用一:椭圆的方程可化为x24+y29=1,其短轴在x轴上,抛物线的对称轴为x轴,设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p0).抛物线的焦点到顶点的距离为3,即p2=3,p=6.抛物线的标准方程及其准线方程分别为y2=12x,x=-3或y2=-12x,x=3.应用二:设以q为中点的弦ab端点坐标为a(x1,y1),b(x2,y2),由题意,得x1x2,则有y12=8x1,y22=8x2,x1+x2=8,y1+y2=2.-,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2),将代入,得y1-y2=4(x1-x2),即4=y1-y2x1-x2,k=4.所求弦ab所在直线方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.应用三:设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx-2,将其代入y2=-12x,整理得ky2+12y+24=0,当k=0时,直线l:y=-2,此时l平行于对称轴,直线与抛物线只有一个交点(-13,-2),当k0时,由于=122-424k=0,解得k=32,直线l的方程为y=32x-2.当k不存在时,直线l与抛物线相切与顶点,此时只有一个公共点,此时l的方程为x=0.综上,过点(0,-2)且与抛物线y2=-12x只有一个公共点的直线的方程为y=32x-2,y=-2,x=0.基础智能检测1.b抛物线的焦点为f(p2,0),所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-p2,即x=y+p2,代入y2=2px得y2=2p(y+p2)=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根与系数的关系得y1+y22=p=2(y1,y2分别为点a,b的纵坐标),所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1.2.b设弦的两个端点为p1(x1,y1),p2(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,两式相减得y1-y2x1-x2=2py1+y2=2.又因为y1+y2=2,所以p=2.3.(1,2)或(1,-2)抛物线的焦点为f(1,0),设a(y024,y0),则oa=(y024,y0),af=(1-y024,-y0),由oaaf=-4,得y0=2,点a的坐标是(1,2)或(1,-2).4.解:设抛物线的方程为y2=2px,则y2=2px,y=2x+1,消去y,得4x2-(2p-4)x+1=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),x1+x2=p-22,x1x