高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程命题与探究1.docx

3.1 函数与方程问题探究 问题 什么是函数与方程思想？ 探究：(1)函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题和转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和处理问题. (2)方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程观点观察、处理问题.典题精讲例1：利用函数的图象，指出函数f(x)=2xln(x-2)-3零点所在的大致区间.思路分析：首先对x取值来寻找y值的符号，然后判断零点所在的大致区间.解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(如下表).x2.533.444.55f(x)-6.465 7-3-0.161 72.545 25.246 67.986 1图3-1-2由上表和图3-1-2可知，该函数零点的大致区间为3，4.例2：二次函数y=ax2+bx+c中，ac0，则函数的零点个数是( )A.1 B.2 C.0 D.无法确定思路分析： 分析条件ac0，a是二次项系数，确定抛物线的开口方向；c=f(0).所以ac=af(0)0，由此得解.解：c=f(0),ac=af(0)0，即a与f(0)异号.即函数必有两个零点.答案：B例3：求方程lnx+x-3=0在(2，3)内的根(精确到0.1).思路分析： 用二分法求解.解：令f(x)=lnx+x-3，即求函数f(x)=0在(2，3)内的零点.f(2)=ln2-10.可取(2，3)作为初始区间，用二分法列表如下：中点端点或中点函数值取区间f(2)0(2，3)2.5f(2.5)0(2，2.5)2.25f(2.25)0(2,2.25)2.125f(2.125)0(2.125,2.25)2.187 5f(2.187 5)0(2.187 5,2.218 75)2.187 52.2,2.218 752.2,所求方程的根为2.2(精确到0.1).例4：国家购买某种农产品的价格为120元/担，其中征税标准为100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)，计划可收购m万担.为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收f(x)(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后达到计划的78%，试求此时x的值.思路分析：第(1)问这样考虑：调节税率后税率为(8-x)%，预计可收购m(1+2x%)万担，总金额为120m(1+2x%)万元，从而列出函数表达式.解：(1)由题设，调节税率后税率为(8-x)%，预计可收购m(1+2x%)万担，总金额为120m(1+2x%)万元.f(x)=120m(1+2x%)(8-x)%，即f(x)=-(x2+42x-400)(0x8).(2)计划税收为120m8%万元，由题设，有f(x)=120m8%78%，即x2+42x-88=0(0x8，解得x=2.试用函数的图象指出方程x2+42x-88=0(0x8的根，即函数g(x)=x2+42x-88=0(0x8的零点所在的大致区间.例5：如图3-1-4是一个二次函数y=f(x)的图象，试求这个函数的解析式.图3-1-4思路分析：要确定二次函数的解析式，就是确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数解析式，需要已知三个独立的条件.当已知抛物线上任意三点时，通常设函数的解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列三元一次方程组求解；当已知抛物线的顶点坐标为(h,k)和抛物线上另一点时，通常设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解；当已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)时，通常设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2).解法一：设y=ax2+bx+c，然后把(-3,0),(1,0),(-1,4)代入解析式得解得a=-1,b=-2,c=3.所求二次函数为y=-x2-2x+3.解法二：二次函数与x轴有两个交点(-3,0)、(1,0)，可设y=a(x+3)(x-1)，再把(-1，4)代入，得2(-2)a=4