初中数学中的覆盖问题初探.pdf

上 海 中学数 学 2 0 1 0年第 l 1期 7 初 中数 学 中的覆盖 问题初探 2 1 4 4 0 6 江苏省 江阴市徐 霞客 中学 周建香 一 用 多边 形覆 盖解决 问题 问题 1 用 边 长 为 1的 正方 形覆 盖 3 3的 正 方 形 网 格 最 多 覆 盖 边 长 为 1的 正 方 形 网 格 覆盖一部分就算覆盖 的个数是 分 析 与 思 考 本 题 中 阴影 小 正方形 的摆放 直 接决 定 能覆 盖 的小正方形 的个 数 用阴影小 正 方形的最 长线 段 去覆 盖将 会 覆 图 1 盖 的 最 多 所 以 当 小 正 方 形 的 对 角 线 水 平 放 在 如 图 的位 置 上 时 将覆 盖 最 多 个 数 的小 正 方 形 问题 2定 义 a b C 为 函 数 y n b r c 的 特征数 如 函数 2 i 3的 特征数 是 1 一2 3 函数 y 一2 3的 特征数 是 0 1 请 你 用 数 学 表 达 式 补 充 完 整 海 宝 发 现 的这个有趣 的现象 2 请你 证明海 宝发现 的这个有趣现象 评 析 试 题 通 过 海 宝 自述 进 行 交 流 1 中 结果 以表格形式呈现 再 加以证 明 引导学生 以 再创造 的方式学 习数学 4 考 查 解 决 现 实 问题 的 能 力 例 6 2 0 1 0年 北 京 市 顺 义 区 高 中招 生 数 学 试 题 在 五 一 期 间 小 明 小 亮 等 同 学 随 家 长一 同到某公 园游玩 下 面是购 买门票 时 小明 与他爸爸 的对话 如图 试根据 图 中的信息 解 答 下 列 问题 1 小明他们一共去 了几个成人 几个学生 2 请你帮助小 明算一算 用哪种方式购票 更 省 钱 评 析 本 题 以现 实 生 活 为 背 景 通 过 小 明 与 2 3 函数 一一 的 特征数 是 0 一1 0 1 将 特征数 是 J 0 0 I 的函数图象向 l 0 J 上平移 2个单位 得到一 个新 函数 这 个 函数 的 解 析 式 是 2 在 1 中 平 移 前 后 的 两 个 函 数分 别 与 y 轴交于 0 A两点 图 2 与直线 一 3分别 交于 C B两 点 判断 以 A B C 0 四点 为顶点 的 四边形 形状 并说 明理 由 3 若 2 中 的 四边 形 不 包 括 边 界 始 终 覆 1 盖着 特征数 是 l 2 b b l 的函数图象的 l 厶 J 一 部分 求满足条件 的实数 B的取值范围 分析与思考 解决 问题 2 后 得 出四边形 他爸爸的交谈 提供 的信息 列 出方程 或 方程组 求解应用题 获得最省 钱的购票方式 例 7 2 0 1 0年 四川 省达州市 中考数学试 题 在 一 块 长 1 6 m 宽 1 2 m 的 矩 形 荒 地 上 要 建 造一个花园 要求 花园面积是荒地 面积 的一半 下面分别是小华 与小芳 的设计方案 1 同学们都认 为小华 的方案是正确的 但 对小芳方案是 否符 合条件 有不 同意见 你认 为 小芳的方案 符合 条件 吗 若 不符合 请 用方 程 的方法说明理由 画 图9 l 图9 2 2 你还 有其他 的设计 方案 吗 请 在 图 9 3中画出你所设计的草图 将花 园部分涂上 阴 影 并加 以 说 明 评析 通 过 阅读 小华 与小芳 的设 计方 案提 供的信息 要求理解信息 的数 学 内涵 主要 考查 学 生的开放性思维能力 同时根据任务 的特征 设计合理 可行 的解题方 案 并 从数 学 的角度 说 明方案 的正确性 8 上海 中学数学 2 0 1 0年第 l l期 ABC O 为菱形 而 3 中特征数为 1 1 一2 b 6 的函数是 l r 2 b x b l J 1 就是说菱形 A B C O 不包括边界 始终覆盖 1 着函数 一 一2 b x 的图象的一部分 那么 应先 对菱形 ABC O的图形位 置和 函数 一 2 b x b 的图象特点深入 了解 画图 0 知菱形 ABC O的图形位 置如 2所 示 瓶 函数 1 Lr 一2 b x十b 的 象 的顶点坐标 为 1 1 f 6 专 也就是 说顶点的纵坐标在直线 一寺 上移动 从而有 从抛物线 的右侧正好通过点 B 时 到抛物线左侧正好通过点 A时 抛 物线 肯定 有一部分被菱 形 ABC O覆盖 从 而只需 用点 带 入抛 物 线 解 析 式 就 能获 得 b的 取值 范 围 为 6 0 C 图 2 二 用 圆覆盖解 决 问题 1 圆 心运 动 的 圆 覆盖 问题 问题 1 如 图 3 圆在 正 方 形 的 内 部 沿 着 正 方形的四条边 运动一周 并且 始终保 持与 正方 形 的边 相 切 1 在图中 把圆运动一周覆盖正方形 的区 域用 阴影表示 出来 2 当圆的直径等于正方形 的边长一半 时 该 圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最 大 并说明理 由 解 1 圆运动一周覆盖正方形 的区域 用阴 影表示如 图 3 2 圆的直径等于正方形 的边 长一半 时 覆 盖 区域 的面 积 不是 最 大 设正方形 的边 长 为 n 圆 的半 径为 r 覆 盖 区域的面积为 S 圆在正方 形的 内部 0 r 昙 由图可知 S n 一 a 一4 r 4 r 一7r l 一一 2 0 r l a 1 6a2 o 2 0 2 O 一 号 当r 一 图 3 时 S有最大值 圆的直径等于 L u 7 正方形 的边 长一半时 面积不是最 大 分析 与思考 注 苣当网 的直径超过 E方形 边 长的一半时 就只有 四周 的窄 白不被覆盖 而 此 时 圆 的 直 径 越 大 四周 留 下 的 空 白 面 积 就 必 然 越 大 在 圆 的 直 径 大 于 正 力 彤 边 长 这 个 大 范围内 建立 函数思想表达被覆 盖部分 的面积 从 而 用 圆 的半 径 的范 围来 导 出覆 盖 面积 的最 大 值 以及取得最大值时半径 与正方形边长 的大小 关 系 2 圆 心不 运 动 的 圆 覆盖 问题 问题 1 覆 盖 圆 形 如 图 4 有 一 圆 形 展 厅 在 其 圆形 边 缘 上 的 点 A 处 安 装 了一 台 监 视 器 它 的监 控 角 度足 6 为 J 监 控 整 个 展 厅 最 少 需 在 圆 形 边 缘 上 共 安 装 这 样 的 监 视 器 台 分 析与 思考 本题 要 把 圆周角 6 5 转化为 圆心角 1 3 0 然 后考 虑 只需 3 6 0 的 圆心 角就 可 以将 这 个 圆 形 完 全 覆 盖 所 以 只 需 安 装 3 台 问 题 2 覆 盖 线 段 如图 5 一副直角 三 角 板 满 足 AB BC A C DE ABC 一 DFF 一 9 0 FDF 图 4 3 O 将 i角板 DE F的商 角顶点 E 放置 于三 角板 ABC 的斜 边 AC上 如 图 6 再 将 三 角 板 DE F绕点 E旋转 并使边 DE与边 AB交 于点 P 边 EF与 边 BC交 于 点 Q r F 1 根 据你 的探 究 结果 试 写 出 当 一 时 EP与 EQ 满足 的数 量关系 式为 其 中 m 的取值范 围是 直接写 出结论 不 必 证 明 2 若 AC一3 0 连 接 P Q 设 EPQ 的 面 积 为 s 在旋 转 过程 中随 着 s取 不 同 的值 对应 EP Q 的个 数 有 哪 些 变 化 求 出 相 应 S值 的 取值范围 上 海 中学数 学 2 0 1 0年 第 l 1期 9 图5 图6 A 在 EFH 的 外 接 圆 圆 心 处 能够符合题 中要求 H 对于其它情况 有 i 当 用 一 个 圆 覆 盖 三 角 形 HGF 时 可 证 此 圆 不 能 分析与思 考 确定 的取值 范 围时 考虑 以 E 为圆心 以 E F为半径 的圆要将 B C边 的部分 覆盖 即 EF EH 2 中三角形 E PQ的个数完 全 由 EQ 边 的 长 度 能 否 在 旋 转 过 程 中 重 复 出 现 决定 所以要 考 察边 EF在 整个 旋转 过 程 中能 将 BC边的哪部 分覆 盖 如 图 7 被 覆 盖到 的有 效线段 E Q的长度从 E G这个 最大长度 1 o 3 到 EQ开始有长度重 复相等 的线段 EM 其长 度为 5 v 1 0 再 到 E Q 的最小值 1 0 2 然后 再 到 E Q 的长 度 为 5 1 O的 EB位 置 从 而 按 EPQ 的 个数变化得出 S值的取值范 围 问题 3 覆盖三角形 任意 四边形 将能完 全 覆 盖 某平 面 图 形 的 最 小 圆 称 为 该 平 面 图形 的 最 小 覆 盖 圆 如 线 段 AB 的最 小 覆 盖 圆 就 是 以 线段 AB为直径 的圆 1 请 分 别用尺规作 出 图 8中两 个 三B 角 形 的 最 小 覆 盖 圆 图 8 2 探究 三 角形 的最 小 覆 盖 圆有 何 规 律 请写出你所得 到的结论 不要求证 明 3 某 地 有 四 个 村 庄 一 E F G H 其 位 置 如 图 9 互 9 8 5 3 8 署 紧 篡 爹 号 中 转 站 为 了 使 这 四 个 村 庄的居 民都 能接 收 到 电视 信号 且使 中转 站所需发 射 功率最 小 距 离 越 小 所 需 功率越小 此 中转 站 应 建 在何 处 请 说 明理 由 分析与思考 1 略 2 锐角三角形 的最 小覆盖 圆为其外 接圆 直 角 或 钝 角 三 角 形 的最 小 覆 盖 圆是 以 三 角 形 最 长边 直角或钝角所对的边 为直径 的圆 3 此 中转站应 建在 X EFH 的外接 圆圆心 处 理由如下 当用 个 圆o0覆盖 锐 角三 角形 HEF 时 可 证 点 G 在 0 内 从 而 o 0 也 是 四 边 形 EF GH 的 最 小 覆 盖 圆 如 图 1 0 所 以 中转 站 建 F 将 点 E 覆 盖 当 用 一 个 图 1 0 圆覆盖三角形 HGE时 可证 此圆不能将点 F覆 盖 i ii 当 用 一 个 圆 覆 盖 三 角 形 EG F 时 可 证 此 圆不能将点 H 覆盖 题 中信 号的 扩散像水 波纹 一样 从一 个 中 心 向四周等距离扩散 即圆形 扩散 所 以无论如 何安装 都要 以 四个点 到安装 点 的最 远 的 个 距离作为发射 半径 而 中转站 所需 发 射功率 直 接 由这个距 离决 定 所 以就是 寻找 能将 这个 四 边形覆盖 的最小 圆形 区域 一 般先 覆 盖其 中三 个点 再验证第 4个点是否被 覆盖 问题 4 覆盖 正方形 一种 电讯信号 转发 装 置 的发 射 直径 为 3 1 k m 现 要求 在 一 边长 为 3 0 k m 的正方形城 区选择若干 个安装 点 每个点 安装一个这种 转 发装置 使这 些装 置转 发 的信 号能完全覆盖这个城市 1 能否找到 4个 安装点 使 得这些点 安装 了这种转发装置后能达到预设要求 2 至少 需要选 择多少个 安装 点 才 能使这 些点安装 了这种转发装置后达到预设要求 解 1 将 图 1 1中的正方 形等 分成 如 图 的 四个 小正 方形 将 这 4个转 发装 置安 装在 这 4 个小正方形对角线的交点处 此时 每个 小正方 1 一 一 形的对角线长为 3 0 2 1 5 2 3 1 每个转 发 装 置 都 能 完 全 覆 盖 一 个 小 正 方 形 区 域 故 安 装 4个这种装置可以达到预设要求 2 若要用 3个 圆覆盖 这个正方形 将原 正方形分割 成如 图 1 2中的 3个 矩 形 使得 BE DO C O 将每个装置安装在这些矩形的对角 线交点处 设 AE一 72 则 ED 3 0一 I 2 DH一1 5 由 B E DO 得 3 0 一 1 5 3 0 一 99 1 厂 i 一 一 一 B E 3 0 3 2 3 1 即如此安装 3个这 种转 发装 置 也 能达 到预 设 要 求 若 要 用 两 个 圆 覆 盖 这 个 正 方 形 则 个 圆至少要经过正方形相邻两个顶点 如图 1 3 用 一 个直径 为 3 1 k m 的 0去 覆 盖边 长 为 3 0 k m 的 正 方 形 ABC D 设 o 0 经 过 A B o 0 与 AD 交于 E 连 BE 则 AE 一 1 5 1 一 AD 这说明用两个直径都为 3 1 k m的圆不 上海 中学数学 2 0 1 0年第 1 J 期 一 道 中考数 学题 的正 误 解 析及 启 示 2 2 5 7 0 0 江 苏省兴化 中学 徐永忠 笔者 长 期 从 事 高 中 数学 教 学 工 作 多 次 参加 高考 阅 卷工 作 经 常发 现 学 生存 在令 人 遗憾 的错 误 今 年 一 次偶 然 的 机 会参 加 了泰 州市 中考 阅卷 工 作 发 现 初 中 牛 的答 卷 中有 许 多让人 眼睛 亮 的 解法 同 时也 看 到 大 量 的不可思 议 的错 误 因而要 解 决 学 生 高 考 中 产 生的 问题 除 了注意 心理 调 节等 因素 外 还 要 从 源 头 上 即 初 中 数 学 教 学 中 找 原 因 想 办 法 以第 2 6题 为例 能完 全 覆 盖 正方 形 ABC D D H C 图1 l 图1 2 图1 3 分 析 与 思 考 本 题 中 将 正 方 形 的某 一 部 分 覆盖是关键 在上述 解题过 程 中我 们都 是用 四 边形去考虑的 但实际上要覆盖 四边形 由 题 3 先考虑覆盖 四边形分成 的两个 小三角形 中的 一 个 当第 四个 点 落 在 那 个 三 角 形 的 最 小 覆 盖 圆 内时 覆盖成功 这里分成 的四边形 都是矩形 类四边形 所以对角互补 中心到 四个顶 点的距 离相等 故有四点共圆这个结 论在保驾护航 分 析过程得以顺利进行 三 结语 在 随后的数 学教学 中 偶然 得 到这样一 个 数学题 如 图 1 8 单位 正方形 ABC D放 EF GH 分 成相等 的矩形 试 问 是 否存在 另外 的分法 既 能将单位正方 形分成 面积相等 的三 个多边 形 又能使三个多边形 的公共边 界小 于 EF与 GH 的 和 H C 图 1 4 D F C 题 目 保护生态环境 建设绿 色社会已经从 理念变为人们的行动 某化工厂 2 0 0 9年 1月 的 利润为 2 0 0万元 设 2 0 0 9年 1 月 为第 1个月 第 个月 的利润 为 万 元 由于 排污 超标 该 从 2 0 0 9年 1月底起适 当限产 并投 入资金进行 治 污改造 导致月利润 明显下 降 从 1月到 5月 I 与 成反 比例 到 5月底 治 污改造工程顺 利完 工 从 这 时 起 该 厂 每 月 的 利 润 比 前 一 个 月增 加 2 0万元