高考数学大一轮复习 课时训练62 空间向量的应用 理 苏教版(1).doc

课时跟踪检测(六十二)空间向量的应用(分、卷，共2页)第卷：夯基保分卷1(2013石家庄模拟)如图，已知三棱柱abc a1b1c1，侧面bcc1b1底面abc.(1)若m，n分别是ab，a1c的中点，求证：mn平面bcc1b1；(2)若三棱柱abc a1b1c1的各棱长均为2，侧棱bb1与底面abc所成的角为60，问在线段a1c1上是否存在一点p，使得平面b1cp平面acc1a1？若存在，求c1p与pa1的比值，若不存在，说明理由2(2014浙江联考)如图，ab为圆o的直径，点e，f在圆o上，abef，矩形abcd所在的平面与圆o所在的平面互相垂直已知ab2，ef1.(1)求证：平面daf平面cbf；(2)求直线ab与平面cbf所成角的大小；(3)当ad的长为何值时，平面dfc与平面fcb所成的锐二面角的大小为60？3(2014福州质检)如图，矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，becf，bccf，ad，ef2，be3，cf4.(1)求证：ef平面dce；(2)当ab的长为何值时，二面角aefc的大小为60.第卷：提能增分卷1(2014荆州模拟)如图所示，在矩形abcd中，ab3，ad6，bd是对角线，过点a作aebd，垂足为o，交cd于e，以ae为折痕将ade向上折起，使点d到点p的位置，且pb.(1)求证：po平面abce；(2)求二面角eapb的余弦值2(2014武汉模拟)如图，在四棱锥s abcd中，底面abcd是直角梯形，侧棱sa底面abcd，ab垂直于ad和bc，saabbc2，ad1.m是棱sb的中点(1)求证：am平面scd；(2)求平面scd与平面sab所成二面角的余弦值；(3)设点n是直线cd上的动点，mn与平面sab所成的角为，求sin 的最大值3(2014北京西城二模)如图，直角梯形abcd与等腰直角三角形abe所在的平面互相垂直abcd，abbc，ab2cd2bc，eaeb.(1)求证：abde；(2)求直线ec与平面abe所成角的正弦值；(3)线段ea上是否存在点f，使ec平面fbd？若存在，求出；若不存在，请说明理由答 案第卷：夯基保分卷1解：(1)证明：连结ac1，bc1，则ac1a1cn，annc1，因为ammb，所以mnbc1.又bc1平面bcc1b1，所以mn平面bcc1b1.(2)作b1obc于o点，连结ao，因为平面bcc1b1底面abc，所以b1o平面abc，以o为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0，0)，b(1，0,0)，c(1,0,0)，b1(0,0，)由，可求出a1(1，)，c1(2,0，)，设点p(x，y，z)，.则p，(1,0，)设平面b1cp的法向量为n1(x1，y1，z1)，由，令z11，解得n1.同理可求出平面acc1a1的法向量n2(，1，1)由平面b1cp平面acc1a1，得n1n20，即310，解得3，所以a1c13a1p，从而c1ppa12.2解：(1)证明：平面abcd平面abef，cbab，平面abcd平面abefab，cb平面abef，af平面abef，afcb，又ab为圆o的直径，afbf，又bfcbb，af平面cbf.af平面adf，平面daf平面cbf.(2)由(1)知af平面cbf，fb为ab在平面cbf内的射影，因此，abf为直线ab与平面cbf所成的角abef，四边形abef为等腰梯形，过点f作fhab，交ab于h.已知ab2，ef1，则ah.在rtafb中，根据射影定理得af2ahab，af1，sinabf，abf30.直线ab与平面cbf所成角的大小为30.(3)设ef中点为g，以o为坐标原点，方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)设adt(t0)，则点d的坐标为(1,0，t)，c(1,0，t)，又a(1,0,0)，b(1,0,0)，f，(2,0,0)，设平面dcf的法向量为n1(x，y，z)，则n10，n10.即，令z，解得x0，y2t，n1(0,2t，)由(1)可知af平面cfb，取平面cbf的一个法向量为n2，依题意，n1与n2的夹角为60.cos 60，即，解得t.因此，当ad的长为时，平面dfc与平面fcb所成的锐二面角的大小为60.3解：(1)证明：在bce中，bcbe，bcad，be3，ec2，在fce中，cf2ef2ce2，efce.由已知条件知，dc平面efcb，dcef，又dc与ec相交于c，ef平面dce.(2)如图，以点c为坐标原点，以cb，cf和cd分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系c xyz.设aba(a0)，则c(0,0,0)，a(，0，a)，b(，0,0)，e(，3,0)，f(0,4,0)，从而(，1,0)，(0,3，a)设平面aef的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得取x1，则y，z，即n.不妨设平面efcb的法向量为(0,0，a)，由条件得|cosn，|，解得a.所以当ab时，二面角aefc的大小为60.第卷：提能增分卷1解：(1)证明：由已知得ab3，ad6，bd9.在矩形abcd中，aebd，rtaodrtbad，do4，bo5.在pob中，pb，po4，bo5，po2bo2pb2，poob.又poae，aeobo，po平面abce.(2)bo5，ao2.以o为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则p(0,0,4)，a(2，0,0)，b(0,5,0)(2，0，4)，(0,5，4)，设n1(x，y，z)为平面apb的法向量则即取x2得n1(2，4,5)，又n2(0,1,0)为平面aep的一个法向量，cosn1，n2，故二面角eapb的余弦值为.2解：(1)证明：以点a为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(0,2,0)，c(2,2,0)，d(1,0,0)，s(0,0,2)，m(0,1,1)则(0,1,1)，(1,0，2)，(1，2,0)设平面scd的法向量是n(x，y，z)，则即令z1，则x2，y1，于是n(2，1,1)n0，n.又am平面scd，am平面scd.(2)易知平面sab的一个法向量为n1(1,0,0)设平面scd与平面sab所成的二面角为，则|cos |，即cos .平面scd与平面sab所成二面角的余弦值为.(3)设n(x,2x2,0)(x1,2)，则(x,2x3，1)又平面sab的一个法向量为n1(1,0,0)，sin .当，即x时，(sin )max.3.解：(1)证明：取ab的中点o，连结eo，do.因为ebea，所以eoab.因为四边形abcd为直角梯形ab2cd2bc，abbc，所以四边形obcd为正方形，所以abod.因为eodo0.所以ab平面eod，所以abed.(2)因为平面abe平面abcd，且eoab，所以eo平面abcd，所以eood.由ob，od，oe两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.因为三角形eab为等腰直角三角形，所以oaobodoe，设ob1，所以o(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，e(0,0,1)所以(1,1，1)，平面abe的一个法向量为(0,1,0)设直线ec与平面abe所成的角为，所以sin