高中数学4-3-1、2空间直角坐标系、空间两点间的距离公式课件新人教A版必修.ppt

4 3 1空间直角坐标系4 3 2空间两点间的距离公式 1 以点O为坐标原点 建立三条两两互相垂直的数轴轴 轴 轴 这时称建立了一个空间直角坐标系O xyz 教材中所用的坐标系都是 其规则是 2 数轴Ox上点M用实数x表示 直角坐标平面上的点M用一对有序实数表示 建立空间直角坐标系后 空间的点M可用有序实数组表示 右手直角坐标系 让右手拇指指向x轴正方向 食指指向y轴正方向 则中指能指向z轴正方向 x y x y z x y z 3 空间内两点M x1 y1 z1 N x2 y2 z2 则 MN 4 在如图的正方体中 已标出了原点 x轴和z轴正向 请画出y轴正向 答案 5 空间两点A 1 0 1 B 2 0 0 之间的距离为 6 在空间直角坐标系中 已知点A 1 0 2 B 1 3 1 点M在y轴上 且M与A与B的距离相等 则M的坐标是 答案 0 1 0 解析 由题意可设M 0 y 0 又 MA MB 本节学习重点 空间直角坐标系的建立 本节学习难点 确定点在空间直角坐标系中的坐标和由坐标确定点的位置 1 空间直角坐标系的建立 1 在数轴上 一个实数就能确定点的位置 在坐标平面上 一对有序实数 x y 才能确定一点的位置 在空间确定一点的位置需要三个实数 如要确定一架飞机在空中的位置 我们不仅要指出地面上的经度 纬度 还需要指出飞机距地面的高度 如下图 OABC D A B C 是单位正方体 以O为原点 分别以射线OA OC OD 的方向为正方向 以线段OA OC OD 的长为单位长 建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 这时我们说建立了一个空间直角坐标系O xyz x轴 y轴 z轴叫做坐标轴 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 分别称为xOy平面 yOz平面 zOx平面 在空间直角坐标系中 三条坐标轴两两互相垂直 轴的方向通常按右手系选择 方法 一 从z轴的正方向看 x轴正半轴沿逆时针方向旋转90 能与y轴的正半轴重合 方法 二 让右手拇指指向x轴正方向 食指指向y轴的正方向 则中指能指向z轴的正方向 方法 三 伸开右手 让四指指向x轴正向 拇指指向z轴正方向 则四指自然弯曲90 就指向y轴的正向 2 在平面上画空间直角坐标系O xyz时 常使 xOy 135 yOz 90 2 空间直角坐标系中 点的坐标的确定如下图 设M为空间一个定点 过M分别作垂直于x轴 y轴 z轴的平面 依次交x轴 y轴 z轴于点P Q R 设点P Q和R在x轴 y轴和z轴上的坐标分别为x y z 那么点M就对应唯一的有序数组 x y z 记作M x y z 其中x y z也可称为点M的坐标分量 反之 任意三个实数的有序数组 x y z 就能确定空间一个点的位置与之对应 我们可以在x轴 y轴 z轴上依次各取坐标为x y z的点P Q R 分别过P Q R各作一个平面 分别垂直于x轴 y轴 z轴 这三个平面的唯一交点就是有序实数组 x y z 确定的点M 一般地 确定点P x y z 的位置的方法为 先在xOy平面内 找到点P1 x y 0 和平面直角坐标系找法一样 从P1沿与z轴平行的直线 区分正负 找到点P x y z 与z轴正向相同为正 否则为负 这样 我们就在空间任意一点M与三个有序的实数组 点的坐标 之间 建立起一一对应的关系M x y z 其中x叫做点M的横坐标 也叫点M的x坐标 y叫做点M的纵坐标 也叫点M的y坐标 z叫做点M的竖坐标 也叫点M的z坐标 xOy平面 通过x轴和y轴的平面 是坐标形如 x y 0 的点构成的点集 其中x y为任意实数 yOz平面 通过y轴和z轴的平面 是坐标形如 0 y z 的点构成的点集 其中y z为任意实数 xOz平面 通过x轴和z轴平面 是坐标形如 x 0 z 的点所构成的点集 其中x z为任意实数 x轴是坐标形如 x 0 0 的点构成的点集 其中x为任意实数 y轴是坐标形如 0 y 0 的点构成的点集 其中y为任意实数 z轴是坐标形如 0 0 z 的点构成的点集 其中z为任意实数 坐标轴或坐标平面上的点的坐标特点是 无谁谁为0 3 三个坐标平面把空间分为八部分 每一部分称为一个卦限 在坐标平面xOy上方 分别对应该坐标平面上四个象限的卦限 称为第 第 第 第 卦限 在下方的卦限称为第 第 第 第 卦限 在每个卦限内 点的坐标各分量的符号是不变的 例如在第 卦限内 三个坐标分量x y z都为正数 在第 卦限内 x为负数 y z为正数 4 空间两点间的距离公式设P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 则 例1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 D1B1的中点 棱长为1 求E F点的坐标 已知点A在空间直角坐标系O xyz中的坐标为 2 4 3 试建立空间直角坐标系 画出该点的位置 解析 先在x轴上找到表示 2的点 过该点作y轴的平行线 在y轴上找到表示4的点 过该点作x轴的平行线 两直线相交于P点 过P点作z轴的平行线 与z轴负方向同向的方向上截取3个单位 即得A点 例2 已知V ABCD为正四棱锥 O为底面中心 AB 2 VO 3 试建立空间直角坐标系 并写出各顶点的坐标 解析 因为所给几何体为正四棱锥 其底面为正方形 对角线相互垂直 故以O为原点 互相垂直的对角线AC BD所在直线为x轴 y轴 OV为z轴建立如图所示坐标系 点评 本题中由于所给几何体是正四棱锥 故建系方法比较灵活 除答案所给方案外 也可以正方形ABCD的任一顶点为原点 交于这一顶点的两条边所在直线分别为x轴 y轴建系 如以A为顶点AB AD所在直线分别为x轴 y轴建系 等等 例3 1 已知点A 1 2 11 B 4 2 3 C 6 1 4 则 ABC的形状是 A 等腰三角形B 等边三角形C 直角三角形D 等腰直角三角形 2 点B是点A 1 2 3 在坐标平面yOz内的射影 则 OB 等于 答案 9 0 0 或 1 0 0 例4 在平面直角坐标系中 点P x y 的几种特殊的对称点的坐标如下 1 关于原点的对称点是P x y 2 关于x轴的对称点是P x y 3 关于y轴的对称点是P x y 那么 在空间直角坐标系内 点P x y z 的几种特殊的对称点坐标 1 关于原点的对称点是P1 2 关于横轴 x轴 的对称点是P2 3 关于纵轴 y轴 的对称点是P3 4 关于竖轴 z轴 的对称点是P4 5 关于xOy坐标平面的对称点是P5 6 关于yOz坐标平面的对称点是P6 7 关于zOx坐标平面的对称点是P7 解析 1 x y z 2 x y z 3 x y z 4 x y z 5 x y z 6 x y z 7 x y z 总结评述 记忆方法 关于谁对称谁不变 其余变相反 如 关于x轴对称的点 横坐标不变 纵坐标 竖坐标变为原来的相反数 关于xOy坐标平面对称的点 横 纵坐标不变 竖坐标变为原来的相反数 设点B是点A 2 3 5 关于xOy坐标面的对称点 则 答案 A 解析 点A 2 3 5 关于坐标平面xOy的对称点是B 2 3 5 解析 据空间点的坐标的确定方法 我们来确定M的横坐标 P Q M在xoy坐标平面上的射影为P1 Q1 M1 则 PP1 QQ1 MM1 M为PQ中点 M1为P1Q1的中点 又P1 Q1 M1在x轴上射影为P2 Q2 M2 则 P1P2 Q1Q2 M1M2 M2为P2Q2的中点 由空间点的坐标定义知 P2 Q2的横坐标分别为x1 x2 已知A 1 2 1 C与A关于平面xOy对称 B与A关于x轴对称 则B C两点间的距离和BC中点的坐标依次为 答案 4 1 0 1 解析 由已知得C 1 2 1 B 1 2 1 一 选择题1 点A 2 0 3 在空间直角坐标系的位置是 A y轴上B xOy平面