2019高考数学复习导数及其应用3.2导数的应用课件文.pptx

第三章导数及其应用 高考文数 考点导数的应用1 函数的单调性对于在 a b 内的可导函数f x 若f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 则f x 0 f x 为增函数 区间 a b 为函数f x 的增区间 f x 0 f x 为减函数 区间 a b 为函数f x 的减区间 2 函数的极值 1 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 i 如果在x0的左侧附近f x 0 右侧附近f x 0 那么f x0 是极小值 3 2导数的应用 知识清单 2 求可导函数极值的步骤 i 求f x ii 求方程f x 0的根 iii 检查f x 在方程f x 0的根的左 右值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 3 函数的最值 1 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 2 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最 小值的步骤如下 i 求f x 在 a b 内的极值 ii 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 3 如果函数y f x 在闭区间 a b 上连续 那么函数y f x 在 a b 上必有最大值和最小值 函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处 知识拓展1 f x 0是f x 在 a b 上为增函数的充分不必要条件 同理 f x 0是f x 在 a b 上为减函数的充分不必要条件 例如 f x x3在R上单调递增 但f 0 0 2 对可导函数而言 极值点处的导数值一定为0 但导数为0的点不一定是极值点 例如 f x x3 当x 0时 f 0 0 但x 0不是极值点 因此判断极值一般用定义法 3 极值与最值的区别极值是局部概念 是针对x x0附近的值而言的 最值是整体概念 是针对整个定义域而言的 利用导数研究函数的单调性确定函数单调性的基本步骤 确定函数f x 的定义域 求导数f x 由f x 0 或f x 0时 f x 在相应区间上是单调递增函数 当f x 0时 f x 在相应区间上是单调递减函数 还可以通过列表写出函数的单调区间 方法技巧 例1 2016课标全国 21 12分 已知函数f x x 2 ex a x 1 2 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解析 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a i 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 2分 ii 设a 则ln 2a 0 当x ln 2a 1 时 f x 1 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 当x 1 ln 2a 时 f x 0 所以f x 在 1 ln 2a 上单调递增 在 1 ln 2a 上单调递减 6分 2 i 设a 0 则由 1 知 f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 又f 1 e f 2 a 取b满足b b 2 a b 1 2 a 0 所以f x 有两个零点 8分 ii 设a 0 则f x x 2 ex 所以f x 只有一个零点 9分 iii 设a 0 若a 则由 1 知 f x 在 1 上单调递增 又当x 1时 f x 0 故f x 不存在两个零点 10分 若a 则由 1 知 f x 在 1 ln 2a 上单调递减 在 ln 2a 上单调递增 又当x 1时 f x 0 故f x 不存在两个零点 11分 综上 a的取值范围为 0 12分 利用导数研究函数的极值与最值1 解决函数极值问题的一般思路 例2 2015课标 21 12分 已知函数f x lnx a 1 x 1 讨论f x 的单调性 2 当f x 有最大值 且最大值大于2a 2时 求a的取值范围 解题导引 1 求定义域及f x 对a分类讨论 判断f x 的符号结论 2 用第 1 问的结论 对a分类讨论a 0时 求出f x 的最大值为ff 2a 2等价于lna a 1 0构造函数g a lna a 1利用g a 的单调性求出a的取值范围 解析 1 f x 的定义域为 0 f x a 若a 0 则f x 0 所以f x 在 0 上单调递增 若a 0 则当x 时 f x 0 当x 时 f x 0时 f x 在x 处取得最大值 最大值为f ln a lna a 1 因此f 2a 2等价于lna a 1 0 令g a lna a 1 则g a 在 0 上单调递增 g 1 0 于是 当01时 g a 0 因此 a的取值范围是 0 1 例3 2016山东 20 13分 设f x xlnx ax2 2a 1 x a R 1 令g x f x 求g x 的单调区间 2 已知f x 在x 1处取得极大值 求实数a的取值范围 解题导引 1 求f x 从而求出g x 求出g x 对a分类讨论 确定g x 的符号结论 2 利用 1 的结论知f x 的单调性对a分类讨论 确定f x 在各个区间的符号利用f x 在x 1处取得极大值求a的取值范围 解析 1 由f x lnx 2ax 2a 可得g x lnx 2ax 2a x 0 则g x 2a 当a 0时 x 0 时 g x 0 函数g x 单调递增 当a 0时 x 时 g x 0 函数g x 单调递增 x 时 函数g x 单调递减 所以当a 0时 g x 的单调增区间为 0 当a 0时 g x 的单调增区间为 单调减区间为 2 由 1 知 f 1 0 当a 0时 f x 单调递增 所以当x 0 1 时 f x 0 f x 单调递增 所以f x 在x 1处取得极小值 不合题意 当01 由 1 知f x 在内单调递增 可得当x 0 1 时 f x 0 所以f x 在