数列求和-数列 2011高考一轮数学精品课件.ppt

学案4数列求和 返回目录 1 当已知数列 an 中 满足an 1 an f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用数列的通项an 2 当已知数列 an 中 满足 f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用求数列的通项an 累加法 累积法 考点分析 返回目录 3 等差数列前n项和Sn 推导 等比数列前n项和na1 q 1 q 1 推导 4 常见数列的前n项和 1 1 2 3 n 2 2 4 6 2n Sn 倒序相加法 乘公比错位相减 n2 n 3 1 3 5 2n 1 4 12 22 32 n2 5 1 分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 2 拆项相消 有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式 相加过程消去中间项 只剩有限项再求和 3 错位相减 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 4 倒序相加 例如 等差数列前n项和公式的推导方法 返回目录 n2 返回目录 根据数列 an 的通项公式 求其前n项和Sn 1 an 10n 1 2 an n n 1 分析 若数列为等差数列 等比数列 或能转化为等差 等比数列 或转化为能用其他公式的 用公式法求和 考点一公式法求和 题型分析 返回目录 解析 1 Sn a1 a2 an 101 102 10n n 2 Sn a1 a2 an 12 1 22 2 n2 n 12 22 n2 1 2 n n n 1 n 2 评析 在数列求和中 常用的公式有 1 等差数列 na1q 1q 1 3 1 2 n 4 12 22 n2 n n 1 2n 1 返回目录 2 等比数列 Sn 对应演练 已知数列 log2 an 1 n N 为等差数列 且a1 3 a3 9 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 返回目录 1 设等差数列 log2 an 1 的公差为d 由a1 3 a3 9得2 log22 d log22 log28 即d 1 所以log2 an 1 1 n 1 1 n 即an 2n 1 2 证明 因为 返回目录 所以 返回目录 分析 所给数列为倒数构成的数列 故应研究通项 看能否拆为两项之差的形式 以便使用裂项相消法 解析 考点二裂项相消求和 求数列 的前n项和 返回目录 评析 1 裂项法求和时消项的规律具有对称性 即前剩多少项后就剩多少项 前剩第几项 后就剩倒数第几项 2 常见的裂项公式有 n n n 1 n 返回目录 返回目录 对应演练 设数列 an 的前n项和为Sn 点 n n N 均在函数y 3x 2的图象上 1 求数列 an 的通项公式 2 Tn是数列 bn 的前n项和 求使得Tn 对所有n N 都成立的最小正整数m 1 依题意得 3n 2 即Sn 3n2 2n 当n 2时 an Sn Sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 当n 1时 a1 S1 3 12 2 1 1 6 1 5 an 6n 5 n N 返回目录 2 由 1 得bn 故Tn b1 b2 bn因此 使得 n N 成立的m必须满足 即m 10 故满足要求的最小正整数m为10 返回目录 返回目录 求和 分析 分析通项an 知 为等比数列 其系数构成数列 n 成等差数列 故可用错位相减法 考点三错位相减法求和 解析 当a 1时 Sn 1 2 3 n 当a 1时 两边同乘 得 得 即综上所述 得 a 1 a 1 返回目录 Sn 评析 如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项的乘积组成 则求此数列的前n项和Sn 一般用乘以其公比然后再添加不可缺少的式子错位相减法 要注意对字母的讨论 返回目录 返回目录 对应演练 设数列 an 的前n项和为Sn 2n2 bn 为等比数列 且a1 b1 b2 a2 a1 b1 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 设cn 求数列 cn 的前n项和Tn 1 当n 1时 a1 S1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 2n2 2 n 1 2 4n 2 故 an 的通项公式为an 4n 2 即 an 是首项a1 2 公差d 4的等差数列 设 bn 的公比为q 则b1qd b1 d 4 q 故bn b1qn 1 2 即 bn 的通项公式为bn 返回目录 返回目录 2 cn 2n 1 4n 1 Tn c1 c2 cn 1 3 41 5 42 2n 1 4n 1 4Tn 1 4 3 42 5 43 2n 3 4n 1 2n 1 4n 两式相减得3Tn 1 2 41 42 43 4n 1 2n 1 4n 6n 5 4n 5 Tn 6n 5 4n 5 返回目录 求和 1 Sn 1 11 111 11 1 2 Sn x 2 x2 2 xn 2 考点四拆项法求和 n个 返回目录 分析 1 写出数列的通项公式an 10n 1 分析通项可知 可转化为一个等比数列 10n 和常数列 的求和问题 2 分析通项公式an xn 2 xn 2 2 2 可转化为两个等比数列 x2n 与常数列 2 的求和问题 解析 1 an 10n 1 Sn 1 11 111 11 1 10 1 102 1 10n 1 10 102 10n n n个 返回目录 返回目录 2 an x2n 2 当x 1时 Sn x 2 x2 2 xn 2 x2 x4 x2n 2n 当x 1时 Sn 4n 评析 如果数列 an 的通项an可写成an bn cn 而 bn cn 是等差或等比数列或其前n项和可求 那么数列 an 的前n项和就可转化为 bn 与 cn 前n项和的和差问题 返回目录 对应演练 求和 11 103 1005 10007 10n 2n 1 an 10n 2n 1 原式 10 102 10n 2 1 2 n n n n 1 n n2 返回目录 返回目录 已知数列 an 的前n项和Sn n 1 2n 1 是否存在等差数列 bn 使an b1 b2 bn对一切正整数n均成立 分析 先由an与Sn的关系 求出 an 的通项公式 再由倒序相加得出结论 考点五倒序相加法求和 S1n 1Sn Sn 1n 2 当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 n 1 2n 1 n 2 2n 1 1 n 2n 1 a1 1满足n 2时an的式子 an n 2n 1 n N 假设存在等差数列 bn 满足条件 设b0 0 且 bn 仍成等差数列 则an b0 b1 b2 bn 倒序得an bn bn 1 bn 2 b0 返回目录 解析 an 以上两式相加得2an b0 bn b1 bn 1 bn b0 b0 bn bn 2n an bn 2n 1 令bn n 显然n 0时 b0 0 故存在等差数列 bn 满足已知等式 返回目录 评析 当把一个数列倒过来排序 与原数列对应项相加后 若有公因式可提 并且剩余的项的和易求 一般可用倒序相加法求其和 返回目录 设f x 求f 5 f 4 f 0 f 5 f 6 的值 对应演练 返回目录 f 1 x f x 设S f 5 f 4 f 5 f 6 则S f 6 f 5 f 4 f 5 两式相加得2S 12 S 返回目录 考点六数列求和的其他方法 已知Sn为数列 an 的前n项和 且Sn 2an n2 3n 2 n 1 2 3 1 求证 数列 an 2n 为等比数列 2 设bn an cosn 求数列 bn 的前n项和Pn 分析 在 bn 中 n取奇数 偶数时 bn的表示形式不同 因此 应分n为奇数 偶数讨论 返回目录 解析 1 证明 令n 1 则S1 2a1 1 3 2 a1 4 又Sn 2an n2 3n 2 则Sn 1 2an 1 n 1 2 3 n 1 2 由 得an 1 2an 1 2an 2n 2 即an 1 2an 2n 2 an 1 2 n 1 2 an 2n 即 又a1 2 2 an 2n 是以2为首项 2为公比的等比数列 返回目录 2 由 1 知an 2n 2n an 2n 2n bn 2n 2n cosn 当n为偶数时 Pn b1 b2 b3 bn b1 b3 bn 1 b2 b4 bn 2 2 1 23 2 3 2n 1 2 n 1 22 2 2 24 2 4 2n 2 n 当n为奇数时 Pn n 1 n为奇数 为偶数 返回目录 综上 Pn 评析 1 对于由递推关系给出的数列 常借助于Sn 1 Sn an 1转化为an与an 1的关系式或Sn与Sn 1的关系式 进而求出an与Sn使问题得以解决 2 对于本题这样判定 an 2n 为等比数列这种类型的问题 可采用整体配凑的方法 求出为定值即可 而若求证 an 2n 为等差数列 只需构造an 1 2n 1 an 2n 为常数即可 返回目录 5n 1 n为奇数 n为偶数 求数列的前n项和Sn 对应演练 返回目录 一个数列 an an 当n 2m时 a1 a3 a2m 1构成首项为6 公差为10的等差数列 a2 a4 a2m构成首项为2 公比为2的等比数列 此时 当n 2m 1时 返回目录 a2k 1 a2k 1 5 2k 1 1 5 2k 1 1 10 返回目录 1 数列求和 如果是等差 等比数列的求和 可直接用求和公式求解 公式要做到灵活运用 2 非等差 等比数列的一般数列求和 主要有两种思路 1 转化的思想 即将一般数列设法转化为等差或等比数列 这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成