高考理科数学等比数列复习资料.ppt

1 第三章数列 等比数列 第讲 3 第一课时 2 3 一 等比数列的判定与证明方法1 定义法 2 等比中项法 3 通项公式法 二 等比数列的通项公式1 原形结构式 an 2 变形结构式 an am n m 常数 n N n N a1 qn 1 n N qn m 4 三 等比数列的前n项和公式若等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则Sn 四 等比数列的常用性质1 等比数列 an 中 m n p q N 若m n p q 则am anap aq 填 5 2 等比数列 an 中 Sn为其前n项和 q为公比 当n为偶数时 S偶 S奇 3 公比不为1的等比数列 an 中 Sk S2k Sk S3k S2k 五 若a c同号 则a c的等比中项为 q 成等比数列 6 六 等比数列中的解题技巧与经验1 若 an 是等比数列 且an 0 n N 则 logaan 是数列 反之亦然 2 三个数成等比数列可设这三个数为 四个正数成等比数列可设这四个数为 等差数列 7 1 设 an 是等比数列 则 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 C 8 因为 an 是等比数列 所以an a1 qn 1 由a1 a2 a3 得a1 a1q a1q2 即或 则 an 是递增数列 反之也成立 故选C 9 2 已知等比数列 an 的公比为正数 且a2 1 则a1 设公比为q 由已知得a1q2 a1q8 2 a1q4 2 故q2 2 又因为等比数列 an 的公比为正数 所以故故选B B 10 3 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则a1a2 a2a3 anan 1 A 16 1 4 n B 6 1 2 n C 1 4 n D 1 2 n 11 设数列 an 的公比为q 由 an 是等比数列 知 anan 1 也是等比数列且公比为q2 又a2 2 a5 所以a5a2 q3 所以q 则a1 4 所以a1a2 a2a3 anan 1 1 4 n 故选C 12 题型1 a1 q n Sn an中 知三求二 13 14 15 16 在等比数列 an 中 a3 a1 8 a6 a4 216 Sn 40 求公比q a1及n 显然公比q 1 由已知可得 a1q2 a1 8a1q5 a1q3 216解得 a1 1q 3n 4 17 题型2 等比数列中的证明问题 18 19 20 21 22 23 设数列 an 的前n项和为Sn 已知数列 Sn 是等比数列 且公比q 1 试判断 an 是否为等比数列 由已知Sn S1qn 1 a1qn 1 所以 当n 2时 an Sn Sn 1 a1qn 2 q 1 24 所以又所以数列 an 不是等比数列 25 已知数列 an 为正项等比数列 它的前n项和为80 其中数值最大的项为54 前2n项的和为6560 试求此数列的首项a1和公比q 因为S2n 2Sn 所以q 1 依题设 有 26 得1 qn 82 即qn 81 所以q 1 故前n项中an最大 将qn 81代入 得a1 q 1 又an a1qn 1 54 所以81a1 54q 联立 解得a1 2 q 3 27 1 已知a1 an q n Sn中的三个量 求其他两个量归结为解方程组问题 2 本着化多为少的原则 解题时需抓住首项a1和公比q这两个 特征数 进行运算 3 运用等比数列的求和公式时 需对q 1和q 1进行讨论 28 第三章数列 等比数列 第讲 3 第二课时 29 题型3 等比数列性质的应用1 等比数列 an 的公比为 前n项和为Sn n N 若S2 S4 S2 S6 S4成等比数列 则其公比为 A B C D 30 设 an 的公比为q 首项为a1 由S2 a1 a1q S4 S2 q2 a1 a1q S6 S4 q4 a1 a1q 及S2 S4 S2 S6 S4成等比数列 可得其公比为故选A 31 点评 等比数列有着许多同构性质 如 an 是等比数列 则 a2n 也是等比数列 akn b 也是等比数列 Sn是等比数列 an 的前n项的和 若Sm 0 则数列Sm S2m Sm S3m S2m 成等比数列 32 设正项等比数列 an 的首项前n项和为Sn 且210S30 210 1 S20 S10 0 求数列 an 的通项公式 33 由已知得210 S30 S20 S20 S10 即210 q10 S20 S10 S20 S10 因为an 0 所以S20 S10 0 所以210 q10 1 所以从而 34 题型4 等比数列与等差数列交汇 35 36 37 38 39 已知等差数列 an a2 9 a5 21 1 求数列 an 的通项公式 1 设数列 an 的公差为d 依题意得方程组a1 d 9a1 4d 21 解得a1 5 d 4 所以数列 an 的通项公式为an 4n 1 40 2 令bn 2an 求数列 bn 的前n项和Sn 由an 4n 1 得bn 24n 1 所以数列 bn 是首项为b1 25 公比q 24的等比数列 于是得数列 bn 的前n项和 41 题型5 等比数列中的探究性问题3 已知数列 an 中 Sn是其前n项和 并且Sn 1 4an 2 n 1 2 a1 1 1 设数列bn an 1 2an n 1 2 求证 数列 bn 是等比数列 1 证明 由Sn 1 4an 2 Sn 2 4an 1 2 42 两式相减 得Sn 2 Sn 1 4 an 1 an 即an 2 4an 1 4an 根据bn的构造 如何把该式表示成bn 1与bn的关系是证明的关键 注意加强恒等变形能力的训练 所以an 2 2an 1 2 an 1 2an 43 又bn an 1 2an 所以bn 1 2bn 由S2 4a1 2 a1 1 得a1 a2 4a1 2 解得a2 5 则b1 a2 2a1 3 由 和 知 数列 bn 是首项为3 公比为2的等比数列 故bn 3 2n 1 44 2 设数列 n 1 2 求证 数列 cn 是等差数列 证明 因为 n N 所以又故数列 cn 是首项为公差为的等差数列 所以 45 3 求数列 an 的通项公式及前n项和 因为又所以所以an 3n 1 2n 2 当n 2时 Sn 4an 1 2 2n 1 3n 4 2 当n 1时 S1 a1 1也适合上式 综上可知 所求的前n项和为Sn 2n 1 3n 4 2 46 点评 1 本例主要复习用等差 等比数列的定义证明一个数列为等差 等比数列 求数列的通项公式与前n项和 解决本题的关键在于由条件Sn 1 4an 2得出递推公式 2 解综合题要总览全局 尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件 在后面求解的过程中适时应用 47 已知数列 an 满足 a1 1 a2 2 且数列 anan 1 是公比为q的等比数列 设bn a2n 1 a2n 数列 bn 的前n项和为Sn 试推断是否存在常数k 使对任意n N 都有Sn 2bn k成立 若存在 求出k的值 若不存在 说明理由 48 由已知即所以数列a1 a3 a5 a2n 1 和a2 a4 a6 a2n 都是公比为q的等比数列 当q 1时 Sn a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 49 又bn a1qn 1 a2qn 1 3qn 1 所以因为Sn 2bn k 所以得q 2 所以当q 1时 a2n 1 1 a2n 2 从而bn 3 Sn 3n 不满足题设条件 故k 3为所求