1-1映射与函数.doc

高等数学课程教案（本科）（同济大学第六版）第一章 函数与极限 1. 1 映射与函数（4学时）【基本要求】1.理解函数的概念.2.了解函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性.3.了解反函数和复合函数的概念.4.熟悉基本初等函数的性质及其图形.5.能列出简单实际问题中的函数关系.【本节重点】复合函数的概念【本章难点】 函数的复合与复合函数的分解。【授课方法】课堂讲授与提问相结合，适当采用多媒体技术一、集合（简单介绍，强调集合不止是数集，着重介绍邻域） 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, M等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为aM. 否则记为。 集合的表示: a. 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如 A=a, b, c, d, e, f, g. 或A=a1, a2, , an, b. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 M=x | x具有性质P . 例如M=(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1. 几个数集: N: 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N=0, 1, 2, , n, . N+=1, 2, , n, . Z: 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z= , -n, , -2, -1, 0, 1, 2, , n, . Q: 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. R: 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. 子集: 若xA, 则必有xB, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B)或BA . 如果集合A与集合B互为子集, AB且BA, 则称集合A与集合B相等, 记作A=B. 若AB且AB, 则称A是B的真子集, 记作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作AB, 即 AB=x|xA或xB. 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作AB, 即 AB=x|xA且xB. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作AB, 即 AB=x|xA且xB. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称IA为A的余集或补集, 记作AC. 集合运算的法则: 设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律AB=BA, AB=BA; (2)结合律 (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); 可推广 (3)分配律 (AB)C=(AC)(BC), (AB)C=(AC)(BC); 可推广 (4)对偶律 (AB)C=AC BC, (AB)C=AC BC. 可推广 (AB)C=AC BC的证明: x(AB)CxABxA且xBxA C且xBC xAC BC, 所以(AB)C=AC BC. 直积(笛卡儿乘积): 设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为AB, 即 AB=(x, y)|xA且yB. 例如, RR=(x, y)| xR且yR 即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2. 3. 区间和邻域 区间和邻域是数集的两种表示形式。 有限区间: 设ab, 称数集x|axb为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)=x|axb. 类似地有 a, b = x | a xb 称为闭区间, a, b) = x | axb 、(a, b = x | axb 称为半开区间. 其中a和b称为区间(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端点, b-a称为区间的长度. 无限区间: a, +) = x | ax , (-, b = x | x b , (-, +)=x | | x | +. 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设d是一正数, 则称开区间(a-d, a+d)为点a的d邻域, 记作U(a, d), 即 U(a, d)=x | a-d x a+d =x | | x-a|d. 其中点a称为邻域的中心, d 称为邻域的半径. 去心邻域(a, d): (a, d)=x |0| x-a | M. 注意： 1） 2） 有界时，界不唯一 3） 有界性与所考虑的区间有关 例如 (1) f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1. (2) 函数在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 这是因为, 对于任一M1, 总有x1: , 使 , 所以函数无上界. 但 函数在(1, 2)内是有界的. (2) 函数的单调性设函数y = f(x)的定义域为D, 区间I D. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1x2时, 恒有f(x1) f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调增加的. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1 f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 单调性与所考虑的区间有关 函数单调性举例: 函数y = x2在区间(-, 0上是单调增加的, 在区间0, +)上是单调减少的, 在（-, +）上不是单调的. (3) 函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xD, 则-xD). 如果对于任一xD, 有f(-x) = f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果对于任一xD, 有f(-x) = -f(x), 则称f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: y=x2, y=cos x 都是偶函数. y=x3, y=sin x都是奇函数, y=sin x+cos x是非奇非偶函数. (4) 函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一xD有(xl)D, 且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 一般求最小正周期（如果有的话）例10 1） 常量函数 （周期：任意实数） 2 ） 狄利克莱函数 （周期：任意有理数） 3反函数 设函数f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射f -1: f(D)D, 称此映射f -1为函数f的反函数. 按此定义, 对每个yf(D), 有唯一的xD, 使得f(x)=y, 于是有 f -1(y)=x. 这就是说, 反函数f -1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的. 例如, 函数y=x3, xR是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为, yR . 由于习惯上自变量用x表示, 因变量用因变量用表示, 于是y=x3, xR的反函数通常写作, xR. 一般地, y=f(x), xD的反函数记成y=f -1(x), xf(D). 若f是定义在D上的单调函数, 则f : Df(D)是单射, 于是f的反函数f -1必定存在, 而且容易证明f -1也是f(D)上的单调函数. 相对于反函数y=f -1(x)来说, 原来的函数y=f(x)称为直接函数. 把函数y=f(x)和它的反函数y=f -1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y=x是对称的. 这是因为如果P(a, b)是y=f(x)图形上的点, 则有b=f(a). 按反函数的定义, 有a=f -1(b), 故Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点; 反之, 若Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点, 则P(a, b)是y=f(x)图形上的点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y=x对称的. 4. 函数的运算（略讲） 设函数f(x), g(x)的定义域依次为D 1, D 2, D=D 1D 2, 则我们可以定义这两个函数的下列运算: 和(差)f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD; 积f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD; 商: , xDx|g(x)=0. 例11设函数f(x)的定义域为(-l, l), 证明必存在(-l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得 f(x)=g(x)+h(x). 分析 如果f(x)=g(x)+h(x), 则f(-x)=g(x)-h(x), 于是 , . 证 作, , 则 f(x)=g(x)+h(x), 且 , . 5. 初等函数 （1）基本初等函数: 幂函数: y=x m (mR是常数); 指数函数: y=a x(a0且a1); 对数函数: y=loga x (a0且a1, 特别当a=e时, 记为y=ln x); 三角函数: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x; 反三角函数: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . （2）复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数y=f(u)的定义域为D 1, 函数u=g(x)在D上有定义且g(D) D 1, 则由下式确定的函数 y=fg(x), xD称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数g与函数f构成的复合函数通常记为, 即 ()=fg(x). 与复合映射一样, g与f构成的复合函数的条件是: 函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域D f内, 即g(D)D f. 否则, 不能构成复合函数. 例11 1） u=g(x)=sinx 故可复合为 2） 不能复合这是因为对任xR, u =2+x2均不在y=arcsin u的定义域-1, 1内.3）y=f(u)=arcsinu, 的定义域为D1-1, 1, 的定义域为D-1, 1，但，不能复合。注意到与有交集，取，则g（x）在D上有定义, 且g(D)-1, 1, 则g与f可构成复合函数 , xD; 通常，先形式上复合，再求定义域，若非空，则说明可复合多个函数的复合: 例12 复合成 难点：分段函数的复合例13 设 ，求和解 当时，所以 当时，所以 当时，所以 所以 当时，所以 当时，所以