1.1.4投影与直观图

投影与直观图 一 投影法物体在光线的照射下 就会在地面或墙壁上产生影子 人们将这种自然现象加以科学的抽象 总结其中的规律 提出了投影的方法 投影法分类 1 中心投影法一个点光源把一个图形照射到一个平面上 这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影 点光源 从图中可以看到 空间图形经过中心投影后 直线变成直线 但平行线可能变成了相交的直线 如照片中由近到远 物体之间的距离越来越近 最后相交于一点 中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多 但直观性强 看起来与人的视觉效果一致 最像原来的物体 所以在绘画时 经常使用这种方法 但在立体几何中很少用中心投影原理来画图 太阳光线可以把一个矩形的窗框投射到地板上 影子是平行四边形 在影子中 框边的长度以及框边之间的夹角有所改变 但框边的平行性没有改变 我们还看到 平行直线段或同一条直线上的两条线段的比没有改变 例如 一条线段中点的投影仍是这条线段投影的中点 在立体几何中 一般都是根据平行投影的性质 用平面图形来表示空间图形 2 平行投影法投影线相互平行的投影法称为平行投影法 其中 投影线倾斜于投影面叫平行斜投影法 投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法 平行斜投影 平行正投影 应用正投影法 能在投影面上反映物体某些面的真实形状及大小 且与物体到投影面的距离无关 因而作图方便 故在工程中得到广泛的应用 工程图样就是用正投影法绘制的 1 点的平行投影 已知图形F 直线l与平面 相交 过F上任一点M作直线l 平行于l 交平面 于点M 则M 叫做点M在平面 内关于直线l的平行投影 2 图形的平行投影 如果图形F上的所有点在平面 内关于直线l的平行投影构成图形F 则F 叫做图形F在 内关于直线l的平行投影 平面 叫做投射面 l叫做投射线 平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时 平行投影都具有以下性质 1 直线或线段的平行投影仍是直线或线段 2 平行直线的平行投影是平行或重合的直线 3 平行于投射面的线段 它的投影与这条线段平行且等长 4 与投射面平行的平面图形 它的投影与这个图形全等 5 在同一直线或平行直线上 两条线段平行投影长度的比等于这两条线段长度的比 练习题 1 当图形中的直线或线段不平行于投射线时 关于平行投影的性质 下列说法中不正确的是 A 直线或线段的平行投影仍是直线或线段 B 平行直线的平行投影仍是平行的直线 C 与投射面平行的平面图形 它的投影与这个图形全等 D 在同一直线或平行直线上 两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 B 2 两条不平行的直线 其平行投影不可能是 A 两条平行线 B 一点和一条直线 C 两条相交直线 D 两个点 D 3 直线的平行投影可能是 A 点 B 线段 C 射线 D 曲线 A 二 直观图 当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时 一个空间图形在投射面上的平行投影 平面图形 可以形象地表示这个空间图形 像这样用来表示空间图形的平面图形 叫做空间图形的直观图 依据平行投影的性质画直观图的方法 国家规定了统一的标准 一种较为简单的画图标准是斜二侧画法 先观察一个长方形 如何把它画成水平放置的直观图呢 我们用一个平行四边形来表示它 那么这个平行四边形有什么要求呢 斜二测画法是国家规定的统一的画直观图的一种方法 它的规则是 1 在已知图形所在的空间中取水平平面 作互相垂直的轴Ox Oy 再作Oz轴 使 xOz 90 且 yOz 90 2 画直观图时 把Ox Oy Oz画成对应的轴O x O y O z 使 x O y 45 或135 x O z 90 x O y 所确定的平面表示水平平面 3 已知图形中 平行于x轴 y轴或z轴的线段 在直观图中分别画成平行于x 轴 y 轴或z 轴的线段 并使它们和所画坐标轴的位置关系 与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 4 已知图形中平行于x轴和z轴的线段 在直观图中保持长度不变 平行于y轴的线段 长度为原来长度的一半 5 画图完成后 擦去作为辅助线的坐标轴 就得到了空间图形的直观图 所以 画图的关键是正确地画出水平放置的图形 例 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图 1 在六边形ABCDEF中 取AD所在的直线为x轴 对称轴MN所在直线为y轴 两轴交于点O 画对应的x y 轴 两轴相交于点O 使 x O y 45 在画出了水平放置的正六边形的直观图后 按照斜二侧画法不难画出六棱柱和六棱锥的直观图 例2 画水平放置的正三角形的直