一元一次方程教案与讲解付例题.doc

第一讲 一元一次方程的认识及解法要求掌握黑体小四板块考试要求A级要求B级要求C级要求方程知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型能够根据具体问题中的数量关系，列出方程能运用方程解决有关问题方程的解了解方程的解的概念会用观察、画图等手段估计方程的解一元一次方程了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题黑体小四知识重点四一、等式的概念和性质黑体小四1等式的概念楷体五号用等号“”来表示相等关系的式子，叫做等式在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则体五号2等式的类型楷体五号（1）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立如：数字算式（2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立方程需要才成立（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立如，注意：等式由代数式构成，但不是代数式代数式没有等号楷体五号3等式的性质楷体五号等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式若，则；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式若，则，注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性，即：如果，那么等式具有传递性，即：如果，那么例题精讲黑【题01】 判断题（1）是代数式（2）是等式（3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立（4）若，则体小【题02】 回答下列问题，并说明理由（1）由能不能得到？（2）由能不能得到？（3）由能不能得到？（4）由能不能得到？变式训练： 1.下列说法不正确的是（ ）A等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式B等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式C等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式D一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式 2.下列结论中正确的是（ ）A在等式的两边都除以3，可得等式B如果，那么C在等式的两边都除以，可得等式D在等式的两边都减去，可得等式 3.下列变形中，不正确的是（ ）A若，则B若则C若，则D若，则 4.根据等式的性质填空（1），则 ； （2），则 ；（3），则 ； （4），则 5.用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的（1）如果，那么 ；（2）如果，那么 ；（3）如果，那么 ；（4）如果，那么 四二、方程的相关概念黑体小四1方程楷体五号含有未知数的等式叫作方程注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母二者缺一不可楷体五号2方程的次和元楷体五号方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元楷体五号3方程的已知数和未知数楷体五号已知数：一般是具体的数值，如中（的系数是1，是已知数但可以不说）5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有、等表示未知数：是指要求的数，未知数通常用、等字母表示如：关于、的方程中，、是已知数，、是未知数楷体五号4方程的解楷体五号使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解楷体五号5解方程楷体五号求得方程的解的过程注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程楷体五号6方程解的检验楷体五号要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是黑体小四例题精讲黑体小四【题03】 下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？；【题04】 下列各式不是方程的是（ ）ABCD【题05】 判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）变式训练： 1.判断题（1）所有的方程一定是等式（ ）（2）所有的等式一定是方程（ ）（3）是方程（ ）（4）不是方程（ ）（5）不是等式，因为与不是相等关系（ ）（6）是等式，也是方程（ ）（7）“某数的3倍与6的差”的含义是，它是一个代数式，而不是方程（ ） 2.下列说法不正确的是（ ）A解方程指的是求方程解的过程B解方程指的是方程变形的过程C解方程指的是求方程中未知数的值，使方程两边相等的过程D解方程指的是使方程中未知数变成已知数的过程 3.检验括号里的数是不是方程的解：（，） 4.在、中， 是方程的解三、一元一次方程的定义黑体小四1一元一次方程的概念楷体五号只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数楷体五号2一元一次方程的形式楷体五号标准形式：（其中，是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式最简形式：方程（，为已知数）叫一元一次方程的最简形式注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证如方程是一元一次方程如果不变形，直接判断就出会现错误（2）方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成黑体小四四、一元一次方程的解法黑体小四1解一元一次方程的一般步骤楷体五号（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边注意：移项要变号；不要丢项（4）合并同类项：把方程化成的形式注意：字母和其指数不变（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解注意：不要把分子、分母搞颠倒2解一元一次方程常用的方法技巧解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等例题精讲一判定是否为一元一次方程：【题06】 下列各式中：；哪些是一元一次方程？变式训练： 1.下列方程是一元一次方程的是（ ）ABCD 2.下列方程是一元一次方程的是（ ）（多选）ABCDEF【题07】 若关于的方程是一元一次方程，求的值【题08】 已知方程是关于的一元一次方程，求，满足的条件变式训练： 1.已知是关于的一元一次方程，求的值 2.方程是一元一次方程，求的值 3.若是关于的一元一次方程，求 4.若是关于的一元一次方程，求 5.若关于的方程是一元一次方程，求的解 6.若关于的方程是一元一次方程，则= 7.若关于的方程是一元一次方程，则方程的解= 8.已知是关于的一元一次方程，则 二一元一次方程的解有关的试题【题09】 求关于的一元一次方程的解【题10】 是关于的一元一次方程，且该方程有惟一解，则（ ）ABCD变式训练： 1.已知是关于的一元一次方程，求这个方程式的解 2.已知方程是一元一次方程，则 ； 3.若关于的方程是一元一次方程，则= 若关于的方程是一元一次方程，则方程的解= 黑体小四三、一元一次方程的解法黑体小四1基本类型的一元一次方程的解法：巧去括号解方程、巧用观察法解方程楷体五号【题11】 解方程：（1） ；（2） （3） ；（4） （5） （6） 【题12】 解方程：【题13】 解方程：【题14】 解方程：变式训练： 1.解方程： 2.解方程： 3.解方程： 4.解方程：2.需要通约分的一元一次方程【题15】 解方程：【题16】 解方程：【题17】 解方程：【题18】 解方程：变式训练： 1.解方程： 2.解方程： 3.解方程： 4.解方程： 5.解方程：楷体五号3分式中含有小数的一元一次方程的解法：巧去分母解方程：楷体五号【题19】 方程的解是 【题20】 解方程：去分母，得 根据等式的性质（ ）去括号，得 移 项，得 根据等式的性质（ ）合并同类项，得 系数化为 ，得 根据等式的性质（ ）【题21】 解方程：【题22】 解方程：变式训练： 1.解方程： 2.解方程： 3.解方程： 4.解方程：5.解方程：6.解方程：7.解方程：8.解方程：9.解方程：10.解方程：11.解方程：楷体五号4含有多层括号的一元一次方程的解法：运用拆项法解方程【题23】 解方程：【题24】 解方程：【题25】 解方程：变式训练： 1.解方程： 2.解方程： 3.解方程： 4.解方程： 5.解方程： 6.解方程： 7.解方程：楷体五号5一元一次方程的技巧解法楷体五号【题26】 解方程：【题27】 解方程：变式训练： 1.解方程： 2.解方程： 一元一次方程与实际问题（运用题）1、常见的一些等量关系常见列方程解应用题的几种类型：类型基本数量关系等量关系(1)和、差、倍、分问题较大量较小量多余量总量倍数倍量抓住关键性词语(2)等积变形问题变形前后体积相等(3)行程问题相遇问题路程速度时间甲走的路程乙走的路程两地距离追及问题同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程同时不同地出发：前者走的路程两地距离追者所走的路程顺逆流问题顺流速度静水速度水流速度逆流速度静水速度水流速度顺流的距离逆流的距离(4)劳力调配问题从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语(5)工程问题工作总量工作效率工作时间各部分工作量之和1(6)利润率问题商品利润商品售价商品进价商品利润率100售价进价(1利润率)抓住价格升降对利润率的影响来考虑(7)数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10ab抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系(8)储蓄问题利息本金利率期数本息和本金利息本金本金利率期数(1利息税率)(9)按比例分配问题甲乙丙abc全部数量各种成分的数量之和(设一份为x)(10)日历中的问题日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7日历中的数a的取值范围是1a31，且都是正整数例题精讲一元一次方程解应用题典型例题1、分配问题：例题1、把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则 剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.问这个班有多少 学生？变式1：某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？变式2：某校组织师生春游,如果只租用45座客车,刚好坐满;如果只租用60座客车,可少租一辆,且余30个座位.请问参加春游的师生共有多少人?2、匹配问题：例题2、某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？变式1：某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？变式2：用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身10个或制盒底30个。一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分利用白铁皮？3、利润问题(1)一件衣服的进价为x元,售价为60元,利润是_元,利润率是_.变式：一件衣服的进价为x元,若要利润率是20%,应把售价定为_. (2)一件衣服的进价为x元,售价为80元,若按原价的8折出售,利润是_元,利润率是_. 变式1：一件衣服的进价为60元,若按原价的8折出售获利20元,则原价是_元,利润率是_. 变式2：一台电视售价为1100元,利润率为10%,则这台电视的进价为_元.变式3：一件商品每件的进价为250元，按标价的九折销售时，利润为15.2%，这种商品每件标价是多少？变式4：一件夹克衫先按成本提高50%标价,再以八折(标价的80%)出售,结果获利28元,这件夹克衫的成本是多少元?变式5：一件商品按成本价提高20%标价,然后打九折出售,售价为270元.这种商品的成本价是多少?变式6：某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，买这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？4、工程问题：（1）甲每天生产某种零件80个，3天能生产 个零件。（2）甲每天生产某种零件80个，乙每天生产某种零件x个。他们5天一共生产 个零件。（3）甲每天生产某种零件80个，乙每天生产这种零件x个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天， 两人共生产 个零件。（4）一项工程甲独做需6天完成，甲独做一天可完成这项工程 ；若乙独做比甲快2天完成，则乙独做一天可完成这项工程的 。变式1：一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。甲乙合做,需几小时完成这件工作? 变式2：一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。若甲先单独做4小时,剩下的部分由甲、乙合做,还需几小时完成? 变式3：一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,丙单独做15小时完成,若先由甲、丙合做5小时,然后由甲、乙合做,问还需几天完成? 变式4：整理一批数据，有一人做需要80小时完成。现在计划先由一些人做2小时，在增加5人做8小时，完成这项工作的3/4，怎样安排参与整理数据的具体人数？5、计分问题：在2002年全国足球甲级联赛A组的前11轮比赛中，大连队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？变式：在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分. 如果班代表队最后得分142分，那么班代表队回答对了多少道题？ 班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由.6、收费问题：例题1、某航空公司规定：一名乘客最多可免费携带20kg的行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5购买行李票，一名乘客带了35kg的行李乘机，机票连同行李票共计1323元，求这名乘客的机票价格。例题2、根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题 方式一方式二月租费30元月0本地通话费0.30元分钟0.40元分钟（1）一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？（2)对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式收费一样多吗？变式：某市为鼓励市民节约用水，做出如下规定：用水量收费不超过 10 m30.5元/m310 m3以上每增加 1 m31.00 元/m3小明家 9月份缴水费 20元，那么他家 9月份的实际用水量是多少？例题3、某同学去公园春游，公园门票每人每张5元，如果购买20人以上（包括20人）的团体票，就可以享受票价的8折优惠。（1）若这位同学他们按20人买了团体票，比按实际人数买一张5元门票共少花25元钱，求他们共多少人？（2）他们共有多少人时，按团体票（20人）购买较省钱？（说明：不足20人，可以按20人的人数购买团体票）7、有关数的问题：例题1、有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，。其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少？例题2、三个连续奇数的和是327，求这三个奇数。变式1：三个连续偶数的和是516，求这三个偶数。变式2：如果某三个数的比为2:4:5，这三个数的和为143， 求这三个数为多少？例题3、一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为个位上数字与十位上数字对调后组成的两位数，试求这个两位数。8、日历问题：例题1、在某张月历中， 一个竖列上相邻的三个数的和是60，求出这三个数.变式1：在某张月历中， 一个竖列上相邻的四个数的和是50，求出这四个数.变式2：小彬假期外出旅行一周，这一周各天的日期之和是84，小彬几号回家？变式3：爷爷的生日那天的上、下、左、右4个日期的和为80， 你能说出我爷爷的生日是几号吗？9、行程问题：例题1、（相遇问题）甲、乙两人从相距为180千米的A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。已知甲的速度为15千米/小时，乙的速度为45千米/小时。（1）经过多少时间两人相遇？ （2）相遇后经过多少时间乙到达A地？变式：甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经3 小时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经 1小时乙到达A地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？例题2、（追及问题）市实验中学学生步行到郊外旅行。(1)班学生组成前队，步行速度为4千米/时，(2)班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。（1）后队追上前队需要多长时间？（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？（3）两队何时相距3千米？（4）两队何时相距8千米？变式1：甲，乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，并且先出发30分钟，乙每分钟登高15米，两人同时登上山顶。甲用多少时间登山？这座山有多高？变式2：甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，两人均匀速前进。已知两人上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米。求A,B两地之间的距离。例题3、（环型跑道问题）一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习赛跑，甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。（1）若两人同时同地背向而行，几分钟后两人首次相遇？变式：几分钟后两人二次相遇？（2）若两人同时同地同向而行，几分钟后两人首次相遇？又经过几分钟两人二次相遇？例题4、（顺、逆水问题）一轮船往返A，B两港之间，逆水航行需3时，顺水航行需2时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中的速度是多少？变式：一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时。顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。例题5、（错车问题）在一段双轨铁道上，两列火车同时驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为24米/秒，若A列车全长180米，B列车全长160米，两列车错车的时间是多长时间？变式1：一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20秒的时间。隧道的顶上有一盏灯 ，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，根据以上数据，你能求出火车的长度？变式2：在一列火车经过一座桥梁，列车车速为20米/秒，全长180米，若桥梁长为3260米，那么列车通过桥梁需要多长时间？ 含字母系数的一次方程知识重点一、含字母系数的一次方程黑体小四1含字母系数的一次方程的概念楷体五号当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程 楷体五号2含字母系数的一次方程的解法楷体五号含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定(1)当时，原方程有唯一解；(2)当且时，解是任意数，原方程有无数解；(3)当且时，原方程无解黑体小四二、同解方程及方程的同解原理黑体小四1方程的解楷体五号使方程左边和右边相等的未知数的值称为方程的解注意：方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用：（1）求解：通过解方程，求出方程的解进而解决问题（2）代解：将方程的解代入原方程进行解题楷体五号2同解方程楷体五号如果方程的解都是方程的解，并且方程的解都是方程的解，那么这两个方程是同解方程楷体五号3方程的同解原理楷体五号方程同解原理1：方程两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程方程同解原理2：方程两边同时乘以或除以同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程方程同解原理3：方程与或是同解方程黑体小四例题精讲黑体小四一、含字母系数的一次方程的解法黑体小四【题28】 已知是有理数，在下面4个命题：（1）方程的解是（2）方程的解是（3）方程的解是（4）方程的解是中，结论正确的个数是（ ）A0B1C2D3【题29】 讨论关于的方程的解的情况【题30】 解关于的方程：【题31】 解关于的方程：变式训练： 1.解关于的方程： 2.解关于的方程： 3.解关于的方程：黑体小四二、一次方程中字母系数的确定黑体小四1根据方程解的具体数值来确定楷体五号【题32】 若是方程的一个解，则 【题33】 已知关于的方程的解满足方程，则 变式训练： 1.已知方程的解为，则 2.如果关于的方程的根是，求的值 3.某同学在解方程，把处的数字看错了，解得，该同学把看成了 4.时，的解是，那么方程的解是什么？ 5.已知是方程的解，则 楷体五号2根据方程解的个数情况来确定楷体五号【题34】 关于的方程，分别求，为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解【题35】 若关于的方程有无穷多个解，求，值【题36】 已知关于的方程有无数多个解，试求的值【题37】 已知关于的方程有无数多个解，那么 ， 变式训练： 1.已知关于的方程有无数多个解，求 与的值 2.已知关于的方程无解，试求的值楷体五号楷体五号3根据方程整数解的情况来确定楷体五号【题38】 为整数，关于的方程的解为正整数，求的值【题39】 若关于的方程的解为正整数，则的值为 变式训练： 1.已知关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数= 2.已知是不为0的整数，并且关于的方程有整数解，则的值共有（ ）A1个B3个C6个D9个知识重点黑体小四一、含绝对值的一次方程黑体小四1含绝对值的一次方程的解法（1）形如型的绝对值方程的解法：当时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；当时，原方程变为，即，解得；当时，原方程变为或，解得或（2）形如型的绝对值方程的解法：根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围；根据绝对值的定义将原方程化为两个方程和；分别解方程和；将求得的解代入检验，舍去不合条件的解（3）形如型的绝对值方程的解法：根据绝对值的定义将原方程化为两个方程或；分别解方程和例题精讲黑体小四一、含绝对值的一次方程黑体小四1含绝对值的一次方程的解法楷体五号