《工程数学》总复习题之01.pdf

华南大学络教育学院华南大学络教育学院华南华南理工理工大学大学网网络教育学院络教育学院 工程数学工程数学 总复习题总复习题 工程数学工程数学 总复习题总复习题 之之01之之01 适用专业 层次 土木工程 本科 适用专业 层次 土木工程 本科 授课教师 王全迪博士 杨立洪博士授课教师 王全迪博士 杨立洪博士 线性代数部分线性代数部分 一 问答题 共 4 题 每题 5 分 共计 20 分 一 问答题 共 4 题 每题 5 分 共计 20 分 1 叙述三阶行列式的定义叙述三阶行列式的定义 1 叙述三阶行列式的定义叙述三阶行列式的定义 答答 定义定义 1 用用 2 3个数组成的记号个数组成的记号 111213 212223 aaa aaa表示数值表示数值 答答 定义定义 1 用用3个数组成的记号个数组成的记号 212223 313233 aaa aaa 表示数值表示数值 aaaaaa 222321232122 111213 323331333132 aaaaaa aaa aaaaaa 称为三阶行列式称为三阶行列式即即称为三阶行列式称为三阶行列式 即即 111213 aaa 222321232122 aaaaaa 212223 313233 aaa aaa 222321232122 111213 323331333132 aaa aaaaaa 2叙述叙述阶行列式的余子式和代数余子式的定义阶行列式的余子式和代数余子式的定义并写出二者之间并写出二者之间 2 叙述叙述 n 阶行列式的余子式和代数余子式的定义阶行列式的余子式和代数余子式的定义 并写出二者之间并写出二者之间 的关系的关系 答 定义 在答 定义 在 n 阶行列式阶行列式 D 中划去中划去 ij a所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列的元素后 列的元素后 剩下的元素按原来相对位置所组成的剩下的元素按原来相对位置所组成的 1 阶行列式阶行列式称为称为的余子的余子剩下的元素按原来相对位置所组成的剩下的元素按原来相对位置所组成的 n 1 阶行列式阶行列式 称为称为 ij a的余子的余子 式 记为式 记为 ij M 即 即 111 11 11jjn aaaa ij M 1 11 11 11 1 11 11 11 iijijin iijijin aaaa aaaa 1 1 1nn jn jnn aaaa ij 称为称为的代数余子式的代数余子式记为记为即即 ij 1 i j ij M 称为称为 ij a的代数余子式的代数余子式 记为记为 ij A 即即 ij A 1 i j ij M 3 叙述矩阵的秩的定义 叙述矩阵的秩的定义 答答 定义定义 设设 A 为为 m n 矩阵矩阵如果如果 A 中不为零的子式最高阶为中不为零的子式最高阶为 r即存即存答答 定义定义 设设 A 为为 m n 矩阵矩阵 如果如果 A 中不为零的子式最高阶为中不为零的子式最高阶为 r 即存即存 在在 r 阶子式不为零 而任何阶子式不为零 而任何 r 1 阶子式皆为零 则称阶子式皆为零 则称 r 为矩阵为矩阵 A 的秩 的秩 记作 秩 记作 秩 r 或或 R A r 4 叙述对称阵 可逆矩阵的定义 叙述对称阵 可逆矩阵的定义 答 定义答 定义 1 满足条件 满足条件 1 2 ijji aai jn 的的方阵方阵 ijn n a 称为对称阵 其特称为对称阵 其特 ijji j ijn n 点是 它的元素以主对角线为对称轴对应相等 点是 它的元素以主对角线为对称轴对应相等 定义定义 2 对于 对于 n 阶阶方阵方阵 A 如果存在 如果存在 n 阶方阵阶方阵 B 使得 使得 AB BA E 其 其 中中 E 为为 n 阶单位阵阶单位阵则称则称 A 为可逆阵为可逆阵称称 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵中中 E 为为 n 阶单位阵阶单位阵 则称则称 A 为可逆阵为可逆阵 称称 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵 5叙述矩阵的加法运算叙述矩阵的加法运算数乘运算定义数乘运算定义 5 叙述矩阵的加法运算叙述矩阵的加法运算 数乘运算定义数乘运算定义 答 定义答 定义 1 设两个 设两个 m n 矩阵矩阵 A 111 1 n aa aa B 111 1 n bb bb 1mmn aa 1mmn bb 则称则称 m n 矩阵矩阵 111111nn abab 为矩阵为矩阵 A 与与 B 的和 记作的和 记作 A B 11mmmnmn abab 定义定义 2 以数 以数 k 乘矩阵乘矩阵 A 的每一个元素所得到的矩阵 称为数的每一个元素所得到的矩阵 称为数 k 与与 矩阵矩阵 A 的积 记作的积 记作 kA 如果 如果 A ijm n a 那么 那么 kA ijm nijm n k aka 即即 kakaka kA 11121 21222 n n kakaka kakaka kkk 12mmmm kakaka 6 叙述向量组的线性相关和线性无关的定义 叙述向量组的线性相关和线性无关的定义 答答 定义定义 设有向量组设有向量组 12 如果存在如果存在一一组不全为零的数组不全为零的数 12 k kk 使使答答 定义定义 设有向量组设有向量组 12 s 如果存在组不全为零的数如果存在组不全为零的数 12 s k kk使使 得得 1122ss kkkO 成立 则称向量组成立 则称向量组 12 s 线性相关 否则 线性相关 否则 即仅当即仅当 12 0 s kkk 时 才有时 才有 1122ss kkkO 成立 则称向量组成立 则称向量组 线性无关线性无关 12 s 线性无关线性无关 7 齐次线性方程组的基础解系是什么 齐次线性方程组的基础解系是什么 11 11221 0 nn a xa xa x 答 定义 设答 定义 设 T 是是 21 12222 0 0 nn a xa xa x a xa xa x 的所有解的集合 若的所有解的集合 若 T 中存中存 1 122 0 nnnnn a xa xa x 在一组非零解在一组非零解 12 s 满足满足 1 12 s 线性无关 线性无关 2 任意任意T 都可用都可用 线性表出线性表出 2 任意任意T 都可用都可用 12 s 线性表出线性表出 则称则称 12 s 是此方程组的是此方程组的一个基础解系一个基础解系 8试述克莱姆法则的内容试述克莱姆法则的内容 8 试述克莱姆法则的内容试述克莱姆法则的内容 答 克莱姆法则 如果线性方程组答 克莱姆法则 如果线性方程组 b 11 112211 21 122222 nn nn a xa xa xb a xa xa xb 1 122nnnnnn a xa xa xb 的系数的系数 1 2 ij a i jn 构成的行列式构成的行列式 D0 则此线性方程组有唯一解 则此线性方程组有唯一解 12 12 n n DDD xxx DDD 其中其中 1 2 j Djn 是将系数行列式是将系数行列式 D 中第中第 j 列元素对应地换为常数项列元素对应地换为常数项其中其中 1 2 j Djn是将系数行列式是将系数行列式 D 中第中第 j 列元素对应地换为常数项列元素对应地换为常数项 12 n b bb 得到的行列式得到的行列式 b 111 111 11 212 122 12 jjn jjn j aabaa aabaa D 1 1 1nn jnn jnn aabaa 二 填空题 共 8 题 每题 4 分 共计 32 分 二 填空题 共 8 题 每题 4 分 共计 32 分 111 1 行列式 行列式 111 111 11 1 D 4 2 若 若A是对称矩阵 则是对称矩阵 则 AAT 0 0 3 设 设A 111213 212223 aaa aaa aaa 则 则 111213 212223 333 666 aaa aaa aaa 18 A 313233 aaa 313233 666aaa 4 设 设 A B均为 3 阶矩阵 且均为 3 阶矩阵 且 3AB 则 则2 T AB 72 72 5 设 行 列 式 设 行 列 式 132 102 112 D 则 则 D 中 元 素中 元 素 23 a的 代 数 余 子 式的 代 数 余 子 式 112 A 11 31 23 A 11 阶行列式阶行列式中元素中元素的代数余子式的代数余子式与余子式与余子式之间的关系之间的关系 6 n阶行列式阶行列式 n D中元素中元素 ij a的代数余子式的代数余子式 ij A与余子式与余子式 ij M之间的关系之间的关系 是是 ij ji ij MA 1 是是 jj 7 设矩阵 设矩阵A中的中的r阶子式阶子式0 r D 且所有 r 1 且所有 r 1 阶子式 如果有的话 阶子式 如果有的话 都为都为 0 0 则则 r Ar 都为都为 0 0 则则 r Ar 8 设 设 100 020A 则 则 1 A 100 1 00 2 001 2 001 0 9 如果齐次线性方程组 如果齐次线性方程组 11 11221 21 12222 0 0 nn nn a xa xa x a xa xa x 的系数行列式的系数行列式 0D 1 122 0 nnnnn a xa xa x 那么它有那么它有唯唯一一零零解解那么它有那么它有 唯零唯零解解 10 齐次线性方程组 齐次线性方程组0AX 总有总有 零零 解 当它所含方程的个数解 当它所含方程的个数 小于未知量的个数时小于未知量的个数时 它它一一定有定有 无穷多个非零无穷多个非零解解小于未知量的个数时小于未知量的个数时 它定有它定有 无穷多个非零无穷多个非零解解 11用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组 bAX 其增广矩阵其增广矩阵A经初等行变换后经初等行变换后 11 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组 bAX 其增广矩阵其增广矩阵A经初等行变换后经初等行变换后 化为阶梯阵化为阶梯阵 1531 0234 A 00 0000 A st 则则 1 当当s 0 0t 时时 bAX 无解无解 2 当当s 0 t 0 时 时 bAX 有无穷多解有无穷多解 2 当当s 0 t 0 时 时 bAX 有无穷多解有无穷多解 3 当当0s t是任意实数时 是任意实数时 bAX 有唯一解有唯一解 三三计算题计算题 共共 6 6 题题每题每题 6 6 分分共计共计 3636 分分 三三 计算题计算题 共共 6 6 题题 每题每题 6 6 分分 共计共计 3636 分分 1 计算行列式 计算行列式 133 353 x x 664x 解解原行列式可化为原行列式可化为 533335 1 3 3 xx 解解 原行列式可化为原行列式可化为 1 3 3 646466 x xx 4 2 2 xx 3 1216xx 1216xx 2计算行列式计算行列式 121 1 333 1316 2 计算行列式计算行列式 1001 319 1 222 222 1213 1316 1 1211 0529 1 解 原 行 列 式 可 化 为 解 原 行 列 式 可 化 为 1316 1 10016 3129 0529 1 02146 0550 1 6 529 214 529 1 214 6 1 6 142421 529 505055 5 26 550 6 550 65050552 2111 3 计算行列式 计算行列式 2111 4211 201 1029998 1212 2102 2102 解 原行列式可化为 解 原行列式可化为 0013 201 1029998 1205 0013 201 1020395 1205 1205 1205 212 201 102395 102395201395201 102 2 2 201 102395 125 2 2 251512 2600 1400600 1800 2600 1400 600 1800 231123 4 设矩阵 设矩阵 231123 111 112 011011 AB 求 求AB 解 解 AB 231123 111112 5611 246 011011 101 5611 61156 AB 246 101 61156 1 4624 0 0 2512 5 已知行列式 已知行列式 2512 3714 4612 写出元素 写出元素 43 a的代数余子式的代数余子式 43 A 并求 并求 43 A 5927 的值的值 的值的值 解解 A 4 3 1 M 252 374 743437 2 5 2 解解 43 A 43 1 M374 462 2 5 2 624246 54 54 1201 11 6 设 设 1201 2114 0201 A 11 21 01 B 求 求 IA B 1431 12 1000 1201 0201 解 解 IA 0100 0010 0001 2114 0201 1431 2214 0211 1430 0001 1431 1430 IA B 0201 2214 11 21 54 25 IA B 0211 1430 01 12 53 90 25321 7 求矩阵 求矩阵 25321 58543 17420 A 的秩 的秩 41123 25321 17420 17420 解 解 58543 17420 41 123 A 25321 41123 58543 09521 0271563 0271563 41 123 58543 0271563 17420 09520 09520 00000 00000 所以 矩阵的秩为 2所以 矩阵的秩为 2 化为三角阵的方法 化为三角阵的方法 44 P 8 解齐次线性方程解齐次线性方程组组 1234 1234 240 23450 413140 xxxx xxxx 解齐次线性方程解齐次线性方程 1234 1234 413140 750 xxxx xxxx 解解对系数矩阵施以初等变换对系数矩阵施以初等变换解解 对系数矩阵施以初等变换对系数矩阵施以初等变换 1214 2345 1214 0123 1214 0123 A A 2345 141314 1175 0123 061218 0369 0123 0000 0000 1052 0123 1052 0123 0000 0000 0000 0000 与原方程组同解的方程组为 与原方程组同解的方程组为 520 xxx 134 234 520 30 xxx xxx 所以所以方程组的般解为方程组的般解为所以所以 方程组的方程组的一一般解为般解为 134 52xxx 其中其中 34 x x为自由未知量为自由未知量 234 23xxx 其中其中 34 x x为自由未知量为自由未知量 9 试问 试问 取何值时 齐次线性方程组取何值时 齐次线性方程组 123 23 30 20 20 xxx xx 有非零解 有非零解 123 20 xxx 解 系数行列式为 解 系数行列式为 31112112 021046021 112021008 所以 当所以 当 8 时 该齐次线性方程组有非零解 时 该齐次线性方程组有非零解 10 解线性方程组 解线性方程组 123 123 31 331 590 xxx xxx xxx 123 590 xxx 解 对增广矩阵施以初等行变换 解 对增广矩阵施以初等行变换 A 1131 3131 1590 1131 0462 0461 1131 0462 0003 1590 0461 0003 所以 原方程组无解 所以 原方程组无解 依据填空题的 13 题结论 依据填空题的 13 题结论 11 解线性方程组 解线性方程组 1234 1234 25321 58543 xxxx xxxx 解 对增广矩阵施以初等行变换 解 对增广矩阵施以初等行变换 25321 531 11 A 25321 58543 25321 951 01 222 53 11 222 951 01 222 222 531 11 222 147 10 999 222 521 01 999 999 521 01 999 与原方程组同解的方程组为 与原方程组同解的方程组为 147 134 234 147 999 521 999 xxx xxx 999 所以 方程组的一般解为 所以 方程组的一般解为 134 147 999 521 xxx 34 x x是自由未知量 是自由未知量 234 521 999 xxx 34 12 设矩阵 设矩阵 012 213 114 356 210 AB 解矩阵方程 解矩阵方程 T AXB 210 21 1 23 解 解 1 21 1 421 31 1 A 23 15 36 T B 22 21 123