高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7_2 一元二次不等式及其解法课件 文 北师大版

7 2一元二次不等式及其解法 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 三个二次 的关系 知识梳理 x xx2 x x R x x1 x x2 x a x b 0或 x a x b 0型不等式的解法 2 常用结论 x x a x xa x a x b 口诀 大于取两边 小于取中间 1 0 0 0 2 0 0 f x g x 0 0 且g x 0 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若不等式ax2 bx c0 2 若不等式ax2 bx c 0的解集是 x1 x2 则方程ax2 bx c 0的两个根是x1和x2 3 若方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 则不等式ax2 bx c 0的解集为R 4 不等式ax2 bx c 0在R上恒成立的条件是a 0且 b2 4ac 0 5 若二次函数y ax2 bx c的图像开口向下 则不等式ax2 bx c 0的解集一定不是空集 1 教材改编 不等式x2 3x 10 0的解集是A 2 5 B 5 C 2 D 2 5 考点自测 答案 解析 解方程x2 3x 10 0得x1 2 x2 5 由于y x2 3x 10的图像开口向上 所以x2 3x 10 0的解集为 2 5 2 设集合M x x2 3x 4 0 N x 0 x 5 则M N等于A 0 4 B 0 4 C 1 0 D 1 0 答案 解析 M x x2 3x 4 0 x 1 x 4 M N 0 4 3 2016 梧州模拟 不等式 1的解集是A 1 1 B 1 C 1 D 1 1 x 1 x 1 0 x 1或x 1 答案 解析 4 教材改编 若关于x的不等式ax2 bx 2 0的解集是 则a b 答案 解析 14 5 不等式x2 ax 4 0的解集不是空集 则实数a的取值范围是 答案 解析 4 4 x2 ax 4 0的解集不是空集 x2 ax 4 0一定有解 a2 4 1 4 0 即a2 16 a 4或a 4 题型分类深度剖析 题型一一元二次不等式的求解 例1求不等式 2x2 x 3 0的解集 解答 命题点1不含参数的不等式 化 2x2 x 30 例2解关于x的不等式 x2 a 1 x a 0 解答 命题点2含参数的不等式 由x2 a 1 x a 0 得 x a x 1 0 x1 a x2 1 当a 1时 x2 a 1 x a 0的解集为 x 1 x a 当a 1时 x2 a 1 x a 0的解集为 当a 1时 x2 a 1 x a 0的解集为 x a x 1 引申探究 将原不等式改为ax2 a 1 x 1 0 求不等式的解集 解答 若a 0 原不等式等价于 x 11 当a 0时 解集为 x x 1 当a 1时 解集为 思维升华 含有参数的不等式的求解 往往需要对参数进行分类讨论 1 若二次项系数为常数 首先确定二次项系数是否为正数 再考虑分解因式 对参数进行分类讨论 若不易分解因式 则可依据判别式符号进行分类讨论 2 若二次项系数为参数 则应先考虑二次项系数是否为零 确定不等式是不是二次不等式 然后再讨论二次项系数不为零的情形 以便确定解集的形式 3 对方程的根进行讨论 比较大小 以便写出解集 跟踪训练1解下列不等式 1 3x2 2x 8 0 解答 原不等式可化为3x2 2x 8 0 即 3x 4 x 2 0 2 求不等式12x2 ax a2 a R 的解集 解答 12x2 ax a2 12x2 ax a2 0 即 4x a 3x a 0 令 4x a 3x a 0 当a 0时 x2 0 解集为 x x R且x 0 当a 0时 不等式的解集为 x x R且x 0 题型二一元二次不等式恒成立问题 命题点1在R上的恒成立问题 例3 1 若一元二次不等式2kx2 kx 0对一切实数x都成立 则k的取值范围为A 3 0 B 3 0 C 3 0 D 3 0 答案 解析 k 0 2 设a为常数 对于任意x R ax2 ax 1 0 则a的取值范围是A 0 4 B 0 4 C 0 D 4 答案 解析 命题点2在给定区间上的恒成立问题 例4设函数f x mx2 mx 1 若对于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范围 解答 要使f x m 5在x 1 3 上恒成立 有以下两种方法 当m 0时 g x 在 1 3 上是增加的 所以g x max g 3 7m 6 0 当m 0时 6 0恒成立 当m 0时 g x 在 1 3 上是减少的 所以g x max g 1 m 6 0 所以m 6 所以m 0 命题点3给定参数范围的恒成立问题 例5对任意m 1 1 函数f x x2 m 4 x 4 2m的值恒大于零 求x的取值范围 解答 由f x x2 m 4 x 4 2m x 2 m x2 4x 4 令g m x 2 m x2 4x 4 由题意知在 1 1 上 g m 的值恒大于零 解得x3 故当x的取值范围为 1 3 时 对任意的m 1 1 函数f x 的值恒大于零 思维升华 1 对于一元二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方 另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 2 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是主元 求谁的范围 谁就是参数 跟踪训练2 1 已知函数f x x2 mx 1 若对于任意x m m 1 都有f x 0成立 则实数m的取值范围是 答案 解析 作出二次函数f x 的草图 对于任意x m m 1 都有f x 0 2 已知不等式mx2 2x m 1 0 是否存在实数m对所有的实数x 使不等式恒成立 若存在 求出m的取值范围 若不存在 请说明理由 解答 不等式mx2 2x m 1 0恒成立 即函数f x mx2 2x m 1的图像全部在x轴下方 当m 0时 函数f x mx2 2x m 1为二次函数 需满足开口向下且方程mx2 2x m 1 0无解 综上可知 不存在这样的m 例6甲厂以x千克 小时的速度匀速生产某种产品 生产条件要求1 x 10 每小时可获得的利润是100 5x 1 元 1 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元 求x的取值范围 解答 题型三一元二次不等式的应用 即5x2 14x 3 0 又1 x 10 可解得3 x 10 即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元 x的取值范围是 3 10 2 要使生产900千克该产品获得的利润最大 问 甲厂应该选取何种生产速度 并求最大利润 解答 设利润为y元 则 故当x 6时 ymax 457500元 即甲厂以6千克 小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大 最大利润为457500元 思维升华 求解不等式应用题的四个步骤 1 阅读理解 认真审题 把握问题中的关键量 找准不等关系 2 引进数学符号 将文字信息转化为符号语言 用不等式表示不等关系 建立相应的数学模型 3 解不等式 得出数学结论 要注意数学模型中自变量的实际意义 4 回归实际问题 将数学结论还原为实际问题的结果 跟踪训练3某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售 每天可销售100件 现准备采用提高售价来增加利润 已知这种商品每件销售价提高1元 销售量就要减少10件 那么要保证每天所赚的利润在320元以上 销售价每件应定为A 12元B 16元C 12元到16元之间D 10元到14元之间 答案 解析 设销售价定为每件x元 利润为y 则y x 8 100 10 x 10 依题意有 x 8 100 10 x 10 320 即x2 28x 192 0 解得12 x 16 所以每件销售价应为12元到16元之间 典例 1 已知函数f x x2 ax b a b R 的值域为 0 若关于x的不等式f x 0恒成立 则实数a的取值范围是 转化与化归思想在不等式中的应用 思想与方法系列14 函数的值域和不等式的解集转化为a b满足的条件 不等式恒成立可以分离常数 转化为函数值域问题 9 a a 3 答案 解析 思想方法指导 1 由题意知f x x2 ax b f x 的值域为 0 即x2 2x a 0恒成立 即当x 1时 a x2 2x g x 恒成立 而g x x2 2x x 1 2 1在 1 上是减少的 g x max g 1 3 故a 3 实数a的取值范围是 a a 3 课时作业 1 不等式 x 1 2 x 0的解集为A x 1 x 2 B x x 1或x 2 C x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由 x 1 2 x 0可知 x 2 x 1 0 所以不等式的解集为 x 1 x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A x 21 答案 解析 x x 2 0的解集为 x x0 又 1 x 1 0 x 1 即 x 0 x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 若集合A x ax2 ax 1 0 则实数a的取值范围是A a 0 a 4 B a 0 a 4 C a 0 a 4 D a 0 a 4 答案 解析 由题意知a 0时 满足条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 3 1 3 B 3 1 2 C 1 1 3 D 3 1 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知不等式x2 2x 3 0的解集为A 不等式x2 x 6 0的解集为B 不等式x2 ax b 0的解集为A B 那么a b等于A 3B 1C 1D 3 答案 解析 由题意 A x 1 x 3 B x 3 x 2 A B x 1 x 2 则不等式x2 ax b 0的解集为 x 1 x 2 由根与系数的关系可知 a 1 b 2 所以a b 3 故选A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 已知函数f x ax 1 x b 如果不等式f x 0的解集是 1 3 则不等式f 2x 0的解集是 答案 解析 由题意得f x 0的两个解是x1 1 x2 3且a3或 2x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解得a 6 b 5 不等式x2 bx a 0 即x2 5x 6 0 解集为 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知函数f x x2 ax b2 b 1 a R b R 对任意实数x都有f 1 x f 1 x 成立 当x 1 1 时 f x 0恒成立 则b的取值范围是A 12C b2D 不能确定 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由f 1 x f 1 x 知f x 图像的对称轴为直线x 1 由f x 的图像可知f x 在 1 1 上是增加的 x 1 1 时 f x min f 1 1 2 b2 b 1 b2 b 2 令b2 b 2 0 解得b2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 设f x 是定义在R上的以3为周期的奇函数 若f 1 1 f 2 则实数a的取值范围是 答案 解析 f x 3 f x f 2 f 1 3 f 1 f 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知f x 是定义域为R的偶函数 当x 0时 f x x2 4x 则不等式f x 2 5的解集是 答案 解析 x 7 x 3 令x0 x 0时 f x x2 4x f x x 2 4 x x2 4x 又f x 为偶函数 f x f x x 0时 f x x2 4x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得 5 x 0 即f x 5的解集为 5 5 由于f x 向左平移两个单位即得f x 2 故f x 2 5的解集为 x 7 x 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 设二次函数f x ax2 bx c 函数F x f x x的两个零点为m n m0的解集 解答 由题意知 F x f x x a x m x n 当m 1 n 2时 不等式F x 0 即a x 1 x 2 0 当a 0时 不等式F x 0的解集为 x x2 当a0的解集为 x 1 x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 f