高中数学第一章解三角形1_1_1正弦定理一课件新人教b版必修5

第一章 解三角形 1 1正弦定理和余弦定理1 1 1正弦定理 一 学习目标 1 通过对任意三角形边角关系的探索 掌握正弦定理的内容及其证明方法 2 能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 下列说法中 正确的有 1 在直角三角形中 若C为直角 则sinA 2 在 ABC中 若a b 则A B 3 在 ABC中 C A B 4 利用AAS SSA都可以证明三角形全等 5 在 ABC中 若sinB 则B 解析根据三角函数的定义 1 正确 在三角形中 大边对大角 大角对大边 2 正确 三角形的内角和为 3 正确 AAS可以证明三角形全等 SSA不能证明 4 不正确 若sinB 则B 或 5 不正确 故 1 2 3 正确 答案 1 2 3 预习导引 1 在Rt ABC中的有关定理在Rt ABC中 C 90 则有 1 A B 0 A 90 0 B 90 2 a2 b2 c2 勾股定理 3 c c c 90 2 正弦定理在一个三角形中 各边的长和它所对角的正弦的比相等 即 这个比值是其外接圆的 3 解三角形一般地 我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形 直径2R 元素 要点一正弦定理的推导与证明例1在锐角 ABC中 证明 证明如图 在锐角 ABC中 过点C作CD AB于点D 有 sinA sinB CD bsinA asinB 同理 成立 规律方法从正弦定理可以推出它的常用变形有 1 2 3 asinB bsinA asinC csinA bsinC csinB 4 a b c sinA sinB sinC 跟踪演练1在钝角 ABC中 如何证明仍然成立 证明如图 过点C作CD AB 交AB的延长线于点D 则 sinA 即CD bsinA sin 180 B sinB 即CD asinB 因此bsinA asinB 即 同理可证 因此 要点二已知两角及一边解三角形例2已知 ABC 根据下列条件 解三角形 1 a 20 A 30 C 45 解 A 30 C 45 B 180 A C 105 由正弦定理得b40sin 45 60 10 B 105 b 10 c 20 解A 180 B C 180 60 75 45 由正弦定理 2 a 8 B 60 C 75 A 45 b 4 c 4 1 规律方法已知三角形的两角和任一边解三角形 基本思路是 1 若所给边是已知角的对边时 可由正弦定理求另一角所对边 再由三角形内角和定理求出第三个角 2 若所给边不是已知角的对边时 先由三角形内角和定理求出第三个角 再由正弦定理求另外两边 跟踪演练2在 ABC中 a 5 B 45 C 105 求边c 解由三角形内角和定理知A B C 180 所以A 180 B C 180 45 105 30 要点三已知两边及一边的对角解三角形例3在 ABC中 分别根据下列条件解三角形 1 a 1 b A 30 解根据正弦定理 sinB b a B A 30 B 60 或120 当B 60 时 C 180 A B 180 30 60 90 当B 120 时 C 180 A B 180 30 120 30 A c a 1 因为sinA 1 所以A不存在 即无解 2 a b 1 B 120 规律方法已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 1 首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值 2 如果已知的角为大边所对的角时 由三角形中大边对大角 大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角 由正弦值可求锐角唯一 3 如果已知的角为小边所对的角时 则不能判断另一边所对的角为锐角 这时由正弦值可求两个角 要分类讨论 跟踪演练3已知 ABC 根据下列条件 解三角形 1 a 2 c C c a C A A 2 a 2 c A 1 在 ABC中 若sinA sinB 则角A与角B的大小关系为 A A BB AsinB 2RsinA 2RsinB R为 ABC外接圆的半径 a b A B A 1 2 3 4 5 2 在 ABC中 一定成立的等式是 A asinA bsinBB acosA bcosBC asinB bsinAD acosB bsinA解析由正弦定理 得asinB bsinA 故选C C 1 2 3 4 5 3 在 ABC中 已知A 150 a 3 则其外接圆的半径R的值为 A 3B C 2D 不确定解析在 ABC中 由正弦定理得 6 2R R 3 A 1 2 3 4 5 4 在 ABC中 sinA sinC 则 ABC是 A 直角三角形B 等腰三角形C 锐角三角形D 钝角三角形解析由sinA sinC知a c ABC为等腰三角形 B 1 2 3 4 5 5 在 ABC中 已知a sinC 2sinA 则c 解析由正弦定理 得c 2a 1 2 3 4 5 课堂小结1 正弦定理的表示形式 2R 或a ksinA b ksinB c ksinC k 0 2 正弦定理的应用范围 1 已知