重庆市南开中学2019届高三数学第三次教学质量检测考试试题文（含解析）.docx

重庆南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数 学（文科）2019.4第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先计算集合N，然后对集合M和集合N取交集即可.【详解】，则集合 ，故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与的非负半轴重合，终边过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角函数定义得到cos,然后由诱导公式即可得到答案.【详解】角的终边过点，则，则，故选：A【点睛】本题考查三角函数定义和诱导公式的应用，属于基础题.3.已知直线与圆相交于，两点，则（ ）A. 2B. 4C. D. 与的取值有关【答案】B【解析】【分析】由圆的方程可得圆心为（0，-1）,半径r=2，直线恰好过圆心，可得|AB|=2r.【详解】由圆，得圆心（0，-1），半径r2，又直线恒过圆心（0，-1），则弦长|AB|=2r=4，故选：B【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，考查直线过定点问题和弦长问题，属于简单题.4.某景区在开放时间内，每个整点时会有一辆观光车从景区入口发车，某人上午到达该景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于15分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据几何概型的概率公式计算对应的时间比即可【详解】观光车发车时段为60分钟，某人等待时段为0x15，则等待时间不多于15分钟的概率为P故选：C【点睛】本题考查几何概型的概率计算问题，是基础题5.已知向量，非零向量和共线，且满足，则（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】由题设，写出的坐标，利用向量模的公式进行计算即可.【详解】，可设，化为，解得=4或2.(4,8)或(2,4).故选：D【点睛】本题考查平面向量共线定理和向量的模的应用，属于基础题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,所以该几何体的体积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程求解m即可【详解】若双曲线焦点在y轴上，则，则，无解，故双曲线的焦点在x轴上，且即-2m4,双曲线的渐近线斜率,解得m,满足-2m4故选：A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的应用，当双曲线焦点在x轴上时，渐近线方程为；当双曲线焦点在y轴上时，渐近线方程为.8.已知，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断函数f（x）为奇函数且在R上单调递增，则 可转为2x+1x-4，即得答案.【详解】由得,所以函数f(x)为奇函数且在R上单调递增，则不等式f（2x+1）f（x-4），即2x+10,a0进行讨论求出函数最大值，由题可得f（x）maxg（x）max，解不等式即可得到所求范围【详解】，当时，令t=可得,对称轴为，故最大值为，即f(x)得最大值为，当时，令u=sinx0,则,当a=0时，y=2,当a0时，开口向上，0距对称轴远，故当u=0时取到最大值为2-a,所以 ，由题意可得f（x）maxg（x）max，即当a0时，解得，故a0时，解得，综上可得，故选：D【点睛】本题考查函数恒成立和有解问题的解法，考查利用换元法转为二次函数求最值问题，属于中档题第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知为虚数单位，且复数满足，则_【答案】【解析】【分析】将已知式子进行整理，利用复数除法运算进行计算可得答案.详解】由整理得，故答案为：【点睛】本题考查复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，属于简单题.14.设，满足约束条件，则的最小值是_【答案】4【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由，满足约束条件画出可行域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线在y轴的截距最小，此时z最小由，解得，即A（1，2），代入目标函数得z=21+2=4即目标函数的最小值为4故答案为：4【点睛】本题考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题15.设数列满足，.则_【答案】【解析】【分析】由数列的递推关系式求出数列的前几项，可得数列的周期为4，由周期进行计算可得答案.【详解】数列满足，当n=1时，解得，当n=2时，解得，当n=3时，解得，当n=4时，解得， 可得数列的最小正周期为4，则，故答案为：【点睛】本题考查由递推数列求数列每一项的值，考查周期数列的判断，属于基础题.16.已知是抛物线的焦点，在抛物线上，且的重心坐标为，则_【答案】【解析】【分析】设出A,B,F点的坐标，由重心坐标公式得到，利用抛物线的定义得到，再利用弦长公式得到|AB|,进行整理即可得答案.【详解】设点A,B,焦点F(1,0),的重心坐标为,由重心坐标公式可得,，即， ，由抛物线的定义可得,由点在抛物线上可得，作差，化简得，代入弦长公式得|AB|=，则，故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的定义和弦长公式以及三角形重心坐标公式的应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，所对的边分别是，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【详解】解：（1）由正弦定理得：，又，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i）以每天打包量为自变量，写出乙公司打包工的收入函数；（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i）；（ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i）乙公司打包工的收入函数；（ii）由，解得，再求小李一天收入不低于324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，再求，比较它们的大小即得解.【详解】解：（1）（i）当时，y=1.2x当时，y=1.2240+(x-240)1.8=1.8x-144所以，（ii）由，解得，小李一天收入不低于324元的概率为.（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，用频率估计概率，则打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为日打包量210230250270290甲公司日收入274294314334354乙公司日收入252276306342378故 ， .因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.如图所示，正三棱柱中，是中点，在上，.（1）求证：平面；（2）若到面距离为，求到平面的距离.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用已知条件证明，由线面垂直的判定定理可得到证明；（2）由点到面距离可得，利用等体积转化可得结果.【详解】（1）由题可设，在中，在中，.在等边中，为中点，.又平面平面，且为两平面交线，平面平面，平面又由可得：平面.（2）由（1）知平面，平面，到平面的距离为，.在中，.在中，.设到平面的距离为，由可得：.【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用，考查利用等体积思想求点到面的距离，考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.20.已知椭圆：的焦距与短轴长相等，椭圆上一点到两焦点距离之差的最大值为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，过原点作的垂线交的延长线于点，求的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题得b=c, 点到两焦点距离之差,利用焦半径范围得最大值，确定c值，即可得到椭圆方程；（2）设，的斜率分别为，由已知得，设直线，BM的方程，整理可得点M的轨迹方程.【详解】（1）由椭圆：的焦距与短轴长相等得，设为椭圆上任一点，左右焦点分别为，.最大值为，即，椭圆方程为；（2）设，的斜率分别为，设点坐标为，由，直线的方程为直线的方程为两式相除可得，观察可知，点不可能与点重合，则的轨迹方程为.【点睛】本题考查利用焦半径范围求最值，考查椭圆标准方程和轨迹方程的求法，考查分析能力和计算能力，属于中档题。21.已知函数.（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，证明.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求函数导数，根据函数调性得到恒成立，即可求a的范围；（2）根据函数有两个极值点得到的等量关系，将转为关于的函数，求导判单调性即可得到证明.【详解】解析：（1）在定义域内单调递增，即恒成立，恒成立，.（2），函数有两个极值点，则方程在定义域内有两不等实根，即，观察可知，代入，可得 ，令，.，在单调递减，则.则原式成立.【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，综合性较强请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，故.的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.，.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的