度高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 第二课时 函数奇偶性的应用（习题课）课件 新人教A版必修1.ppt

第二课时函数奇偶性的应用 习题课 课标要求 1 会根据函数奇偶性求函数值或解析式 2 能利用函数的奇偶性与单调性分析 解决较简单的问题 自主学习 新知建构 自我整合 自我检测 1 奇偶性判断 若函数f x 则f x 为 a 偶函数 b 奇函数 c 既是奇函数又是偶函数 d 既不是奇函数又不是偶函数2 奇偶性与单调性 已知偶函数在 0 上单调递增 则 a f 1 f 2 b f 1 f 2 c f 1 f 2 d 以上都有可能 a b 3 由奇偶性求值 已知函数f x 是奇函数 且当x 0时 f x x2 则f 1 等于 a 2 b 0 c 1 d 24 最值 如果奇函数f x 在区间 3 7 上是增函数且最小值是5 则f x 在 7 3 上是 a 增函数 最小值为 5 b 增函数 最大值是 5 c 减函数 最小值为 5 d 减函数 最大值是 5 a b 题型一 利用奇偶性求函数值 课堂探究 典例剖析 举一反三 例1 2017 江西自主招生 设f x 为定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x 2x b b为常数 则f 1 等于 a 3 b 1 c 1 d 3 解析 因为f x 为定义在r上的奇函数 所以f 0 20 2 0 b 0 解得b 1 所以当x 0时 f x 2x 2x 1 又因为f x 为定义在r上的奇函数 所以f 1 f 1 2 2 1 1 3 故选d 误区警示本题中当x 0时 函数解析式含参数b 因此需利用奇函数在原点处有定义 则f 0 0的性质 求出b的值 然后根据奇函数性质求f 1 的值 答案 2 备用例1 已知f x g x 分别是定义在r上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 x2 1 则f 1 g 1 解析 因为f x g x x3 x2 1 所以f 1 g 1 1 1 1 1 又因为f x g x 分别是定义在r上的偶函数和奇函数 所以f 1 f 1 g 1 g 1 所以f 1 g 1 f 1 g 1 所以f 1 g 1 1 答案 1 题型二 利用奇偶性求函数f x 的解析式 例2 1 已知f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 3 求f x 的解析式 2 已知f x 是定义在r上的偶函数 当x 0时 f x x3 x 1 求f x 的解析式 方法技巧利用函数奇偶性求解析式时的注意事项 1 求哪个区间上的解析式 就在哪个区间上取x 2 然后要利用已知区间的解析式写出f x 3 利用f x 的奇偶性把f x 写成 f x 或f x 从而解出f x 4 要注意r上的奇函数定有f 0 0 若是求整个定义域内的解析式 各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式 此点易忽略 即时训练2 1 f x 是定义在 上的偶函数 且x 0时 f x x3 x2 则当x 0时 f x 解析 当x0 f x x 3 x 2 x3 x2 因为f x f x 所以f x x3 x2 答案 x3 x2 题型三 函数的奇偶性与单调性的综合 1 求函数f x 的解析式 2 解不等式f t 1 f 2t 0 变式探究1 若本例将定义域 1 1 改为r 其他条件不变 则不等式f t 1 f 2t 0的解集是什么 变式探究2 本例中函数的值域是什么 方法技巧利用单调性和奇偶性解不等式的方法 1 充分利用已知的条件 结合函数的奇偶性 把已知不等式转化为f x1 f x2 或f x1 f x2 的形式 再利用单调性脱掉 f 求解 2 在对称区间上根据奇函数的单调性一致 偶函数的单调性相反 列出不等式或不等式组 求解即可 同时要注意函数自身定义域对参数的影响 即时训练3 1 已知y f x 是定义在 上的奇函数 且在 0 上为增函数 1 求证 函数在 0 上也是增函数 1 证明 设x1 x2是 0 上任意两个不相等的实数 且x1 x2 x x2 x1 0 y f x2 f x1 因为f x 是奇函数 且在 0 上是增函数 x1 x2 所以f x1 f x2 又因为f x 为奇函数 所以f x1 f x1 f x2 f x2 所以 f x1 f x2 即f x1 0 所以函数f x 在 0 上也是增函数 题型四 抽象函数的奇偶性 例4 已知函数f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且f 1 1 若x y 1 1 x y 0有 x y f x f y 0 1 判断f x 的单调性 并加以证明 解 1 函数f x 在 1 1 上单调递增 证明如下 由题意 设x1 x2 1 1 且x10 令x x1 y x2 所以f x1 f x2 0 因为函数f x 是定义在 1 1 上的奇函数 所以f x1 f x2 0 所以函数f x 在 1 1 上单调递增 2 解不等式f x f 1 2x 3 若f x m2 2am 1对所有x 1 1 a 1 1 恒成立 求实数m的取值范围 即时训练4 1 已知f x 是定义在r上不恒为零的函数 且对于任意的a b r都满足f ab af b bf a 1 求f 0 f 1 的值 2 判断f x 的奇偶性 并证明你的结论 解 1 令a b 0 则f 0 0 0 f 0 0 f 0 0 所以f 0 0 令a b 1 则f