《二项式定理的简单应用》进阶练习（二）.doc

二项式定理的简单应用进阶练习一、选择题1.若的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A.1B.2C.3D.42.（x2+2）（）5的展开式的常数项是（）A.-3B.-2C.2D.33.已知（1+2x）n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是（）A.56B.160C.80D.180二、填空题4.已知nN*，若，则n= _ 三、解答题(5.已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+an(x-1)n，(其中nN*) (1)求a0及Sn=a1+a2+a3+an； (2)试比较Sn与(n-2)2n+2n2的大小，并说明理由参考答案1.B2.D3.B4.45.解：(1)取x=1，则a0=2n； 取x=2，则a0+a1+a2+a3+an=3n， Sn=a1+a2+a3+an=3n-2n； (2)要比较Sn与(n-2)2n+2n2的大小， 即比较：3n与(n-1)2n+2n2的大小， 当n=1时，3n(n-1)2n+2n2； 当n=2，3时，3n(n-1)2n+2n2； 当n=4，5时，3n(n-1)2n+2n2；( 猜想：当n4时，3n(n-1)2n+2n2， 下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，n=4时结论成立， 假设当n=k，(k4)时结论成立，即3k(k-1)2k+2k2， 两边同乘以3得：3k+13(k-1)2k+2k2=k2k+1+2(k+1)2+(k-3)2k+4k2-4k-2 而(k-3)2k+4k2-4k-2=(k-3)2k+4(k2-k-2)+6=(k-3)2k+4(k-2)(k+1)+60 3k+1(k+1)-1)2k+1+2(k+1)2 即n=k+1时结论也成立， 当n4时，3n(n-1)2n+2n2成立 综上得， 当n=1时，Sn(n-2)2n+2n2； 当n=2，3时，Sn(n-2)2n+2n2； 当n4，nN*时，Sn(n-2)2n+2n21.解：的展开式的通项公式为 Tr+1=， 由于x3项的系数为20，则12-3r=3， 解得，r=3， 即有=20，即有ab=1， 则a2+b22ab=2， 当且仅当a=b，取得最小值2 故选B 运用二项式展开式的通项公式，化简整理，再由条件得到方程，求出r=3，进而得到ab=1，再由重要不等式a2+b22ab，即可得到最小值 本题考查二项式定理和通项公式的运用，考查重要不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题 2.解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=5； 第一个因式取2，第二个因式取（-1）5，可得2（-1）5=-2 （x2+2）（）5的展开式的常数项是5+（-2）=3 故选D （x2+2）（）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取（-1）5，故可得结论 本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径 3.解：令x=1可得，其展开式中所有项的系数之和为3n， 根据题意，有3n=729，解可得，n=6， 则其二项展开式的通项为Tr+1=C6r（2x）r， 当r=3时，T4=C63（2x）3=160x3， 故选B 令x=1可得，其展开式中所有项的系数之和为3n，根据题意，有3n=729，解可得n的值，进而可得其二项展开式的通项，分析可得，将r=3代入通项可得答案 本题考查二项式系数的性质，要牢记展开式中中各项的系数和与二项系数和的不同意义与各自的求法 4.解：nN*，若， 则2+22+23+2n-1+2n=402， 即（1+2）n-1=80，n=4， 故答案为：4 由题意可得2+22+23+2n-1+2n=402，即（1+2）n-1=80，由此求得n的值 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公