2018北师大版八年级上册期末复习.doc

八年级数学上册知识点第一章 勾股定理1、勾股定理(1)直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即（2） 勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄 图、总统证法（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形2、勾股定理的逆定理（证明这个三角形是直角三角形）如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。例题：1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？为什么 （9，12，15） （4，3，6） 9+12=225 42+32=2515=225 62=36 所以9+12=15 所以42+3262所以可作为直角三角形的三条边长 所以不可作为直角三角形的三条边长3、勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12,13）（9,12,15）4、构成三角形的条件（1）两边之和大于第三边，（2）两边之差小于第三边。5、解立体图形上两点之间的最短距离问题（1）将立体图形展成平面图形（2）根据“两点之间线段最短”确定最短路线（3）最后以上面的最短路线为边构造直角三角形，利用勾股定理解决圆柱表面蚂蚁吃面包： 勾股定理：圆柱高的平方+地面周长一半的平方=最短距离的平方6、直角三角形斜边上的高=两直角边乘积/斜边7、折叠问题的常用方法：折叠前后的图形全等。然后一边是x另一边是关于x的代数式1、如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20、3、2，A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？2、如图，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为6，分别是两底面的直径，是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是多少？3、轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B，求AB两地间的距离.4、一棵9m高的树被风折断，树顶落在离树根3m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？5、折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. 6、如图，正方形网格中的ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识(1)求ABC的面积(1)判断ABC是什么形状? 并说明理由. 7、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，则四边形ABCD的面积为是多少？第二章 实数一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数（包可除尽的分数）和无限循环小数实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等；（3）有特定结构的数，无限但不循环，如0.1010010001等；3、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一、一对应的。二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 如果a=b ，那么a与b互为相反数，则有a+b=0。 0的相反数是02、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|0）。若a0， 则 |a|=a； 若a0，则|a|=-a。 0的绝对值为03、倒数 如果a与b互为倒数， 则有ab=1。倒数等于本身的数是1和-1， 0没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。（只有正数才有算术平方根，负数没有，算术平方根的值是正数，不可能等于负数）特别0的算术平方根为0表示方法：记作“”，读作根号a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个。2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。性质：一个正数有两个平方根，一正，一负，它们互为相反数；只有正数有平方根，负数没有平方根。0的平方根是0；开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数。例题：1.求下列各数的平方根 169 121 注意两例题的不同（例1值等于+、-；例2值只等于+） 注意的双重非负性： 0例题：1.X满足什么条件 x-2才有意义？因为的双重非负性，所以x-20，X-20，所以X22. +=0，求a,b的值。 因为的双重非负性，所以0 因为0，题中两式相加等于0，所以只能是0+00 所以b+3=0 b=-3 ； a-5=0 a=53、立方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。求一个数a的立方根的运算叫做开立方,a叫做被开方数表示方法：记作性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（判断实数哪个大哪个小的方法有）（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平方法：设a、b是两负实数，则。五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数，也就是大于等于02、性质：（1） （2） （3） （）（4） （）3、运算结果若含有“”形式，必须是最简二次根式，也就是须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 七、完全平方公式：（a+b）=a+2ab+b 或者（a-b）=a-2ab+b平方差公式: a -b =(a +b)(a -b)相互转化： a +b （a+b）-2ab （a-b）+2ab例题：a -6a+9= a -6a+3=（a-3） 把9看成31、36的平方根是 ； 的算术平方根是 ；2、8的立方根是 ； ；3、化简:（1）; （2） （3）; （4）; （5） (6)(7).4、实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示化简5、若0，则m_，n_。 第三章 位置的确定一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。3、点的坐标的概念在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。4、不同位置的点的坐标的特征 （1）、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限（1，2）点P(x,y)在第二象限（-1，2）点P(x,y)在第三象限（-1，-2）点P(x,y)在第四象限（1，-2）（2）、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点（3）、平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。（4）、平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P（x，-y）点P与点p关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P（-x，y）点P与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P（-x，-y）(6)、点到坐标轴及原点的距离1）点P(x,y)到x轴的距离等于2）点P(x,y)到y轴的距离等于3）点P(x,y)到原点的距离等于三、坐标变化与图形变化的规律：坐标（ x ， y ）的变化 图形的变化 x （ -1）或 y （ -1） 关于 y 轴或 x 轴对称 x （ -1）， y （ -1） 关于原点成中心对称 x +a或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位 x +a， y+ a 沿 x 轴平移 a个单位，再沿 y 轴平移 a个单1、长方形的两条边长分别为4、6，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点坐标为（2，3），并写出其它三点的坐标。2、对于边长为6的等边三角形ABC建立适当的直角坐标系，并写出点A、B、C的坐标；ABC1234567-1-2-31O2 xy3、ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)求出的面积（2）作出ABC关于轴对称的A1B1C1，并写出A1B1C1各顶点的坐标；（3）将ABC向右平移6个单位，作出平移后的A2B2C2，并写出A2B2C2各顶点的坐标；（4）观察A1B1C1和A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴。第四章 一次函数一、函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x与y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。常量：有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。三、函数的三种表示法及其优缺点（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念若两个变量x，y间的对应关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数中的b=0时（即y=kx）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是一条经过原点（0，0）的直线，因此只要再确定一个点，过这点与原点（0，0）画直线就可以了。4、正比例函数的性质一般地，正比例函数有下列性质：（1）当k0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k0时，y随x的增大而增大（2）当k0b0 y 0 x图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b0 y 0 x图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。K0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b0 y 0 x 图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。1、如图，表示某产品一天的销售收入与销售量的关系；表示该产品一天的销售成本与销售量的关系。则销售收入y1与销售量之间的函数关系式 ，销售成本y2与销售量之间的函数关系式 ，当一天的销售量超过 时，生产该产品才能获利。（提示:利润=收入-成本）来&源:中2、若直线y=kxb平行直线y=3x4，且过点（1，-2），则k= .一. 解答题（40分）3、一次函数y=kxb的图象过点（2，3）和（1，3）.求k与b的值;判定（1，1）是否在此直线上？4、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1. 相交于点CxyABCO(1) 求两直线与y轴交点A，B的坐标;(2) 求两直线交点C的坐标;(3) 求ABC的面积.摩托车自行车 0 y（千米） x（时） 10 1 805、如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象（分别为正比例函数和一次函数）。两地间的距离是80千米，请你根据图象回答或解决下面的问题。谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？（3） 早到多长时间？（4） 请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数关系式。6.某市出租车5内起步价为8元，以后每增加1加价1元，请写出乘坐出租车路程x与收费y元的函数关系，并画出图象.小明乘了10付多少钱？如果小亮付了15元钱乘了几千米？第五章、二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。4二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）一次函数与二元一次方程的关系：直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx- y+b=0的解（2）一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组 的解可看作两个一次函数 和 的图象的交点。当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。7、个位数字为x十位数字为y的两位数为10y+x 较大的两位数为x较小的两位数y，将较大的写在左边的四位数是100x+y1、甲、乙两人同时解方程组由于甲看错了方程中的，得到的解是，乙看错了方程中的，得到的解是，试求正确的值。2、 有两个比50大的两位数，它们的差是10，大数的10倍与小数的5倍的和的二十分之一是11的倍数，且也是一个两位数，求原来的两位数？3、某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为120元/件，售件为130元/件，乙种商品的进价为100元/件，售件为150元/件。（1）若商场用36000元购进这两种商品，销售完后可获得利润6000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若商场要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品件，销售后获得的利润为元，试写出利润（元）与（件）函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；并指出购进甲种商品件数逐渐增加时，利润是增加还是减少？4、某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A，B两种长方体形状的无盖纸盒现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问能做成多少个A型盒子？多少个B型盒子？（1）根据题意，甲和乙两同学分别列出的方程组如下：甲：； 乙：，根据两位同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义：甲：x表示 ，y表示 ；乙：x表示 ，y表示 ；（2）求出做成的A型盒子和B型盒子分别有多少个（写出完整的解答过程）？第六章 数据的分析1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数 2、平均数（1）平均数： = （2）加权平均数：= 3、众数一组数据中出现次数最多的那个数据叫众数。注意：（1）众数可能不止一个（2）众数是出现次数最多的那个数据而不是次数4、中位数（1）先排列（2）中间一个数据或最中间两个数据的平均数注意：奇数个数的中位数，可以把数字加1，再除以2.这个位置就是中位数。如101个数字，是101+1为102除以2.第51位的数字，就是偶数个，直接除以2的那位，和它后一位数字的平均数。如100个数字，就是100除以2为50，和51位上数字的平均数5、中位数，众数，平均数如数据有单位那么要加单位。6、刻画数据离散程度的量：极差，方差，标准差。他们越小数据越稳定。7、极差：一组数据最大值-最小值8、方差：各个数据与平均数的差的平方的平均数在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即 步骤：（1）求这组数据的平均数 （2）个数与平均数的差（3） 差的平方 （4）再求平均数当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，那么，【方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。】9、标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 1、某超市招聘收银员一名，对三名申请人进行了三项素质测试下面是三名候选人的素质测试成绩：素质测试测试成绩小赵小钱小孙计 算 机709065商品知识507555语 言803