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数学软件选讲 MathematicaMatlabSAS 第一篇Mathematica 基础知识作为一门新的编程语言图形处理 二维 三维及其参数方程的形式 极限 微分与积分求解方程 组 微分方程 组 在线形代数方面的应用数值处理文件及其它高级操作 第一章基础知识 一 Mathematica3 0界面及运行介绍二 基本数值运算1 整数运算 加 减 乘 除 幂 阶乘2 数学常量 E Pi I Degree Infinity3 函数及数学函数4 浮点数及复数运算 N函数 三 变量及表达式1 变量的定义及清除 变量的特点 1 变量的默认作用域是全局的 2 全局变量不需事先定义或声明 3 尽量避免使用下划线定义变量2 多项式及其操作 1 定义 替换符操作 2 常用操作 Expand Factor Together PartSimplify Collect Coefficient Exponent四 序列及其操作1 序列的定义2 序列的生成 Table函数3 序列的操作 1 添加删除 Append Prepend Insert Delete DeleteCases 2 取元素 Part Take Drop Select 3 检测 Length Count Position五 表达式 头 的概念 Head及Apply函数 六 自定义函数1 一元函数例 Clear f x f x x 2 4x 22 多元函数例 f x y x 2 y 2 33 迭代函数例 f n f n 1 f n 2 f 0 1 f 1 1 1 条件语句 逻辑判断符 第二章编程语言 逻辑运算符 test仅当test为True时才执行赋值语句 If语句语法 If test then else 若test为True 则执行then 若test为False 则执行else Which语句语法 Which test1 value1 test2 依次计算testi 给出对应第一个test为True的value Switch expr form1 value1 form2 比较expr与formi 给出与第一个form值匹配的value 例1 定义如下的函数 使用 定义 f x 0 x0 x 2 使用If定义 f x If x2 x 2 x 使用Which定义 f x Which x2 x 2 True x 2 输出语句Print 3 循环语句 Do语句语法 Do expr i imin imax di 计算expr i imin imax 步长为di While语句语法 While test body 当test为True时 计算body For语句语法 For start test incr body 以start为起始值 重复计算body和incr 直到test为False时为止 循环控制语句Break和ContinueBreak 退出最里面的循环Continue 转入当前循环的下一步 基本二维图形 Plot f x xmin xmax 用于绘制形如y f x 的函数的图形 当将多个图形绘制在同一坐标系上时 形如 Plot f1 fn x xmin xmax 注意 有时需要使用Evaluate函数 第三章图形处理 例 在同一坐标系下绘出sinx sin2x sin3x sin4x sin5x的图形 常用的选项 PlotStyle Hue a 设置线条颜色PlotRange a b 控制显示范围DisplayFunction控制图形显示AspectRatio图形的宽 高比AxesOrigin设置原点坐标 程序 Clear a y x v 200 g 9 8 y a x Tan a x g x 2 Sec a 2 2v 2 Plot Evaluate Table y i x i Pi 12 5Pi 12 Pi 12 x 0 4000 例 有如下的抛物线簇 ListPlot List 用于绘制散点图 注意 List的形式应为 例 在同一坐标系下绘制下列两组散点图p1 0 0 0 45 5 3 89 6 22 6 131 2 p2 0 0 2 68 44 8 12 57 88 28 27 130 3 程序 g1 ListPlot p1 PlotJoined True DisplayFunction Identity g2 ListPlot p2 PlotJoined True DisplayFunction Identity Show g1 g2 DisplayFunction DisplayFunction ParametricPlot fx fy t tmin tmax 用于绘制形如 x fx t y fy t 的参数方程图形 例 绘制以点 3 4 为圆心 半径为2的圆 ParametricPlot 3 2Cos t 4 2Sin t t 0 2Pi 可增加如下选项 AspectRatio 1 AxesOrigin 0 0 2 其它二维图形 ContourPlot f x xmin xmax y ymin ymax 用于绘制形如z f x y 的函数的等高线图 DensityPlot f x xmin xmax y ymin ymax 用于绘制形如z f x y 的函数的密度图 例 绘制函数f sinx siny的等高线图和密度图 3 三维图形 Plot3D f x xmin xmax y ymin ymax 绘制形如Z f x y 的三维图形 例 绘制以下的函数图形 Z 10sin x siny 命令 Plot3D 10Sin x Sin y x 10 10 y 10 10 可增加选项 PlotPoints 40 ParametricPlot3D fx fy fz t tmin tmax u umin umax 用于绘制形如 x fx t y fy t z fz t 的参数图形 4 利用函数包绘制特殊图形载入图形函数包的方法 类名 包名 例 Graphics Graphics PolarPlot r t tmin tmax 绘制极坐标图形LogPlot f x xmin xmax 画对数线性图BarChart list 画出list的条形图PieChart list 画出list的百分图 例 Graphics ImplicitPlot ImplicitPlot eqn x xmin xmax 绘制形如f x y 0的隐函数图形例 绘制以点 3 4 为圆心 半径为2的圆 ImplicitPlot x 3 2 y 4 2 2 x 0 5 第二章幂级数 极限 微分与积分 1 幂级数展开Series expr x xo n 求在点x xo处至多n次的幂级数展开例 求ex在点x 0处x4级幂级数展开注 使用Normal函数可以去掉级数中的极小项 从而转变成一般表达式 2 极限Limit expr x xo 求x逼近xo时expr的极限 某些函数在一点处的极限随逼近方向不同而不同 可用Direction选择方向 Limit expr x xo Direction 1 左极限Limit expr x xo Direction 1 右极限例 求1 x的左右极限 例 3 微分D f x n 求f的n阶偏微分Dt f 求f的全微分例 D x n x 3 Dt x 2 y 2 例 y xarctgx 求其100阶导数及其在0点的值 4 积分Integrate f x 求f的不定积分Integrate f x xmin xmax 求f的定积分Integrate f x xmin xmax y ymin ymax 求f的多重积分例 第三章线性代数 1 构造矩阵和向量Table f i m j n 构造m n矩阵 f是i j的函数 给出 i j 项值Array f m n 构造m n矩阵 i j 项的值是f i j DiagonalMatrix List 生成对角线元素为List的对角矩阵IdentityMatrix n 构造n阶单位阵 截取矩阵块M i 取矩阵M的第i行Map i M 取矩阵M的第i列M i j 取矩阵M的i j位置的元素M i1 ir j1 js 矩阵M的r s子矩阵 元素行标为ik 列标为jkM Range i0 i1 Range j0 j1 矩阵M的从i0到i1行 j0到j1列元素组成的子矩阵 3 矩阵及向量的运算M N对M N做矩阵乘法 向量内积 M N将M N的对应位置元素相乘Outer Times M N 求M N的外积Dimensions M 给出矩阵M的维数Transpose M 转置Inverse M 求逆Det M 方阵M的行列式值 MatrixPower M n n阶矩阵幂MatrixExp M 矩阵指数Eigenvalues M M的特征值Eigenvectors M M的特征向量 第四章求解方程 组 微分方程 组 1 求解多项式方程 组 Solve eqns vars 求解多项式方程Solve eqn1 eqnn var1 varn 求解多项式方程组注 Solve只能给出多项式方程 组 的解 因此它们只适用于幂次不高 规模不大的多项式方程 组 NSolve eqns vars 求多项式方程的数值解NSolve eqn1 eqnn var1 varn 求多项式方程组的数值解对于数值解 可以直接用NSolve求解例 求解以下方程 组 x2 ax 2x3 34x 1 0 x5 1331x 11 0 2 求解微分方程 组 DSolve eqns y x x 求解y x 的微分方程DSolve eqns y x 以纯函数的形式给出y的解DSolve eqn1 eqn2 y1 y2 x 求解微分方程组例 求解以下微分方程 组 y yy ky 1 第五章数值处理 1 数值积分NIntegrate expr x xmin xmax 注意 NIntegrate直接计算数值积分 不先给出符号结果 而Integrate N会尽可能的先求精确解的形式 数值根求解FindRoot lhs rhs x x0 以x0为初始点求方程的数值解 FindRoot lhs rhs x x0 x1 给出两个初值求数值根 方程的符号导数无法求出时 必须使用此形式 FindRoot eqn1 eqn2 x x0 y y0 对联立方程eqni求数值解例 求解下列方程 组 cosx xx600 5x 3 0 3 微分方程数值解NDSolve eqn1 eqn2 y x xmin xmax 求函数y的数值解 x的范围为 xmin xmax NDSolve eqn1 eqn2 y1 y2 x xmin xmax 求函数yi的数值解注 以上两种形式用于求解常微分方程 组 NDSolve以InterpolatingFunction目标生成函数yi的解 InterpolatingFunction目标提供独立变量x在xmin到xmax范围内yi的近似值 例 求解以下微分方程 组 并画出函数y的图形 NDSolve eqn1 eqn2 y x xmin xmax t tmin tmax 求由函数y构成的偏微分方程的数值解NDSolve eqn1 eqn2 y1 y2 x xmin xmax t tmin tmax 求由函数yi构成的偏微分方程组的数值解例 求下面微分方程的数值解并绘图 4 极大极小值ConstrainedMax f inequalities x y ConstrainedMax f inequalities x y 求由目标函数f和不等式约束inequalities构成的线形规划例 ConstrainedMax x y x 1 y 2 x y LinearProgramming c m b 求使cx在约束mx b和x 0下取最小值的矢量x FindMinimum f x x0 以x0为初始点 求函数的局部极小值注 FindMinimum的用法与FindRoot完全相同 5 曲线拟合Fit data funs vars 用变量为vars的函数funs拟合一组数据data 第二篇Matlab 第一章矩阵及其基本运算 一 矩阵的表示1 实数值矩阵生成2 复数矩阵生成3 符号矩阵的生成用sym函数或syms函数4 大矩阵的生成 m文件及函数的定义 5 特殊矩阵的生成全零阵 全1阵 单位阵 zeros eye ones随机矩阵 均匀分布 rand标准正态分布 randn线性等分向量 linspaceHilbert矩阵 hilb魔方矩阵 magic 二 矩阵操作1 取矩阵中的元素2 增加及删除矩阵中的元素3 矩阵的旋转与变形三 矩阵运算1 加减法运算2 乘法运算 矩阵乘法 数组乘法 数乘 向量内积 外积 叉乘 矩阵的卷积与解卷 张量积3 集合运算并 union返回a b的并集 即c a b交 intersect返回向量a b的公共部分 即c a b差 setdiff返回属于a但不属于b的不同元素的集合 C a b交集的非 setxor 检测集合中的元素 ismember4 除法运算左除 右除 x A b是方程Ax b的解x b A是方程xA b的解 5 矩阵乘方6 矩阵函数expmlogmsqrtm 7 方阵的行列式 det8 方阵的逆 inv9 矩阵的迹 trace10 矩阵的秩 rank11 矩阵和向量的范数norm欧几里德范数norm x inf 无穷范数12 其它运算 四 矩阵分解1 LU分解 L U lu X U为上三角阵 L为下三角阵或其变换形式 满足LU X2 QR分解 Q R qr A 求得正交矩阵Q和上三角阵R Q和R满足A QR3 特征值分解 V D eig A 计算A的特征值对角阵D和特征向量V 使AV VD成立五 其它二次型 秩与线性相关性 稀疏矩阵 第二章Matlab语言基础 一 M文件1 脚本文件 在Matlab的工作空间内对数据进行操作 2 函数文件 可接受输入参数并返回输出参数 其内的变量不占用Matlab工作空间 第一行包含function注 M文件的调用以文件名为准 为Matlab的注释符 其后的语句不执行 只对当前行有效 二 Matlab语言1 逻辑判断符 isequal函数2 逻辑运算符 3 条件语句 if else语句 switch case语句 4 循环语句 for语句 while语句三 编程技巧1 调试程序2 输入输出参数nargin nargout 第三章Matlab图形处理 一 二维图形1 基本二维图形Plot用法如下 a Plot X b Plot X Y c Plot X1 Y1 X2 Y2 d Plot X1 Y1 LineSpec1 X2 Y2 X3 Y3 其中参数LineSpec定义线条的属性 Matlab中可以对线条定义如下的特性 a 线型 实线 划线 点线 点划线 b 线条宽度 LineWidthc 颜色d 标记类型e 标记大小 Markersize fPlot在指定的范围limits内画出一元函数y f x 的图形用法 fplot function limits 注意 函数function必须是一个M文件函数或者是一个包含变量x 且能用函数eval计算的字符串 例 在同一坐标系下绘制tgx和的sinx图形fplot tan x sin x 1 1 0 2 pi 注意坐标系调整函数axis的作用和用法 2 图形标注title为图形添加标题xlabel为x轴加标注ylabel为y轴加标注text在指定位置上添加文本字符串gtext用鼠标在图形上放置文本legend为图形添加图例 3 特殊二维图形polar画极坐标形式函数r f 的极坐标图用法如下 polar theta rho LineSpec 例 t 0 01 2 pi polar t sin 3 t cos 2 t r 4 其它二维图形pie用x中的数据画一饼形图 semilogxx轴对数图形loglog双对数图形bar用二维垂直条形显示向量或矩阵中的值barh用二维水平条形显示向量或矩阵中的值hist二维条形直方图 可以显示出数据的分配情形 二 三维图形1 曲面与网格图形命令mesh生成由X Y和Z指定的网线面在使用该命令前应先用meshgrid函数生成可用于计算函数值的矩阵网格 通常用法如下 X Y meshgrid a Z f X Y mesh X Y Z 2 三维图形的其它形式contour曲面的等高线图pie3三维饼图surf在矩形区域内显示三维带阴影曲面图quiver矢量图或速度图surfnorm计算与显示三维曲面的法线 第四章Matlab应用 一 多项式运算二 极限limit F x a right x趋向于a时F的极限三 导数diff S v n 四 积分1 符号积分a 不定积分int S v b 定积分int S v a b 2 数值积分a 一元函数quad fun a b 自适应Simpson法trapz X Y 梯形法 b 二元函数dblquad fun xmin xmax ymin ymax 在矩形区域 xmin xmax ymin ymax 上计算二元函数z f x y 的二重积分quad2ggen fun xlower xupper ylower yupper 在任意区域 xlower xupper ylower yupper 上计算二元函数z f x y 的二重积分 五 插值a interp1 X Y xi method 一维数据插值b interp2 X Y Z xi yi method 二维数据插值例 已知1900年到2010年每隔十年的数据如下 75 99591 972105 711123 203131 669150 697179 323203 212226 505249 633256 344267 893用插值法求1995年的数据 六 方程 组 求解1 方程 组 的符号解solve eq 求方程的符号解solve eq1 eq2 eqn 求方程组的符号解例 solve x 2 3x 6 solve x 2 y 3 x 6 x y 2 1 2 方程 组 的数值解fzero fun x0 用数值方法求方程根 fsolve fun x0 用数值方法求方程根