同济第六版《高等数学》教案WORD版-第09章 重积分.doc

资料收集于网络 如有侵权请联系网站 删除 谢谢 第九章 重积分教学目的：1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：1、 利用极坐标计算二重积分；2、 利用球坐标计算三重积分；3、 物理应用中的引力问题。9. 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy面上的闭区域D, 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面, 它的顶是曲面z=f(x, y), 这里f(x, y)0且在D上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D分成n个小区域 Ds 1, Ds 2, , Ds n . 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体. 在每个Ds i中任取一点(x i , h i), 以f (x i , h i)为高而底为Ds i的平顶柱体的体积为 f (x i , h i) Dsi (i=1, 2, , n ). 这个平顶柱体体积之和 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 . 其中l是个小区域的直径中的最大值. 2. 平面薄片的质量. 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D, 它在点(x, y)处的面密度为r(x, y), 这里r(x, y)0且在D上连续. 现在要计算该薄片的质量M. 用一组曲线网把D分成n个小区域 Ds 1, Ds 2, , Ds n . 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量: r(x i , h i)Ds i . 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值: . 将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量 . 其中l是个小区域的直径中的最大值. 定义 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数. 将闭区域D任意分成n个小闭区域 Ds 1, Ds 2, , Ds n . 其中Ds i表示第i个小区域, 也表示它的面积. 在每个Ds i上任取一点(x i, hi), 作和 . 如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分, 记作, 即 .f(x, y)被积函数, f(x, y)ds被积表达式, ds面积元素, x, y积分变量, D积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素: 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D, 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域Dsi的边长为Dxi和Dyi, 则Dsi=DxiDyi, 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素ds 记作dxdy, 而把二重积分记作 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素. 二重积分的存在性: 当f(x, y)在闭区域D上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f(x, y)在D上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f(x, y)在闭区域D上连续, 所以f(x, y)在D上的二重积分都是存在的. 二重积分的几何意义: 如果f(x, y)0, 被积函数f(x, y)可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f(x, y)是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的. 二. 二重积分的性质 性质1 设c1、c2为常数, 则 . 性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D分为两个闭区域D1与D2, 则 . 性质3 (s为D的面积). 性质4 如果在D上, f(x, y)g(x, y), 则有不等式 . 特殊地有 . 性质5 设M、m分别是f(x, y)在闭区域D上的最大值和最小值, s为D的面积, 则有 . 性质6(二重积分的中值定理) 设函数f(x, y)在闭区域D上连续, s 为D的面积, 则在D上至少存在一点(x, h)使得 . 9. 2 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 X-型区域: D : j1(x)yj2(x), axb . Y -型区域: D : y1(x)yy2(x), cyd . 混合型区域: 设f(x, y)0, D=(x, y)| j1(x)yj2(x), axb. 此时二重积分在几何上表示以曲面z=f(x, y)为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积. 对于x0a, b, 曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间j1(x0), j2(x0)为底、以曲线z=f(x0, y)为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为 . 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为 . 即 V=. 可记为 . 类似地, 如果区域D为Y -型区域: D : y1(x)yy2(x), cyd , 则有 . 例1. 计算, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域. 解: 画出区域D. 方法一. 可把D看成是X-型区域: 1x2, 1yx . 于是. 注: 积分还可以写成. 解法2. 也可把D看成是Y-型区域: 1y2, yx2 . 于是. 例2. 计算, 其中D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域. 解 画出区域D, 可把D看成是X-型区域: -1x1, xy1. 于是 . 也可D看成是Y-型区域：-1y1, -1xy . 于是 . 例3 计算, 其中D是由直线y=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域. 解 积分区域可以表示为D=D1+D2, 其中; . 于是 . 积分区域也可以表示为D: -1y2, y2xy+2. 于是 . 讨论积分次序的选择. 例4 求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2+y2=r 2及x2+z2=r 2. 利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V1, 然后再乘以8就行了. 第一卦限部分是以D=(x, y)| 0y, 0xr为底, 以顶的曲顶柱体. 于是 . 二. 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分. 按二重积分的定义. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域, 小闭区域的面积为: , 其中表示相邻两圆弧的半径的平均值. 在Dsi内取点, 设其直角坐标为(x i, h i), 则有 , . 于是 , 即 . 若积分区域可表示为j 1(q)rj 2(q), aqb, 则 . 讨论:如何确定积分限? . . 例5. 计算, 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系中, 闭区域D可表示为 0ra , 0q 2p . 于是 . 注: 此处积分也常写成. 利用计算广义积分: 设D1=(x, y)|x2+y2R2, x0, y0, D2=(x, y)|x2+y22R2, x0, y0, S=(x, y)|0xR, 0yR. 显然D1SD2. 由于, 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 . 因为 , 又应用上面已得的结果有 , ,于是上面的不等式可写成. 令R+, 上式两端趋于同一极限, 从而. 例6 求球体x2+y2+z24a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积. 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. , 其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D可表示为 0r2a cosq , . 于是 . 9.3 三重积分一、三重积分的概念 定义 设f(x, y, z)是空间有界闭区域W上的有界函数. 将W任意分成n个小闭区域 Dv1, Dv2, , Dvn 其中Dvi表示第i个小闭区域, 也表示它的体积. 在每个Dvi上任取一点(xi, hi, zi), 作乘积f(x i, h i, z i)Dvi(i=1, 2, , n)并作和. 如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在闭区域W上的三重积分, 记作. 即 . 三重积分中的有关术语: 积分号, f(x, y, z)被积函数, f(x, y, z)dv被积表达式, dv体积元素, x, y, z积分变量, W积分区域. 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分W, 则Dvi=Dxi DyiDzi , 因此也把体积元素记为dv =dxdydz, 三重积分记作 . 当函数f (x, y, z)在闭区域W上连续时, 极限是存在的, 因此f(x, y, z)在W上的三重积分是存在的, 以后也总假定f(x, y, z)在闭区域W上是连续的. 三重积分的性质: 与二重积分类似. 比如 ; ; , 其中V为区域W的体积. 二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算: 三重积分也可化为三次积分来计算. 设空间闭区域W可表为 z1(x, y)zz2(x, y), y1(x)yy2(x), axb, 则 , 即 . 其中D : y1(x) y y2(x), axb. 它是闭区域W在xOy面上的投影区域. 提示: 设空间闭区域W可表为 z1(x, y)zz2(x, y), y1(x)yy2(x), axb, 计算. 基本思想: 对于平面区域D: y1(x)yy2(x), axb内任意一点(x, y), 将f(x, y, z)只看作z的函数, 在区间z1(x, y), z2(x, y)上对z积分, 得到一个二元函数F(x, y), , 然后计算F(x, y)在闭区域D上的二重积分, 这就完成了f(x, y, z)在空间闭区域W上的三重积分. , 则 . 即 . 其中D : y1(x) y y2(x), axb. 它是闭区域W在xOy面上的投影区域. 例1 计算三重积分, 其中W为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域. 解 作图, 区域W可表示为: 0z1-x-2y, , 0x1. 于是 . 讨论: 其它类型区域呢? 有时, 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分. 设空间闭区域W=(x, y, z)|(x, y)Dz, c1 zc2, 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域W所得到的一个平面闭区域, 则有 . 例2 计算三重积分, 其中W是由椭球面所围成的空间闭区域. 解 空间区域W可表为: , -c zc. 于是 . 练习 1. 将三重积分化为三次积分, 其中 (1)W是由曲面z=1-x2-y2, z=0所围成的闭区域. (2)W是双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所围成的闭区域. (3)其中W是由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域. 2. 将三重积分化为先进行二重积分再进行定积分的形式, 其中W由曲面z=1-x2-y2, z=0所围成的闭区域. 2. 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(r, q ), 则这样的三个数r、q 、z就叫做点M的柱面坐标, 这里规定r、q 、z的变化范围为: 0r+, 0q 2p , -z+. 坐标面r=r0, q =q 0, z=z0的意义: 点M 的直角坐标与柱面坐标的关系: x=rcosq, y=rsinq, z=z . 柱面坐标系中的体积元素: dv=rdrdqdz. 简单来说, dxdy=rdrdq , dxdydz=dxdydz=rdrdq dz. 柱面坐标系中的三重积分: . 例3 利用柱面坐标计算三重积分, 其中W是由曲面z=x2+y2与平面z=4所围成的闭区域. 解 闭区域W可表示为: r2z4, 0r2, 0q2p. 于是 . 3. 利用球面坐标计算三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点, 则点M也可用这样三个有次序的数r、j、q 来确定, 其中r为原点O与点M间的距离, j为与z轴正向所夹的角, q为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角, 这里P为点M在xOy面上的投影, 这样的三个数r、j 、q 叫做点M的球面坐标, 这里r、j、q 的变化范围为 0r+, 0jp, 0q 2p. 坐标面r=r0, j=j0, q=q0的意义: 点的直角坐标与球面坐标的关系: x=rsinjcosq, y=rsinjsinq, z=rcosj . 球面坐标系中的体积元素: dv=r2sinjdrdjdq . 球面坐标系中的三重积分: . 例4 求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积. 解 该立体所占区域W可表示为: 0r2acosj, 0ja, 0q2p. 于是所求立体的体积为 . 提示: 球面的方程为x2+y2+(z-a)2=a2, 即x2+y2+z2=2az. 在球面坐标下此球面的方程为r2=2arcosj, 即r=2acosj. 9. 4 重积分的应用 元素法的推广: 有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理. 这种元素法也可推广到二重积分的应用中. 如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说, 当闭区域D分成许多小闭区域时, 所求量U相应地分成许多部分量, 且U等于部分量之和), 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域ds时, 相应的部分量可近似地表示为f(x, y)ds 的形式, 其中(x, y)在ds内, 则称f(x, y)ds 为所求量U的元素, 记为dU, 以它为被积表达式, 在闭区域D上积分: , 这就是所求量的积分表达式. 一、曲面的面积 设曲面S由方程 z=f(x, y)给出, D为曲面S在xOy面上的投影区域, 函数f(x, y)在D上具有连续偏导数fx(x, y)和fy(x, y). 现求曲面的面积A . 在区域D内任取一点P(x, y), 并在区域