单的方差分析.ppt

上一节我们讨论了最简单的方差分析 单因素方差分析的原理与方法 在实际工作中 问题常常比较复杂 要求我们同时考虑两种甚至更多因素 以及这些因素共同作用的影响 多因素方差分析 进行多因素方差分析从理论上说并无任何困难 但随着因素数的增加 普通方差分析的复杂性迅速增加 这种复杂性不仅表现在分析计算的繁复 更表现在所需实验次数呈现出几何级数的增加上因此三或三因素以上方差分析较少用到 当确实需要考虑这样多因素时 我们常常转而采用一些特殊的方差分析方法 例如正交实验设计方法 多因素方差分析繁复 单因素方差分析相比 交互作用是多因素方差分析中新的概念之一 当一个因素的效应明显地依赖于其他因素的水平时 我们称这些因素间有交互效应 例如 由于人的体质不同 药物的疗效也可能会有不同 不同的地施用同样的肥料 增产效果也有不同 等等 模型类型及交互作用概念 A3 B1 A3 B1 a 无交互效应 b 有交互效应 图中每条曲线代表B因素的一个水平 若各曲线平行或近似平行 可认为无交互效应 否则为有交互效应 以上只是一种直观的判断 在多因素方差分析的过程中 我们对交互作用的有无也可进行统计检验 交互效应 多因素方差分析可分为固定模型 随机模型及混合模型三类 这几类模型的计算公式基本相同 但其数学模型 假设 统计量 结果的解释等方面均有相当大的差异 按因素类型进行分类 多因素方差分析可分为交叉分组和系统分组两大类 这两类计算公式也有些差别 下面我们以两因素方差分析为例 介绍它们试验设计方面的不同点 交叉分组 实验中 A因素的每个水平都会和B因素的每个水平相遇 因此A B的地位是完全对称的 这是最常见的实验设计方法 按实验设计分类 先按A因素的a个水平分为a组 在每一组内再按B的水平细分 一般A因素不同水平的组内B因素的水平可取不同值 例如研究PH值对酶活性的影响 不同的酶可能有不同的最适PH值 因此应对每种酶设置PH值偏高 合适 偏低三个水平 而不同的酶 因素A的不同水平 PH值 因素B 的水平可能是不相同的 系统分组 1 固定效应模型 首先考虑有重复的情况 线性统计模型为 xijk i j ij ijk i 1 2 a j 1 2 b k 1 2 n其中 总平均值 i A因素i水平主效应 j B因素j水平主效应 ij A因素i水平与B因素j水平的交互效应 ijk 随机误差 两因素交叉分组方差分析 H01 i 0 i 1 2 aH02 j 0 j 1 2 bH03 ij 0 i 1 2 a j 1 2 b备择假设为 HA 上述各参数中至少有一个不为0 这实际上是三个备择假设 零假设 方差分析的基本思想仍是总变差分解 即 SST SSA SSB SSAB SSe自由度 abn 1a 1b 1 a 1 b 1 ab n 1 总变差分解 均方数学期望 检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中 分母全部采用MSe即可 检验H01 H02 H03的统计量分别为 检验H01 H02 H03的统计量 从前述的各均方期望可知 只有当各H0成立时 上述三个分子才是 2的无偏估计量 此时各统计量均服从F分布 若某个H0不成立 则相应的分子将有偏大的趋势 从而使对应的统计量也有偏大的趋势 因此可用F分布上单尾分位数进行检验 各效应的估计值 其中i 1 2 a j 1 2 b 计算公式 计算排列如下表 表中最下一行是各列的平均 最右一列是各行的平均 计算步骤 方差分析表 把计算所得结果填入上表后 再根据各F统计量的自由度查出其F0 95及F0 99分位数 并将F计算值与相应分位数相比 大于F0 95则在统计量F右上角标一个 号 大于F0 99则再加一个 号 最后用一句话对上述方差分析的结果加以总结 即哪些主效应或交互效应达到显著或极显著水平 哪些不显著 F测验 如果MSAB小于或约等于MSe 即FAB小于或约等于1 说明此时交互作用不存在 在这种情况下也可把MSAB和MSe合并在一起 即把平方和和自由度都合并 作为 2的估计量 这样可以提高检验的精确度 具体计算公式如下 交互作用不存在 然后可用作统计量FA和FB的分母 对两个主效应进行统计检验 注意查表时分母自由度要相应改变 选择最适发酵条件 本题中显然温度是一个因素 原料种类是另一个因素 这两个因素各有三个水平 由于它们的影响都是可控制 可重复的 因此都是固定因素 在同样温度 原料下所做的几次实验应视为重复 它们之间的差异是由随机误差所造成的 固定因素 各处理平均数 发酵实验方差分析表 查F分布表 得 F0 95 2 27 F0 95 2 30 3 316 F0 99 2 27 F0 99 2 30 5 390 F0 95 4 27 F0 95 4 30 2 690 F0 99 4 27 F0 99 4 30 4 018 FA FB均达极显著 标上 FAB只达显著 标上 因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著 与它们的交互作用也有显著关系 即对不同原料应选用不同的发酵温度 F测验 在固定效应模型中 若各F统计量有达到显著或极显著水平时 常常还需要在各处理间进行多重比较 以选出所需要的条件组合 例如在例4 3中 我们已经发现原料 温度以及它们的交互作用都对酒精的产量有影响 显然我们应进一步找出最优的条件组合以用于生产 这就需要进行多重比较了 各处理间进行多重比较 如果有交互作用存在 则一般需要把所有ab个水平组合放在一起比 比较的方法仍与单因素方差分析相同 最常用Duncan法 把各处理平均数从大到小排列 记为x1 x9 49 46 45 25 37 5 34 5 27 18 25 18 15 5 求出各对差值 列成下表 多重比较 求得 df 27 查Duncan检验的r值表 df 27 k 2 9 Duncan检验的r值 分析 从这一差值表中可见 x1至x5 除x1至x5外相互间都没有显著差异 但x4 x5与其他3个值差异相对大一些 x6至x9差异均不显著 而x1 x2 x3与x6 x9差异均达极显著 另外 x1 x2 x3以及x7 x8 x9之间的差异都很小 由于现在的数据是发酵产量 显然是越高越好 因此我们主要关心x1 x2 x3 从以上分析中可知 基本上可把x1 x2 x3视为无差异 x1