2018年高中数学_第一章 导数及其应用 1.1.1 函数的平均变化率课件7 新人教b版选修2-2

第一章导数及其应用 1 1 1函数的平均变化率 假设下图是一座山的剖面示意图 并建立如图所示平面直角坐标系 A是出发点 H是山顶 爬山路线用函数y f x 表示 自变量x表示某旅游者的水平位置 函数值y f x 表示此时旅游者所在的高度 设点A的坐标为 x0 y0 点B的坐标为 x1 y1 问题1 若旅游者从点A爬到点B 且这段山路是平直的 自变量x和函数值y的改变量分别是多少 自变量x的改变量为x1 x0 记作 x 函数值的改变量为y1 y0 记作 y 问题2 怎样用数量刻画山路的陡峭程度呢 此人从点A爬到点B的位移可以用向量来表示 假设向量对x轴的倾斜角为 直线AB的斜率为k 容易看出 问题3 能否刻画山路陡峭程度呢 因表示A B两点所在直线的斜率k 显然 线段 所在直线的斜率的绝对值越大 山坡越陡 这就是说 竖直位移与水平位移之比的绝对值越大 山坡越陡 反之 山坡越缓 现在摆在我们面前的问题是 山路是弯曲的 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢 一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段 每一小段的山坡可视为平直的 例如 山坡DE可近似的看作线段DE 再用对平直山坡AB分析的方法 得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画 注意 各小段的是不尽相同的 但不管是哪一小段山坡 高度的平均变化都可以用起点 终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来度量 由此我们引出函数平均变化率的概念 平均变化率的概念 一般地 已知函数y f x x0 x1是其定义域内不同的两点 记 x x1 x0 y y1 y0 f x1 f x0 f x0 x f x0 则当 x 0时 商称作函数y f x 在区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 的平均变化率 概念理解 1 x0 x1是定义域内不同的两点 因此 x 0 但 x可正也可负 而 y f x1 f x0 为相应 x x1 x0的改变量 因此 y的值可正可负 也可为零 所以 平均变化率可正可负 也可为零 2 函数f x 在点x0处的平均变化率与自变量的增量 x有关 与x0也有关 3 函数平均变化率的几何意义 函数图象上两点连线的斜率 求函数平均变化率的步骤 求函数y f x 在x0附近的平均变化率 1 确定自变量改变量 x 2 求函数改变量 y 3 求平均变化率 例1 求函数y x2在区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 的平均变化率 解 函数y x2在区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 的平均变化率为 探究一 计算函数f x x2在区间 1 1 x x 0 的平均变化率 其中 x的值为 1 2 2 1 3 0 1 4 0 01 思考 当 x越来越小时 函数f x 在区间 1 1 x 上的平均变化率有怎样的变化趋势 探究二 求函数f x x2在x0 1 2 3附近的平均变化率 取 x的值为2 哪一点附近的平均变化率最大 思考 当x0越来越大时 函数f x 在x0附近的平均变化率有怎样的变化趋势 由上式可以看出 当x0取定值时 x取不同的值 函数的平均变化率不同 当 x取定值 x0取不同的值时 该函数的平均变化率也不一样 例如 x0取正值 并不断增大时 该函数的平均变化率也不断地增大 曲线变得越来越陡峭 例2 求函数在区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 的平均变化率 x0 0 且x0 x 0 解 函数的平均变化率为 1 已知函数y f x x2 1 则在x 2 x 0 1时 y的值为 A 0 40B 0 41C 0 43D 0 44解析 y f 2 x f 2 f 2 1 f 2 2 12 22 0 41 答案 B 课堂练习 课堂练习 2 已知函数f x x2 x的图象上的一点A 1