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阵列永磁体产生旋转磁场的机理及实验张 炜（浙江大学宁波理工学院 315100）摘要：诊疗微机器人外磁主动驱动是一种可行的重要的驱动方式，而如何产生合适的外部磁场是一个比较复杂的问题。相对于目前常用的通过电磁线圈组合产生驱动磁场方式，本文提出了一种新的简单可行的永磁体组合产生旋转磁场方法，即圆周阵列永磁体并将其调整到对应的初始方位角后，同步转动在阵列中心区域产生旋转磁场，作为微机器人的主动驱动场。对于阵列中心区域的磁感应强度分布，本文作了理论分析和数值计算，并搭建了实验台。实验表明，采用边长为50mm高为18mm的钕铁硼永磁体阵列，阵列数为6，阵列直径为275mm时，可以在505020mm3阵列中心区域可以产生一个大小120Gs均匀磁场，该磁场与永磁体同步旋转但是方向相反。这种新的磁场产生方法可以用于微机器人特别是诊疗微机器人的驱动，具有广泛的应用前景。关键字：永磁体、阵列、旋转磁场、驱动1 前言目前，人体诊疗机器人的发展方向是功能化和主动运动1, 2。从主动运动角度而言，微机器人的能量获取是关键问题之一，内置能量单元是一种解决方式，但是随着微机器人的体积越来越小，留给内置能量单元的空间也越来越有限了，从而利用体外能量场特别是电磁场对诊疗微机器人运动进行主动控制越来越受到重视。对于体内诊疗微机电系统，外部磁场驱动是一种非常有前景的驱动方式。对于体内微机器人而言，外部磁场驱动方式主要包括直接拖动、周期振荡驱动、旋转驱动等。简晓云3提出使用亥姆霍兹线圈以及麦克斯韦对的组合线圈形成强度梯度的磁场直接拖动诊疗机器人。张永顺等人4, 5提出了基于振动原理的外磁场控制微机器人行走的技术。Sendoh等人6-9使用正交的三轴亥姆霍兹线圈通电在其线圈内部合成一个旋转磁场。在随后的研究中，Sendoh等人使用磁沾射方法对更加微小的螺旋机构表面进行磁化，并在较大雷诺数范围的液体中进行了实验。为了驱动的平稳性以及可控性，要求外部磁场必须是均匀的，而且易于调节方向等。目前，通常利用组合线圈在其内部区域得到所需要的磁场，这时直流线圈发热将消耗一大部分能量。作者10-13提出了外部旋转磁场驱动胶囊微机器人的方法，本文讨论旋转磁场的产生，将采用永磁体组合产生磁场，提出一种新的旋转磁场产生方法，即通过永磁体圆周阵列并且同步转动在阵列中心区域产生旋转磁场。2 永磁体圆周阵列方法下面给出阵列方法，首先约定永磁体与阵列平面之间的方位，然后给出永磁体具体的配置方法。2.1 永磁体与阵列面方位约定图1规定阵列永磁体磁化方向、阵列平面以及永磁体自转中心三者关系，取阵列平面垂直于纸面，永磁体磁化方向的中心线处于阵列平面上，而永磁体的自转中心线垂直于阵列平面，并且上述两条中心线通过体积中心点。图1 阵列永磁体磁化方向、阵列平面以及永磁体自转中心三者关系示意图Fig.1 Relationships of the array plane, magnetized direction, and self-rotating axis of each permanent magnet2.2 圆周阵列永磁体的布置下面说明圆周阵列（圆周半径为r0）的n个永磁体的布置方法及步骤，如图2.a所示：1. 建立固定的全局坐标系oxyz，以及随永磁体转动的局部坐标系oixiyizi，(i=1,2,n)，两类坐标系x轴均指向纸外。全局坐标系oxyz原点为阵列中心点，局部坐标系oixiyizi原点Oi为永磁体体积中心点，正向轴zi为永磁体内部磁感应强度方向；2. 放置永磁体到合适位置，永磁体的每个体积中心点即局部坐标系oixiyizi原点Oi的坐标分别为：(1)其中为永磁体中心点与全局坐标原点连线与其x轴正向夹角；3. 初始状态下，逆时针旋转第i个永磁体绕轴xi转动到对应初始角度i (相对于全局坐标系)。(2)4. 通过外部机构使得永磁体分别绕各自的自转轴线xi以相同角速度w同步转动时，在任意时刻t，第i个永磁体相对于全局坐标的转角为：(3)在O点形成旋转磁场大小恒定，角度为(4)即形成的旋转磁场从相位角开始与永磁体旋转方向反向转动，且转速大小与永磁体相同。图2.a显示第i个永磁体在空间的位置和角度，图中黑体箭头表示永磁体，其箭头方向为中轴线上磁力线方向。而图2.b给出了6个永磁体圆周阵列示意图，阵列圆中心点处箭头方向为旋转磁场初始方向。 (a) (b)图2 永磁体圆周阵列示意图Fig.2 A circumferential arrayed sketch of permanent magnets3 阵列区域内任意点磁感应强度由安培分子环流假设可知，永磁体均匀磁化后，体内分子电流的效应相互抵消，在宏观上，永磁体表现为只有表面电流存在而无体内电流存在。根据比奥-萨戈尔定理，面电流在空间产生的磁感应强度为14：(5)式中，m0为真空磁导率，K(r)为面电流密度矢量(由永磁体磁化强度决定)，r为场点坐标，即为考察点坐标，r为原点坐标，即为面电流微元坐标，为单位向量，S为电流面区域，即永磁体表面形状。从而可以计算出单个永磁体在空间任意点的磁感应强度。在得到单个永磁体在空间任意点的磁感应强度B之后，接下来将研究阵列永磁体在全局坐标上任意点迭加的磁感应强度。图2.a显示永磁阵列中第i个磁体以恒定角速度w转动到任意角度的情况。第i个局部坐标系oixiyizi可以认为是全局坐标系oxyz经过一次平移变换和一次旋转变换而成。在此过程中，平面oyz和平面oiyizi始终是重合的。设在全局坐标系oxyz中任意点坐标为Q(x0,y0,z0)，则在局部坐标系oixiyizi中的Qi(xi0,yi0,zi0)坐标为：(6)其中，为平移矩阵，为旋转矩阵。式中，由式(1)，由式(3)确定。 将坐标值Qi(xi0,yi0,zi0)代入公式(5)，即可得到圆周阵列中第i个永磁体在局部坐标系oixiyizi下点Q的磁感应强度Bi(Qi)，然后再将Bi(Qi)逆变换成全局坐标系oxyz下的磁感应强度Bi(Q)。(7)其中，旋转矩阵。将n个永磁体产生的磁感应强度迭加就得到了圆周阵列永磁体在全局坐标系下任意点上总的磁感应强度。(8)综上，通过式(5)至(8)可以计算出任意时刻，永磁体阵列在空间任意点迭加的磁感应强度的大小。4 数值计算和分析4.1 永磁体参数及布置在前面的分析计算中，采用柱面电流简化永磁体，但是K无法由实验直接测出，本文反求确定K。以圆柱永磁体为例，在圆柱体的中轴线上的磁感应强度分量中仅有Bz不为0，而Bx以及By均等于0。那么，采用磁场测量仪器，如特斯拉计或者高斯计测量出中轴线上几个点的磁感应强度Bz，代入公式(5)中计算并由最小二乘法确定出K。对于本文数值分析采用的圆柱永磁体，其表面电流密度反求得K=7.5105A/m2，其直径为50mm，高度为18mm。而阵列永磁体的初始方位按照节2.2进行布置，表1给出了阵列2-8永磁体初始角度，在节5实验中，同样采取表1给出的参数布置。为了和后面实验对照，数值分析讨论的阵列直径从0.2m到0.3m，分析表明12，在任何阵列情况下，不论是还是，其值与比较而言，是极小的(小于1%)，所以在此将不考虑和的分布情况，而仅仅考察。表1 阵列永磁体的初始角度Tab.1 Initial angles of arrayed permanent magnets阵列数永磁体编号/初始角度（）123456782036024048030401803605406012024036048060080901802703604505406304.2 阵列中心区磁场的同步转动B0B45B90B135o图3 阵列永磁体转动过程中磁力线分布及变化情况Fig.3 Distribution of magnetic force lines during the rotating of arrayed permanent magnets采用专业电磁分析软件Ansoft模拟阵列中心区域磁感应强度。图3给出了6个永磁体阵列时，从初始状态（0）到逆时针转动135共4个状态下的磁力线分布情况。阵列直径为140mm，阵列永磁体尺寸为，永磁体的磁性参数为：=1.0997，=1.23T，=-8.9105A/m。由图中可见，在阵列中部较大区域内，磁力线的分布都是很均匀的，几乎成平行状态，说明阵列圆内的的磁感应强度是比较均匀的。随着永磁体逆时针转动，磁力线却是顺时针转动的，而且转动幅度是一致的。我们还变换了几种不同的配置，发现在阵列中心区域内具有相同的变化趋势12。4.3 初始状态磁感应强度从上面的分析可知，在永磁体阵列转动过程中，阵列中心区域的磁感应强度大小保持不变，而方向跟随永磁体反向旋转，所以只需要研究初始状态下磁场强度的分布情况即可。下面采用节4.1给出的参数将分别研究阵列中心点和三个正交坐标轴上的磁感应强度分布情况。在初始状态下，的方向和阵列圆轴方向相反，所以为负值(如图3)。4.3.1 阵列中心点的磁感应强度图4给出了阵列中心点磁感应强度分量Bz。在该点始终有Bx=0，且列数为2、4、6、8这些偶数时，By均等于0，当阵列数为3、5、7这些奇数时，存在By，但其与对应Bz相比很小，故仅考虑Bz的变化情况。从图中可见，阵列中心点的Bz和阵列数基本上呈线性递增关系，可以获得数百Gs的磁感应强度，这是一个非常大的优点。通过合理配置阵列数和阵列直径可以得到相应的磁感应强度。由于Bx=0或By非常小，可以说，在初始状态下，圆柱阵列永磁体在阵列中心点产生的合磁感应强度是指向z轴负向（例如图2）。图4 中心点O处磁感应强度Bz与阵列数、阵列直径的关系Fig.4 Relationships of the magnetic field strength Bz at the point O with the number of arrayed magnets and the array diameter4.3.2 三正交坐标轴上的磁感应强度图5给出了阵列直径0.2m时，沿着全局坐标系下x, y, z轴(即阵列中轴线、阵列圆水平和垂直直径)上，随着阵列数变化的曲线。在三坐标轴零点处，的数值和图4一致。而当考察点向每个坐标轴两侧移动时，的变化趋势不尽相同。图5.a显示，在x轴上的变化对称于阵列平面，随着考察点向x轴两侧移动而迅速减小。图5.b显示了在阵列圆水平直径上变化趋势。由图中可见，除了阵列数为3情况下，其余情况下均对称于y轴。但是与图5.a相反的是，并没有沿着y轴两侧而迅速减小，而是在保持一段非常缓慢增大期后才迅速增大。这是由于随着考察点的外移，比较靠近阵列圆周上的永磁体导致的(磁感应强度反比于距离的三次方)。而阵列数为3时，在y轴负向上没有永磁体布置，从而始终缓慢下降而不是迅速增大。在图5.c中，的分布分为三种不同的情况。阵列数为2时，随着考察点向z轴两侧移动而缓慢减小；阵列数为3和6时，产生的具有相同的变化趋势，在区间-0.06m,0.06m内，的波动范围很小；阵列数为4和8时，的变化趋势和图5基本相同。总之，在阵列平面外，随着考察点距离阵列平面增大而迅速减小，但是在阵列平面内，在中心点附近区域内，存在一个区域，在此区域内，值的变化并不明显，可以称为磁感应强度均匀区，在此区间内主动控制微机器人的运动。在超出了均匀区后，变化趋势由考察点是否靠近永磁体而定，如靠近则迅速增大，反之则缓慢减小。(a)(b)(c)图5 三正交轴上Bz与阵列数变化趋势（初始状态，阵列直径0.2m）Fig. 5 Bz disturbance along the three coordinates (initial condition, Array_D=0.2m)下面研究在阵列数确定而阵列直径不同的条件下在三坐标轴上变化趋势，见图6，阵列数为6时，阵列直径分别为0.2，0.25以及0.3m。由图中可见，图6.a和图5.a具有几乎相同的变化趋势，随着阵列直径的递增，磁感应强度迅速减小。可见，阵列数和阵列直径是影响Bz的两个重要因素，但是比较而言，减小阵列直径比增加阵列数对于提高磁感应强度更有效。图6.b中，在阵列中心点附近一定区域内，磁感应强度呈波动状态，在阵列直径为0.3m时，阵列中心区域的磁感应强度仅为阵列直径为0.2m时的30%左右。注意到阵列直径为0.2m时，出现了磁感应强度由负值向正值的突然变化，这是由于考察点已经移动到永磁体内部导致磁力线反向造成的，显然这是不会出现的情况。图6.c中同样出现了阵列直径有0.3m变成0.2m造成的剧烈变化的情况，但是只是迅速负向增大，而没有出现正值，这是由于考察点只是靠近永磁体而没有进入永磁体内部。为了和后面的实验数据相对照，数值计算采用的圆柱永磁体的体积为，该尺寸和计算中采用的阵列直径尺寸相比并不是很小，而磁感应强度与距离的立方成反比。从而导致了考察点靠近永磁体时，磁感应强度剧烈变化。而在距离阵列永磁体较远的阵列中心区域，磁感应强度的变化则平缓的多，所以要保证微机器人始终处于阵列中心点及其附近，保证其始终受到恒定作用力12。(a) (b) (c)图6 三正交轴上磁感应强度分量Bz(初始状态，阵列数6)Fig.6 Bz along the three coordinate axises (initial condition, array_N =6)5 旋转磁场产生实验根据节2.2的方法，搭建了阵列永磁体旋转磁场产生实验台，见图7，内部圆环可以安装12个支架，根据实际需要可以配置成2、3、4、6个永磁体的阵列，而其余支架同步带张紧轮支架，阵列圆周直径可从200mm到400mm依次增大25mm。每个永磁体分别由同步带传动，以保证每个永磁体始终保持相同的夹角且同向转动，通过无极调速电机带动得到不同的自转速度，其调速范围是0-100rpm。图图7中所示为6个正方体永磁体，并将其调整到初始角度，连同2、3、4阵列数永磁体的初始角度见表1。采用长方体钕铁硼永磁体作阵列，其尺寸为505018mm，实测其表面中心处磁感应强度为2500Gs。图7 旋转磁场实验台Fig.7 The tester of a rotational magnetic filed5.1 阵列中心点磁感应强度图8显示该磁感应强度和不同的阵列圆周直径永磁体阵列数的关系。图8.a给出了4个阵列直径下，阵列中心磁感应强度Bz与阵列永磁体数量的关系。当阵列直径确定后，中心区域的磁感应强度与磁体阵列阵列数基本呈线性关系。如图所示，可以获得20290Gs的匀速旋转磁场，这是一个较大的强度范围。在实验中，阵列直径是以等差数列增加，如果阵列直径能够连续变化，那么通过同时调整阵列永磁体数量以及阵列圆周大小可以获得指定大小的磁感应强度。从图8.b更可以看出，当永磁体阵列为6时，在阵列直径在200-375mm区间，阵列中心区域的磁感应强度为42-290Gs。由于阵列区间上限可以更大，而永磁体阵列数目也可以多于6，于是可以预测：这种永磁阵列方法可以得到大小连续的从0到数百Gs的磁感应强度，尽管这种变化不是线性的，其转动速度等于永磁体的转动速度。(a)(b)图8 O点磁感应强度和阵列直径与永磁体阵列数的关系Fig.8 Relationships of the array diameter, the number of arrayed magnet and the magnetic field intensity5.2 三正交坐标轴上磁感应强度在永磁体阵列初始时刻，阵列圆内部中心点附近的磁力线方向为垂直向下，初始状态下磁力线的分布可以参考图3.a。图9给出了6个永磁体阵列，在初始状态下，沿着阵列三正交坐标轴磁感应强度分量，此时阵列直径为0.275m时，图中横坐标值0共同为阵列圆心点，分别在上述三正交坐标轴上，向正负两个方向上测量步距0.02m上点的磁感应强度分量。由图中水平直径上的磁感应强度可见，在直径的两个外侧，其磁感应强度非常大，这主要在阵列永磁体初始状态时，测量点非常靠近永磁体缘故（在该测量状态下，测量点与长方体永磁体边缘的距离为0.0325m）。而在垂直直径上，靠近直径外侧的测量点上的磁感应强度下降很快。但是在0.05m范围内，水平方向和垂直方向直径上的磁感应强度几乎完全相等，而此时几乎完全没有磁感应强度分量，而在x轴上，其磁感应强度总体趋势是下降的，但是降幅比较均匀，在0.02m范围内，磁感应强度比较均匀，变化不大，这主要是永磁体的长度和宽度范围内，当x轴上的点超出了永磁的长度范围，磁感应强度开始稳步下降。在这种条件下，阵列直径为0.275m时，采用6个长方体钕铁硼永磁体0.05m*0.05m*0.018m阵列，其产生均匀磁场的空间范围为0.050.050.02m3。尽管这个空间范围并不算大，但是相对于控制目标微机器人，特别是用于人体内诊疗的微机器人而言，因为其体积很小7, 8，主动控制其运动还是可能的。图9 三正交坐标轴上磁感应强度Fig.9 Magnetic field strength along the three coordinates5.3 磁场方向实验我们还进行了磁场转动特性实验，将一个胶囊形状的微机器人模型，在其表面内嵌两个条形永磁体，在胶囊中轴线上钻出一个直径为2mm的通孔，用一根1.5mm的不锈钢丝穿过，这样胶囊模型可以在钢丝上自由转动，将胶囊放置在阵列中心点，开启无级调速电机带动阵列永磁体同步转动，发现胶囊与永磁体同步转动，但是方向相反，变化永磁体转动速度，胶囊模型也同时变速。验证了节2.2和4.2的结论。图10 胶囊机器人模型Fig.10 Model of a capsule robot sample6 结论诊疗微机器人外磁主动驱动是一种前景广阔的方式，而产生一个高效、稳定的外部磁场则是一个比较复杂的问题，本文提出了一种简单可行的外部旋转磁场产生方法，并作了理论分析和数值计算，搭建了实验台，证明了本文提出方法的正确性和可行性。按照本文提出的方法布置永磁体阵列产生的旋转磁场具有以下优点：1、在阵列中心附近区域产生一个大小恒定、强度连续的旋转磁场，该区域根据永磁体阵列不同可以调整，以覆盖微机电系统；2、旋转磁场参数易于调节，包括磁场大小，转动速度，方向和方位角等。通过合适的永磁材料、阵列数及阵列圆直径、永磁体形状实现磁感应强度调节，转动速度与体外永磁体转速相等，方向相反，通过某个阵列永磁体转动和停止时所处方位判断出此时阵列中心区域的磁场转动方向和停止角度。3、旋转磁场的产生不需要电能。在磁场换向时不会产生线圈过热现象(由电流涡流产生)，结构和体积相对于线圈产生磁场更加简单。参考文献：1Iddan, G., Meron, G., Glukhovsky, A., et al., Wireless capsule endoscopy. Nature, 2000. 405(6785): p. 417.2Park, S., Park, H., Park, S., et al., A paddling based locomotive mechanism for capsule endoscopes. Journal of Mechanical Science and Technology, 2006. 20(7): p. 1012-1018.3简小云, 梅涛, 汪小华, 胶囊内窥镜机器人的外磁场驱动方法. 机器人, 2005. 27(4): p. 367-373.4张永顺, 贾振元, 丁凡, et al., 外场驱动无缆微型机器人的行走机理. 中国机械工程, 2003. 14(14): p. 1171-1176.5张永顺, 刘巍, 郭锐, et al., 无缆微型游动机器人驱动磁场系统的研究. 机器人, 2005. 27(1): p. 63-67.6Sendoh, M., A.Yamazaki, Chiba, A., et al. Spiral Type Magnetic Micro Actuators for Medical Applications. in International Symposium on Micro-NanoMecahtronics and Human Science. 2004. Nagoya, Japan: Institute of Electrical and Electr