平面向量的知识点复习.doc

课 题：平面向量的实际背景及本章知识点总结教学目的：1了解平面向量的实际背景；2掌握向量的几何表示；3理解向量的有关概念；4逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力和“知识重组”意识和“数形结合”能力。教学重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。教学难点：向量的概念和共线向量的概念。授课类型：新授课授课方式：讲授式、探究式教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法向量法和坐标法。本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。教学过程：一、引入同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工具。其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的。成为理论后又反过来对其它学科起作用。比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系。二、新授课（一）向量的物理背景与概念（提问）请同学们回忆在物理中所学习过哪些既有大小又有方向的量？在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等。还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是一个既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大。我们可以对位移、力这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。这种量就是我们本章所要研究的向量。向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课，我们将学习向量的有关概念。向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）（而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质量等，称为数量。物理学中常称为标量）注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。（二）向量的几何表示引入：（由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量。）对于向量，我们常用带箭头的线段有向线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。A起点B终点有向线段：带有方向的线段叫有向线段。（如图）我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以A为起点、B为终点的有向线段记作，起点写在终点的前面。已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.有向线段的三要素：起点、方向、长度。（知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定。）向量的表示方法：几何表示：用有向线段表示；字母表示：用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如：；用字母、等表示。问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量。”的说法对吗？（提问）（向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段）向量的长度（或称模）：向量的大小，也就是向量的长度（或称模）：记作。零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作。注意与0的区别（及书写方法）。长度等于1个单位的向量，叫单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。（三）平行向量、共线向量与相等向量平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定与任一向量平行。说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量平行，记作。共线向量定义：平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定。问题2：两个向量是否可以比较大小？（向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量、，或”这种说法是错误的。）例2 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；若，则四边形ABCD是平行四边形；若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上。不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定。ABC不正确.正确.不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好。本章知识点总结1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作|即向量的大小，记作 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设，则+=（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”3向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7平面向量的坐标表示7.1在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 取x轴、y轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量=x+y，OBCAxybc 记作：=(x, y) 称作向量的坐标.如：=(1, 0) ,=(0, 1) =(2, 2) =(2, -1) =(1, -5) 7.2注意：1每一平面向量的坐标表示是唯一的； 2设A(x1, y1) B(x2, y2) 则=(x2-x1, y2-y1) 3两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。：1）已知=(x1, y1) =(x2, y2) 求+，-的坐标 2）已知=(x, y)和实数, 求的坐标：已知三个力 (3, 4), (2, -5), (x, y)的合力+= 求的坐标。7.3 ()的充要条件是x1y2-x2y1=0：若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x：已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量与平行吗？直线AB与 平行于直线CD吗？：已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：ABCD：证明下列各组点共线：1 A(1,2) B(-3,4) C(2,3.5) 2 P(-1,2) Q(0.5,0) R(5,-6)：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD是梯形8 线段的定比分点8.1线段的定比分点及 P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数，P1P1P1P2P2P2PPP使 = ，叫做点P分所成的比，有三种情况： 0(内分) (外分) 0（-1） ( 外分)0（-10）8.2定比分点公式的获得：OP1PP2 设= 点P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2) 由向量的坐标运算 =(x-x1,y-y1) ，=( x2-x, y2-y) = (x-x1,y-y1) =( x2-x1, y2-y1) （定比分点坐标公式）8.3中点公式：若P是中点时，=1时， 若P分有向线段的比为，则A分所成比为 过点P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点，使| P1P|:| PP2|=3, 求P点坐标 若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标9数量积（内积）1.定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a|b|cosq，q = 0q = 180qqqqOOOOOOAAAAAABBBBBBC 并规定0与任何向量的数量积为0。2.向量夹角的概念：范围0q180C3.注意的几个问题；两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。 2两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。3在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0。OaAcbab4已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c。但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA| bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab=bc 但a c5在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。10投影的概念及两个向量的数量积的性质：10.1“投影”的概念：作图AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。 注意：1投影也是一个数量，不是向量。 2当q为锐角时投影为正值； 当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为0； 当q = 0时投影为 |b|； 当q = 180时投影为 -|b|。10.2向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。10.3两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1ea = ae =|a|cosq 2ab ab = 0 3当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|。特别的aa = |a|2或 4cosq = 5|ab| |a|b|练：判断下列各题正确与否： 1若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0。 ( ) 2若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0。 ( ) 3若a 0，ab = 0，则b = 0。 ( ) 4若ab = 0，则a 、b至少有一个为零。 ( ) 5若a 0，ab = ac，则b = c。 ( ) 6若ab = ac，则b = c当且仅当a 0时成立。 ( ) 7对任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc)。 ( ) 8对任意向量a，有a2 = |a|2。 ( )11平面向量的运算律1.交换律：a b = b aqq1q2abABOA1B1Cc2.(a)b =(ab) = a(b)3.(a + b)c = ac + bc 12平面两向量数量积的坐标表示12.1设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j， 则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 012.2推导坐标公式： a = x1i + y1j, b = x2i + y2j ab = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2 = x1x2 + y1y2从而获得公式：ab = x1x2 + y1y2例1.设a