高三数学高考二轮复习专题课件7：函数与方程.ppt

1 函数与方程的关系 会借助图象解决有关根的个数的问题 2 数学建模 把实际问题转化成数学问题 3 数形结合思想在解答数学问题中的应用 学案7函数与方程及函数的实际应用 1 2009 福建 函数f x ax2 bx c a 0 的图象关于直线对称 据此可推测 对任意的非零实数a b c m n p关于x的方程m f x 2 nf x p 0的解集不可能是 a 1 2 b 1 4 c 1 2 3 4 d 1 4 16 64 解析本题用特例法解决简洁快速 对方程m f x 2 nf x p 0中m n p分别赋值求出f x 代入f x 0求出检验即得 d 2 2008 安徽 若函数f x g x 分别为r上的奇函数 偶函数 且满足f x g x ex 则有 a f 2 f 3 g 0 b g 0 f 3 f 2 c f 2 g 0 f 3 d g 0 f 2 f 3 解析由题意得f x g x e x 又f x 为奇函数 g x 为偶函数 所以上式可化为 f x g x e x 与已知f x g x ex联立得所以f x 在定义域r上为增函数 所以0 f 0 f 2 f 3 又g 0 1 0 所以g 0 f 2 f 3 d 3 2009 北京 已知函数若f x 2 则x 解析 log32 4 若函数f x 为奇函数 当x 0时 f x lg x x 3 已知f x 0有一个根为x0 且x0 n n 1 n n 则n的值为 解析设x 0 则 x 0 所以f x lgx x 3 又因为函数f x 为奇函数 所以f x f x 则x 0时 f x lgx x 3 又f x 在 0 上是增函数 由f 2 lg2 1 0 f 3 lg3 0 所以x0 2 3 则n 2 2 题型一方程根的有关问题 例1 2009 山东 已知定义在r上的奇函数f x 且满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若方程f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 则x1 x2 x3 x4 解析因为定义在r上的奇函数 满足f x 4 f x 所以f x 4 f x 所以函数图象关于直线x 2对称且f 0 0 由f x 4 f x 知f x 8 f x 所以函数是以8为周期的周期函数 又因为f x 在区间 0 2 上是增函数 所以f x 在区间 2 0 上也是增函数 如图所示 那么方程f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 不妨设x1 x2 x3 x4 由对称性知 x1 x2 12 x3 x4 4 所以x1 x2 x3 x4 12 4 8 答案 8 探究拓展 由函数图象解答方程问题 可运用数形结合的思想和函数的思想 变式训练1设定义域为r的函数若关于x的方程f2 x af x b 0有三个不同的实根x1 x2 x3 则的值为 解析由图象可知若方程f2 x af x b 0有三个不同的实根只须f x 1 所以必有一根为2 另两根是方程的根 这两根分别是1和3 14 题型二函数思想的应用 例2 已知二次函数f x ax2 bx c 1 若a b c 且a b c 0 试证明f x 0必有两个实根 2 若对x1 x2 r且x1 x2 f x1 f x2 试证明方程f x f x1 f x2 有两不等实根 且必有一个实根属于 x1 x2 证明 1 若a b c a b c 0 则a 0 c 0 且b a c 所以方程f x 0可化为 ax2 a c x c 0 即a x 1 x 0 则f x 0有两根x1 1 x2 2 令g x f x f x1 f x2 由题意可知 g x 是开口向上的二次函数 又g x1 f x1 f x2 g x2 f x2 f x1 且x1 x2 f x1 f x2 所以g x1 g x2 f x1 f x2 2 0 则方程g x 0在有一实根属于 x1 x2 由二次函数的性质可知必有另一实根 探究拓展 二次函数问题通常利用二次方程 二次不等式之间的关系来处理 从而使方程问题函数化 函数问题方程化 体现了函数与方程的思想 变式训练2已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3 a 如果方程2ax2 2x 3 a 0在区间 1 1 上有根 则实数a的取值范围是 解析当a 0时 f x 2x 3 其根不在区间 1 1 上 当a 0时 函数f x 在区间 1 1 分为两种情况 方程在区间 1 1 上只有一个根 此时 方程在区间 1 1 上有两个根 此时综上所述 如果函数在区间 1 1 上有零点 那么实数a的取值范围为 1 题型三函数与方程的综合应用 例3 2009 广东改编 已知二次函数y g x 的导函数的图象与直线y 2x平行 且y g x 在x 1处取得极小值m 1 m 0 设函数 1 若曲线y f x 上的点p到点q 0 2 的距离的最小值为 求m的值 2 k k r 如何取值时 方程f x kx 0存在实数根 并求出此根 解 1 设g x ax2 bx c a 0 则g x 2ax b 又y g x 的图象与直线y 2x平行 2a 2 a 1 又g x 在x 1处取得极小值 g 1 0 b 2 g 1 a b c 1 2 c m 1 c m 设p x0 y0 2 由y f x kx 1 k x 2 0 得 1 k x2 2x m 0 当k 1时 方程 有一个解故方程f x kx 0有一个实根当k 1时 方程 有二解 4 4m 1 k 0 当k 1时 方程 有一解 4 4m 1 k 0 探究拓展 此题考查了函数的最值 一元二次方程等基础知识 运用导数研究函数的性质的方法 体现了函数与方程 分类与整合的数学思想方法 变式训练3已知定义域为r的函数f x 满足f f x x2 x f x x2 x 1 若f 2 3 求f 1 又若f 0 a 求f a 2 设有且仅有一个实根x0 使得f x0 x0 求函数f x 的解析表达式 解 1 因为对任意x r 有f f x x2 x f x x2 x 所以f f 2 22 2 f 2 22 2 又由f 2 3 得f 3 22 2 3 22 2 即f 1 1 若f 0 a 则f a 02 0 a 02 0 即f a a 2 因为对任意x r 有f f x x2 x f x x2 x 又因为有且只有一个实数x0 使得f x0 x0 所以对任意x r 有f x x2 x x0 在上式中令x x0 有f x0 x0 x0 又因为f x0 x0 所以x0 0 故x0 0或x0 1 若x0 0 则f x x2 x 0 即f x x2 x 但方程x2 x x有两个不相同实根 与题设条件矛盾 故x0 0 若x0 1 则有f x x2 x 1 即f x x2 x 1 易验证该函数满足题设条件 综上 所求函数f x x2 x 1 x r 题型四函数的实际应用 例4 2009 山东 两县城a和b相距20km 现计划在两县城外以ab为直径的半圆弧上选择一点c建造垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关 对城a和城b的总影响度为对城a与对城b的影响之和 记c点到城a的距离为xkm 建在c处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度为y 统计调查表明 垃圾处理厂对城a的影响度与所选地点到城a的距离的平方成反比 比例系数为4 对城b的影响度与所选地点到城b的距离的平方成反比 比例系数为k 当垃圾处理厂建在弧的中点时 对城a和城b的总影响度为0 065 1 将y表示成x的函数 2 讨论 1 中函数的单调性 并判断弧上是否存在一点 使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小 若存在 求出该点到城a的距离 若不存在 说明理由 解 1 如图所示 由题意知ac bc 即 acb 90 ac xkm bc2 400 x2 其中当时 y 0 065 所以k 9 所以y表示成x的函数为 18x4 8 400 x2 2 所以x2 160 x 当0 x 时 18x4 8 400 x2 2 即y 0 所以函数为单调减函数 当 x 20时 18x4 8 400 x2 2 即y 0 所以函数为单调增函数 所以当x 时 即当c点到城a的距离为时 探究拓展 本题主要考查了函数在实际问题中的应用 运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题 变式训练4 2009 湖南 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 2 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 解 1 设需要新建n个桥墩 n 1 x m 令f x 0 得所以x 64 当0 x 64时 f x 0 f x 在区间 0 64 内为减函数 当64 x 640时 f x 0 f x 在区间 64 640 内为增函数 所以f x 在x 64处取得最小值 此时 故需新建9个桥墩才能使y最小 考题再现 2009 江西 设函数f x x3 x2 6x a 1 对于任意实数x f x m恒成立 求m的最大值 2 若方程f x 0有且仅有一个实根 求a的取值范围 解题示范 解 1 f x 3x2 9x 6 3 x 1 x 2 2分因为x f x m 即3x2 9x 6 m 0恒成立 4分所以 81 12 6 m 0 得m 即m的最大值为 6分 2 因为当x 1时 f x 0 当1 x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 所以当x 1时 f x 取极大值f 1 a 9分当x 2时 f x 取极小值f 2 2 a 10分故当f 2 0或f 1 0时 方程f x 0仅有一个实根 解得a 2或a 12分 1 在解决数学建模的有关问题时 一定要弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 将文字语言翻译成数学语言 再变换成符号语言 进而根据题意列出相应的等式求解 将用数学方法得到的结论还原为实际问题 切记所求结论要符合客观实际 2 常见重要的数学模型有 1 二次函数解决有关最值问题 2 分式函数模型 y x x 0 给定区间上结合单调性解决最值问题 3 应用y n h p x的模型解决有关增长率及利息等问题 3 在解决函数与方程的有关问题时 常常利用数形结合思想进行解答 一 选择题1 设函数f x loga x b a 0 a 1 的图象过点 2 1 其反函数的图象过点 2 8 则a b等于 a 6b 5c 4d 3解析函数f x loga x b a 0 a 1 的图象过点 2 1 其反函数的图象过点 2 8 则原函数图象过点 8 2 a 3或a 2 舍 b 1 a b 4 c 2 客车从甲地以60km h的速度行驶1小时到达乙地 在乙地停留了半小时 然后以80km h的速度行驶1小时到达丙地 下列描述客车从甲地出发 经过乙地 最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中 正确的是 解析由题意可知客车在整个过程中的路程函数s t 的表达式为 对比各选项的曲线知应选b 答案b 3 2008 辽宁 设f x 是连续的偶函数 且当x 0时是单调函数 则满足的所有x之和为 a 3b 3c 8d 8解析因为f x 是连续的偶函数 且x 0时是单调函数 由偶函数的性质可知若只有两种情况 由 知x2 3x 3 0 故两根之和为x1 x2 3 由 知x2 5x 3 0 故其两根之和为x3 x4 5 因此满足条件的所有x之和为 8 c 4 若函数y f x x r 满足f x 2 f x 且x 1 1 时 f x x 则方程f x log5 x 0的实数解的个数是 a 5b 6c 10d 12解析因f x 2 f x 所以f x 是以2为周期的函数 且x 1 1 时 f x x 在同一坐标系下画出函数f x 及函数y log5 x 的图象 则两图象的交点个数 即为方程f x log5 x 0的实数解的个数 c 5 2008 陕西 定义在r上的函数f x 满足f x y f x f y 2xy x y r f 1 2 则f 3 等于 a 2b 3c 6d 9解析f 1 f 0 1 f 0 f 1 2 0 1 f 0 f 1 f 0 0 f 0 f 1 1 f 1 f 1 2 1 1 f 1 f 1 2 f 1 0 f 1 f 2 1 f 2 f 1 2 2 1 f 2 f 1 4 f 2 2 f 2 f 3 1 f 3 f 1 2 3 1 f 3 f 1 6 f 3 6 c 6 已知圆c x2 y2 4 x 0 y 0 与函数f x log2x g x 2x的图象分别交于a x1 y1 b x2 y2 则等于 a 16b 8c 4d 2解析由题意可知 其函数图象如右图所示 因为函数f x g x 互为反函数所以其图象关于直线l x y 0对称 因交点为a x1 y1 b x2 y2 所以x2 y1 即 c 二 填空题7 已知函数且f 2 f 0 f 3 9 则关于x的方程f x x的解的个数为 解析由f 2 f 0 得b 4 再由f 3 9 得c 3 当x 0时 f x x 即2x2 5x 3 0 解得x 或x 1 当x 0时 3 x方程无解 2 8 关于x方程 x2 4x 3 a x有3个不等的实数根 则实数a的取值范围是 解析因原方程可整理为 x 2 2 1 x a 在同一坐标系下画出函数f x x 2 2 1 及y x a的图象 由图象可知 当a 1时 原方程有3个不等的实数根 消去y 令 0 得综上可知 a 1或 9 某地区预计2009年的前x个月内对某种商品的需求总量f x 万件 与月份x的近似关系式是f x x x 1 19 x x n 1 x 12 若2009年的第x月份的需求量g x 万件 最大 则x的值是 解析由题意可知 g x f x f x 1 x x 1