隐藏在优美对称中的位置与数量关系——2013年北京市高考数学文科试题8解析.pdf

4 2 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第3 期 隐藏在优美对称中的位置与数量关系 2 0 13 年北京市高考数学文科试题8 解析 徐红 北京市第八十中学 1 0 0 1 0 2 2 0 1 3 年高考北京数学试题恢宏大气 稳中求 新 亮点层出不穷 选择题与填空题与前几年的命 题方向一致 体现出 多想少算 立足考查学生的 数学素养 思维能力及核心思想方法的使用 考查 学生对数学知识的本质的认识是否深入 以文科 试题8 为例 命题人充分发掘了正方体的对称美 让学生去发现隐藏在优美对称中的位置与数量关 系 题目立意新颖 点 线 面之间的关系在流畅中 有曲折 对称中有偏移 开拓出一个既精巧又广阔 的空间 让学生的思维可以自由驰骋 下面对文科 第8 题予以解析 仅供参考 2 0 1 3 年高考北京 文科8 题 如图1 在正 方体A B C D A l B l C D 中 P 为对角线B D 的 三等分点 P 到各顶点的 距离的不同取值 有 A 3 个 B 4 个 图1 C 5 个 D 6 个 如何考查P 到各顶点的距离的大小关系呢 我们不妨从P A P C 的大小关系人手 由于二者 关系不外乎三种 P A P C P A P C 或者P A P C 即是研究正方体内的点P 到线段A C 两个端 点的距离 为此可先思考到A C 端点距离相等点 的位置 再确定P A P C 大小 类比平面中到一条 线段两个端点距离相等的点在线段的中垂线上 可知空间中到点A C 距离相等的点在线段A C 的中垂面 即过一条线段中点且与该线段垂直的 平面 上 于是可通过判断点P 是否在A C 的中垂 面上来判断P A P C 大小 即研究P A P C 大小 只需研究点P 是否在线段A C 的中垂面上 其它 同理 方法1如图2 点 P 位于A C 的中垂面 B D D t B 上 且平面 B D D B 也为A C 中 垂面 所以由对称性可 知P A P C P A P C 同理 点P 位于线 段A B 的中垂面 A B C D 上 且平面 A B C D 也为D C 中垂面 一P D 于是P A P C P B 下面比较P A P A P B P D 大小 由于点P 与点B 位于线段A B 的 中垂面E F G H 同侧 图 3 所以P B P A 同理 可证P A P A l P A l D 1C P D 所以P 到正方体各 4 顶点的距离分别取4 个 不同数值 选 B EB 图3 从方法1 我们可以感受到正方体极强的对称 性 在方法2 中我们将继续挖掘它的对称性 以及 图形围绕对称发生偏移时的位置与数量变化 方法2 如图4 正方体绕直线B D 逆时针 旋转1 2 0 A 被旋转至C C 被旋转至D D 被 旋转至A 这是正方体的一种旋转对称性质 P 是旋转轴B D 上一点 所以P A 一P C P D 同 理P A P B 一P C 如图5 观察平面B B D 1 D 可 以证出O P 上P B 所以么P O B 是锐角 P O D 是 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第3 期 数学通报 4 3 钝角 又因为P A P C O A O C 所以么P O A 是 直角 于是有么P O B 么P O A 么P O D 在 P B O X P A O 和 P D 0 中 P O 是公共边 O B O A O D 么P o B 么P O A 么P O D 较大的 角对应的边也会较大 所以P B P A P D D l D lC 图4 C 图5 下面比较P D 与P D 的大小 观察图6 我们可 以把P 点看成是由B D 中点P7 向点B 滑动得到 的 于是有么P D D 一 么P7 D D 么P D D l 所以 P D P D 所以点P 到正方 体各顶点的距离分别取4 个不同数值 选 B 我们还可以把题目中的正方体看做一个智力 玩具 魔方 如图7 点P 到正方体的每一个顶点 的距离恰好是一个长方体或正方体对角线长 方法3 如图7 将正方体各棱三等分 会发 现三个形状和大小完全相同的长方体P A 长方 体P C 和长方体P B P 到点A B C 的距离就 是三条体对角线P A P C P B 的长度 于是有 P A P C P B 同理可知 P 到A D C 的距离 相等 即P A 一P D P C 图8 另外可观察到 P B P D 是两个大小不同的正方体的对角线 它 们的长度与前两组值均不等 所以选 B 图7 B 图8 此题也可以利用空间向量知识加以解决 建 立恰当的空间坐标系 让图形的对称性在坐标中 表现出来 使得计算变得简单 方法4如图9 以B 为原点建立空间 直角坐标系 使P 点坐 标为 1 1 1 则其他 各顶点坐标分别为 D 3 3 3 A 0 3 0 C 3 0 0 B 1 0 0 3 A 0 3 3 D 3 3 0 yAB 图9 c l 3 0 3 由坐标对称性知P A P C P B 一 6 P A l 一P C I 一P D 一3 又易知P D l 一2 3 P B 一 I X 所以P B P A P A l P D 选 B 方法4 是一种常规而稳健的方法 在坐标化 时要注意合理运用对称关系 通过计算比大小 方 法1 按部就班 从各个优美的细节人手进行探究 把判断P 到两顶点距离转化为判断P 是否在两 顶点所构成线段的中垂面上 方法2 的旋转让人 眼前一亮 但要想全面解决问题 还需要去发现图 形由对称发生偏移后位置与数量的变化 方法3 不禁让人啧喷称叹 不仅道理浅显易懂 而且把正 方体的优美与对称表现得淋漓尽致 此法需要学生 对于正方体的对称性有比较宏观和透彻的理解 要想让学生在面对数学问题时思维能自由驰 骋 教师在平时的教学中要注重引领学生揭示数 下转第4 7 页 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第3 期数学通报 4 7 l 叫越 由于一般的二次函数Y a x 2 6 z c 口 o 的图像可以看成由最简单的二次函数Y a x 2 口 o 平移得到的 因此这两个函数图像形状相同 只是位置不同 下面我们就以二次函数y n z 2 n o 为例 来研究抛物线上点的运动规律 我们将解析式y a z 2 口 o 变形为音y z 2 你能否把等式左边用两个完全平方式表示 出来 生1 詈 麦 2 一 詈一麦 2 一z 2 1 师 说说这一变形你是怎么想到的 生1 我是将丢y 拆成4 1 2 口 Y 2 然后构造 去与普的和与差的平方差 一 师 还有其它拆分方法吗 生2 将扣拆成4 去 詈得 丢 2 一 导一丢 2 z 2 2 生3 因为丢y 一4 石1 y 还可以拆成 y 丢 2 一 y 一拶 3 师 同学们拆的很好 我们选取 3 式进行研 究 将 3 移项变形得 y 去卜户研 请你用几何语言叙述一下该等式的几何 意义 e l 平面上 动点M x y 到定点F O 4 1 n 的 距离与点M 到直线Y 一一圭的距离相等 士 师 请你一般地概括一下抛物线的这一性质 生 抛物线上的任意一点到一个定点的距离 与到一条定直线的距离相等 师 一般地 我们给出抛物线的定义如下 平 面内与一个定点F 和一条定直线l F 售z 的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线 的焦点 定直线z 叫做抛物线的准线 师 如果定点F 在定直线 上 动点的轨迹是 什么 生 过点F 垂直于l 的直线 教学感悟爱因斯坦说 提出一个问题往往 比解决一个问题更为重要 因为解决一个问题也 许是一个数学上或实验上的技巧问题 而提出新 的问题 新的可能性 从新的角度看旧问题 却需 要创造性的想像力 而且标志着科学的真正进 步 提出问题是学生的一种重要的能力 在教学 中 我们要鼓励学生提出问题 并对学生所提的问 题分析思考 是我们了解学生 有针对性地进行教 学设计的基础 利用好问题资源会使我们的教学 更接近学生的认知水平 使课堂生成更加精彩 以上是我在平时课堂教学中的几个特写片 断 实践证明 创造民主 开放 和谐的课堂气氛 设计好的问题情境 教师以学习者的姿态和学生 沟通交流 是激发学生学习热情 启发学生创新思 维的有效策略 当然这需要教师具备深厚的功底 和收放自如的课堂驾驭能力 只要我们在教学中 不断地积淀历练 思考探索 课堂才会有多彩的生 成 创新的联想 智慧的闪现 这正是我们作为教 师努力追求的目标 上接第4 3 页 学中的概念 性质 定义 定理及每个知识的本质 特征 借助几何直