浙江省富阳市第二中学高三数学《平面向量的基本定理及坐标表示》复习课件 .ppt

第二节平面向量的基本定理及坐标表示 基础梳理 1 平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理定理 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线的向量 那么对于这一平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1 e2表示成a 1e1 2e2的形式 我们称它为向量a的分解 当e1 e2所在直线互相垂直时 这种分解也称为向量a的正交分解 3 平面向量的坐标表示 一般地 对于向量a 当它的起点移至原点o时 其终点的坐标 x y 称为向量a的 直角 坐标 记作a x y 若分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 则a xi yj 2 平面向量的坐标运算 1 加法 减法 数乘运算 2 向量坐标的求法已知a x1 y1 b x2 y2 则ab x2 x1 y2 y1 即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标 3 平面向量平行 共线 的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 其中a 0 则a与b共线a 典例分析 b 题型一平面向量基本定理 例1 如图 在 oab中 ad与bc交于点m 设 以a b为基底表示 分析本题可用待定系数法 设om ma nb m n r 再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组 确定m n的值 解设om ma nb m n r 则am om oa m 1 a nb 因为a m d三点共线 所以 即m 2n 1 又因为c m b三点共线 所以 即4m n 1 所以 学后反思 1 在平面向量基本定理的应用中 当基底确定后 向量的表示是唯一的 合理地选取基底会给解题带来方便 2 解决该类问题 用基底表示向量是基本方法 还应注意三角形法则 中点坐标公式的熟练应用 举一反三 1 如图所示 oadb是以向量 a b为边的平行四边形 点c为对角线ab od的交点 又bm bc cn cd 试用a b表示 解析 题型二平面向量的坐标运算 分析根据题意可设出点c d的坐标 然后利用已知的两个关系式 列方程组 求出坐标 解设点c d的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由题意得ac x1 1 y1 2 ab 3 6 da 1 x2 2 y2 ba 3 6 因为所以有所以点c d的坐标分别是 0 4 2 0 从而cd 2 4 学后反思向量的坐标是向量的另一种表示形式 它只与起点 终点 相对位置有关 三者中给出任意两个 可求第三个 在求解时 应将向量坐标看作一 整体 运用方程的思想求解 向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算 必须熟练掌握 举一反三2 已知a 2 4 b 3 1 c 3 4 且cm 3ca cn 2cb 求m n及mn坐标 解析 a 2 4 b 3 1 c 3 4 ca 1 8 cb 6 3 cm 3ca 3 24 cn 2cb 12 6 设m x y 则cm x 3 y 4 3 24 同理可求n 9 2 因此mn 9 18 题型三平面向量的坐标表示 例3 平面内给定三个向量a 3 2 b 1 2 c 4 1 1 若 a kc 2b a 求实数k 2 设d x y 满足 d c a b 且 d c 1 求d 分析 1 由两向量平行的条件得出关于k的方程 从而求出实数k的值 2 由两向量平行及 d c 1得出关于x y的两个方程 解方程组即可得出x y的值 从而求出d 解 1 a kc 2b a 又a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 2 3 4k 5 2 k 0 2 d c x 4 y 1 a b 2 4 又 d c a b 且 d c 1 学后反思 1 与平行有关的问题 一般地可考虑运用向量平行的充要条件 用待定系数法求解 2 向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法 也为点共线 线平行问题的处理提供了简单易行的方法 解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式特征 应学会利用这一点来构造函数和方程 以便用函数与方程的思想解题 举一反三 3 已知梯形abcd中 则a 1 1 b 3 2 c 3 7 若 求d点坐标 解析设d点坐标 x y 则 x 1 10 y 1 0 解得x 9 y 2 d点坐标为 9 2 分析利用向量相等 建立点p x y 与已知向量之间的关系 表示出p点的坐标 然后根据实际问题确定p点坐标的符号特征 从而解决问题 解 1 o 0 0 a 1 2 b 4 5 oa 1 2 ab 3 3 op oa tab 1 3t 2 3t 若p在x轴上 则2 3t 0 解得若p在y轴上 则1 3t 0 解得若p在第二象限 则 2 oa 1 2 pb po ob 3 3t 3 3t 若四边形oabp为平行四边形 则oa pb 而无解 故四边形oabp不能成为平行四边形 学后反思 1 向量的坐标表示 实际上是把向量的运算代数化 从而实现了数与形的有机结合 这样很多的几何问题都可以转化为代数的运算 体现了向量的优越性 2 利用设出参数求参数是解决向量坐标运算问题的常用方法 而方程 组 是求解的重要工具 这一方法需灵活应用 举一反三4 如图所示 已知点a 4 0 b 4 4 c 2 6 求ac和ob交点p的坐标 解析方法一 设p x y 则op x y ob 4 4 op ob共线 4x 4y 0 又cp x 2 y 6 ca 2 6 且向量cp ca共线 6 x 2 2 6 y 0 解由 组成的方程组 得x 3 y 3 点p的坐标为 3 3 方法二 设op tob t 4 4 4t 4t 则ap op oa 4t 4t 4 0 4t 4 4t ac 2 6 4 0 2 6 由ap ac共线的充要条件知 4t 4 6 4t 2 0 解得 op 4t 4t 3 3 点p的坐标为 3 3 易错警示 例2 已知a 1 1 b 1 3 c 1 5 d 2 7 向量平行吗 直线ab平行于直线cd吗 错解分析在证明三点共线或直线平行时 直接由得ab cd 这是不正确的 因为向量平行与直线平行存在一定的差异 向量平行不等于对应的直线平行 还可能出现直线的重合 而直线平行时 对应的向量平行 所以解题时应区分开这一点 正解 2 4 1 2 2 2 4 1 0 又 2 6 2 4 a b c三点不共线 直线ab与直线cd不重合 ab cd 错解 1 1 3 1 2 4 2 1 7 5 1 2 又 2 2 4 1 0 ab cd 考点演练 10 已知a 1 2 b 3 2 若ka b与a 3b平行 求k的值 解析方法一 ka b k 3 2k 2 a 3b 10 4 当ka b与a 3b平行时 存在唯一实数 使ka b a 3b k 3 2k 2 10 4 方法二 ka b k 3 2k 2 a 3b 10 4 ka b a 3b k 3 4 10 2k 2 0 k 11 已知 abc中 a 7 8 b 3 5 c 4 3 m n是分别ab ac的中点 d是bc的中点 mn与ad交与f 求 解析如图所示 a 7 8 b 3 5 c 4 3 3 7 5 8 4 3 4 7 3 8 3 5 d是的中点 又 m n分别为ab ac的中点