天体运动中的两个基本物理模型和几种特殊情况.pdf

1 2 2 No 2 3 2 X 1 1 2 O O 4 1 0 物理教学探讨 J o u rna l o f P h y s i c s T e a c h i n g 第 2 2卷 总第 2 3 2期 2 0 0 4年 第 1 1 期 下半月 天体运动中的两个基本物理模型和几种特殊情况 丁 志 军 浙江省上虞市东关中学 浙江 上虞 3 1 2 3 5 2 由无数天体组成的广袤无垠的宇宙始终是 人们渴望 了解 不断探索的领域 近年随着宇宙 大爆炸理论 的成熟和由于航天技术的飞速发展 而取得的大量对宇宙观测的新成果 使得天体运 动的研究又进入了新高潮 同时有关天体运动的 问题也成为近年高考的热点 在高中物理中 应用万有引力解决天体运动 问晒时 由于 涉及 的 问题 多 公 式 多 研 究 的对 象 情景千变万化 学生感觉很乱 但仔细分析这 部分知识 就会 发 现 其 中大 部分 问题 可 归 结 为二 个基本物理模型 即 行星模型 和 球体模型 其余部分 问题是 比前二个模型更复杂的几种特 殊情 况 1 两个基本 物理模型 1 行星模 型 如图 1 所示 把星体 r n 可 以是行星 卫星 绕 中心天体 可以是太阳 行星 的运动 看作是 以中心天体 的球心 为圆心的匀速 圆周运动 它们 间的万有 引力提供 向心力 图 1 有 c m M m v 2 砌 2 r m r r 因而 可得 等结论 2 球 体模型 如图 2所示 研究的物体 rn在天体 的表面上 如果不 考虑天体 的 自转 即只是一 个静止的球体 则 r n 受到的万 有引力等于重力 有 G M m 当天体 自 图 2 转 角速度很小 时 该式也 近似成立 因而可得 G M R g关 系式 例 1 2 0 0 0年 1 月 2 6日我 国发射 了一颗 同步 卫 星 其 定点位 置与东 经 9 8 的经 线在 同一 平 面 内 若把甘肃嘉峪关处的经度和纬度近似取为东 经 9 8 北纬 a 4 0 已知地球半径 为 尺 地球 自 转 同期 为 地球表 面重力 加速 度 g 视 为常量 和光速 c 试求该 同步卫 星发 出的微 波信 号传 到 嘉峪关处 的接 收站所需的 时间 要求 用题 给 的 已 知量 的符号表 示 解析 设 r n为卫 星质量 为地 球质量 r 为卫 星到地球 中心的距离 为卫 星绕地 心运 转 的周期 由行星模型得 G M m m 4 1 rZ r m 一 再 由球体模型得 G M m m g 所 以 G M R g 把 代人 得 一匝 设 嘉 峪 到 卫 星 图 3 的距离为 如 图 3 所 示 由余弦定理得 r 故 所求时问 由以上各式得 C 一 2 尺 co sa 2 几种特 殊情 况 1 卫星 沿随圆轨 道运动 例 2发射地球 同步卫 星 时 先将 卫 星发 射 至近地 圆轨 道 1 然而经点火 使其 沿椭 圆 轨道 2 运行 最后再次点火 将 卫星送 人 同步 圆轨 道 3 轨 道 1 2 相切于 Q点 轨道 2 3 相 图4 切于 P点 如 图 4 所示 则 当卫 星分 别在 1 2 3轨 道上正常运行时 以下说法正确的是 A 卫星在轨道 3上的速率大于在轨道 1 上 的速率 B 卫 星在轨道 3 上角速度小 于在轨道 1 的 m 维普资讯 第 2 2卷 总第 2 3 2期 2 0 0 4年 第 l 1 期 下半 月 物理教学探讨 V o 1 2 2 N o 2 3 2 J o u rna l o f P h y s i c s T e a c h i n g X i i 2 0 0 4 1 角速度 C 卫 星在轨道 1 上经 过 Q点 时的加速 度大 于它 在轨道 2上经过 0点时 的加速 度 D 卫星在 轨道 2上 经过 P点时 的加速 度等 于它在轨 道 3上经过 P点时的加速度 解 析 卫 星在圆轨道上运行时 由前可知 G M 故 A 错 B 正 确 一 蚁 韬 止 硎 0 f r 卫 星在各种轨道 上经 P Q点时加 速度都 是 由万有引力提供的 所以有 n 它与沿哪个 r一 轨道经过 此点无关 故 C错 D正确 说 明 卫 星 沿椭 圆 轨道 运行 时 它 的加 速 度 的大小 和速度 的大小 都在不 断地 发生 变化 根 据只有万 有 引力 提 供卫 星 的加 速度 可 计 算 和讨 论加速度大小的变化 而速度大小的变化在中学 阶段是无法定量计算的 但定性的变化情况是应 该搞清的 首先要知道卫星在近地点 Q的速度最 大 在远地点 P的速 度最 小 因为卫 星在 远离 地 球过程 中 它 的引力 势能 不 断增 大 所 以速度 不 断减小 其次能根据卫星分别在 p P两位置经 点火而速度增加的现象 比较出卫星沿椭圆轨道 运动到 Q点时的速度大于它在圆轨道 1 上的环 绕速度 而沿椭 圆轨道运动 到 P点时的小于在圆 轨道 3上 的环绕速度 2 天体的 自转 不能忽略 例 3 中子 星是恒星演化过程 的一种 可能结 果 它的密度很大 现有一 中子 星 观察 到它 的 自 转周期 为 s 问该 中子 星的最小密 度应是 多少才 能维持该星体的稳定 不致 因 自转而瓦 解 计算时星 体可视为均匀球体 引力常量 G 6 6 7 X 1 0 一 m3 k g S 2 解析 考虑 中子星赤道处一小块物质 只 有当它受 到 的万 有 引力 大 于或 等 于它 随 星体 一 起旋转所需 的向心力 中子 星才不会 瓦解 设 中子星密度 为 p 质量 为 半 径 为 R 自 转角速度为 位于赤道处的小块物质质量为 m 则有G Mim m R w n M 导丌 R lD 上 由 2 1 各式得 lD 代人数据解得 P 1 2 7 X 1 0 k g m3 说明 首先 当天体 自转时 它已不是一个 惯性参照系了 在它的表面上相对静止的物体随 天体一起做 圆周运 动 因此 这样 的物体受 到 的合 外力不再 为零 而等于物体 所需 的向 l 力 其 次 这个 向心力来 自天体 对物体 的万有 引 力 它是 引 力的一 个分力 引力的另一个 分 力是物 体 所受 的 重力 因此 在 自转天 体表 面 上 的物 体 的重 力不 再等于它们 间的万有 引力 即前 面 的 球 体模 型 在 这里 已不适用 解决这类 问题 时需要 利 用 圆周 运 动的知识进行具体分 析 象 本题 是根 据物 体 受 到的万有 引 力不 足 以提供 随天体 自转 所需 的 向 心力 时 它要脱 离天体飞 出去 这一 特点 列方 程求 解 的 3 双星 例 4 两个 星球 组成 的双 星 它们 在相 互间 的万有 引力作用 下 绕连 线上 某点 做周期 相 同 的 匀速 圆周运 动 现 测得 两星 中心距 离 为 尺 其运 动周期 为 7 1 求两星 的总质 量 解析 设 两 星球 的 一 质量分别为 m1 m 2 绕连 线上 0 f p NN NNN 动 两星球离 0点距 离分 别为 r l r 2 如图5 所示 图 5 两星球 由互相 吸引的万有引力提供它们绕 0点运动 的向心力 即 G m 1 m 2 m I r lI r l 2T 丌 i G m 1 7 1 2 m2 1 2 T 2 丌 m 2 厂 又 r I 2 R 由以上各式得两星球 的总质量 47 r 2R3 m2 说明 双 星是指 两颗 由于万 有引 力作 用沿 着轨道彼 此互相环绕运动 的星球 双星 现象 在宇 宙中是 比较普遍 的 它 的特点 是两 颗 星球 的向 12 力 周期相 同 以它们 的公共质 心 连线上 某处 O 点 作半径不 同 的圆周 运动 地球 与 月球 实 际 上 也是 一个 双 星系统 它 们 绕 公 共 质 心 作 圆周 运 动 由于地 球 质量远 大地 月 球 质量 其 公 共质 心 很靠近地 心 因此通常情 况下 可认 为月球 绕 地球 运 动 4 黑洞 例 5 黑洞是 近代 引力理论预 言的一种特殊 天体 它 的质 量十 分 巨大 以 致 于其 脱 离 速 度有 可能超过真空中的光速 任何物体都不能脱离它 的束缚 甚 至 连光 也不 能射 出 已知 物 体 脱离 地 维普资讯 Vo 1 2 2 No 2 3 2 X 1 1 2 0 0 4 1 2 物 理教 学探讨 第 2 2卷 总第 2 3 2期 J o u rna l o f P h y s i c s T e a c h i n g 2 0 0 4年 第 1 1 期 下半 月 球 的 逃 逸 速 度 第 二 宇 宙 速 度 是 其 中 尺分别表示 地 球 的质 量 和半 径 引力 常量 G 6 6 7 1 0 一 u m 3 s 1 设某黑 洞质量等 于太 阳的质量 2 0 1 0 3 0 k g 求它的可能半径 2 天文学家 根据 天 文观 察公 布 以下 结果 在银河系中心可能存在一个大黑洞 它的引力使 距该黑 洞 6 o亿 k m的星体 以 2 0 0 0 k m s的速 度绕 其旋转 若视星体做匀速圆周运动 试求该黑洞 的质 量 3 在 目前天文观察范 围内 宇宙的平均密 度为 1 0 1 0 k g m3 若视 宇宙是 一个 均 匀的 大球体 光 子也 不 能逃离 宇 宙 则宇 宙 的半 径至 少应 为多少 解析 1 当某 天体 的逃逸 速度 c时 它 就成为黑洞 了 所 以 c 得 R c 其 中 尺分别为宇宙的质量和半径 而宇 宙 的质量 n p R 代 人上式 得宇 宙半径 尺 彘 4 o 1o 26 m 4 2 1 0 0 光 年 说明 黑洞作为一种特殊的天体一直受到 广泛的关注 种种迹象表明它确实存在于人的视 野之外 由于黑洞的特殊性 所 以分析时一定要 抓住 其 黑 的原 因 即光子也 逃不出它的引力约 束 有关 黑洞 的 内容课 本上是 以 阅读材 料 的 形式给出的 对 于这些 内容我们不可掉 以轻心 一 定要认真去阅读 因为近年的高考试题有不少 题 目都是以课本中的阅读材料为背景命题的 5 宇宙膨胀说 例 6 在研究宇宙发展演变的理论中 有 种学说 叫做 宇宙膨胀说 这种学 说认 为万有 引 力常量 G在缓慢地 变小 根 据 这 一理 论 在 很 久 以前 太 阳系中地球 的公 转情况与现 在相 比 A 公转半径 r 较 大 B 公转周期 7 1 较大 C 公转速率 较 大 D 公转角 速度 较小 解析 太 阳系在 漫长 的演 变 过程 中 由于 万有 引力常量 G在缓慢地 变小 地球所 受的万有 引力在变化 故地球公转的半径 r 周期 7 1 速率 角速度 均在 变化 即地球 做的不是匀速 圆周 运动 但 由于 G减 小 的非 常缓慢 在不 太 长 的时 间内 可 以认为地球仍是绕太阳做匀速圆周运 动 则利用行星模型可得 G M G M 4 7 c z l 因此 关键是判断 出地球公 转半径 r随 G减 小的变化情况 地球在 做匀 速圆周 运动 时 F万 F 向 但 当 G减小 时 万也减小 则 FT i F 向 即 万有引力不足以提供地球做匀速圆周运动所需 的向心力 所 以地球将做离心运动 公转半径 r 不断地变大 据此可知 公转周期 7 在变大 公转 速率 在 变小 公转 角速 度 也在 变小 故 C正 确 说明 这 几种 特殊 的天体 运 动 的题 目 都 是信息应用题 解此类 题的关键 是根 据材 料提供 的信息构建相应的物理模型 这需要仔细阅读题 文 捕捉有效信息 挖掘关键语句 如本题 宇宙 膨胀说 中的 万 有引力 常 量 G在 缓慢 地 变小 是关键语句 根 据对 缓 慢 的正 确理 解 建立地 球公转 的行星模型 再利 用 G在 变小 讨论 地球 将要