22_直接证明与间接证明(人教A选修1-2).ppt

用P表示已知条件 定义 定理 公理等 用Q表示要证的结论 则上述过程可用框图表示为 2 2 2反证法 思考 A B C三个人 A说B撒谎 B说C撒谎 C说A B都撒谎 则C必定是在撒谎 为什么 分析 假设C没有撒谎 则C真 那么A假且B假 由A假 知B真 这与B假矛盾 那么假设C没有撒谎不成立 则C必定是在撒谎 思考 将9个球分别染成红色或白色 那么无论怎样染 至少有5个球是同色的 你能证明这个结论吗 分析 假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4 则球的总数应不超过4 4 8 这与球的总数是9矛盾 因此 无论怎样染 至少有5个球是同色的 反证法 假设命题结论的反面成立 经过正确的推理 引出矛盾 因此说明假设错误 从而证明原命题成立 这样的的证明方法叫反证法 反证法的思维方法 正难则反 例1 用反证法证明 如果a b 0 那么 例4求证 是无理数 例5 已知直线a b和平面 如果且a b 求证 a a b P 例3 证明 圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分 已知 在 O中 弦AB CD相交于P 且AB CD不全是直径求证 AB CD不能互相平分 A B C D 假设圆的两条不是直径的相交弦可以互相平分 O中 弦AB与弦CD相交与点P 且AP BP CP DP 连结OP AP BP OP AB 平分弦的直径垂直于弦 同理 CP DP OP CD 这样 过点P就有AB与CD两条不同的直线与OP垂直 这与 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 的定理相矛盾 所以 假设错误 因此 原命题成立 即 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 假设两条相交弦相互平分 则交点为两条弦的中点 交点到4个端点的距离相等 根据圆的定义 4个端点在以交点为圆心 半弦长为半径的圆上 而两条弦相交 4个端点不在同一直线上 4个端点只能确定一个圆 所以两个圆重合了 两条弦只能是直线 与假设矛盾 所以不是直径的两条相交弦不能互相平分 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明 注 反证法是最常见的间接证法 一般地 假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 归谬法 理论 反证法的证明过程 否定结论 推出矛盾 肯定结论 即分三个步骤 反设 归谬 存真 反设 假设命题的结论不成立 存真 由矛盾结果 断定反设不成立 从而肯定原结论成立 归谬 从假设出发 经过一系列正确的推理 得出矛盾 用反证法证明命题的过程用框图表示为 肯定条件否定结论 导致逻辑矛盾 反设不成立 结论成立 反证法的思维方法 正难则反 练习已知a 0 证明x的方程ax b有且只有一个根 证 由于a 0 因此方程至少有一个根x b a 注 结论中的有且只有 有且仅有 形式出现 是唯一性问题 常用反证法 如果方程不只一个根 不妨设x1 x2 x1 x2 是方程的两个根 1 直接证明有困难 正难则反 归纳总结 哪些命题适宜用反证法加以证明 牛顿曾经说过 反证法是数学家最精当的武器之一 3 唯一性命题 2 否定性命题 4 至多 至少型命题 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法 知识结构 思考题 甲 乙 丙三箱共有小球384个 先由甲箱取出若干放进乙 丙两箱内 所放个数分别为乙 丙箱内原有个数 继而由乙箱取出若干个球放进甲 丙两箱内 最后由丙箱取出若干个球放进甲 乙两箱内 方法同前 结果三箱内的小球数恰好相等 求甲 乙 丙三箱原有小球数 甲 208个 乙 112个 丙 64个 作业 设甲乙丙分别放球x y 384 x y个球先由甲箱取出若干箱放进乙 丙两箱内 所放之数分别为乙 丙原有之数 甲乙丙中有x y 384 x y 2x 384 2y 768 2x 2y个球 继而由乙箱取出若干放进甲 丙两箱内 甲乙丙中有4x 768 2y 2x 384 768 2x 2y 4y 384 1536 4x 4y个球 最后由丙箱取出若干放进甲 乙两箱内 甲乙丙中有8x 1536 8y 768 1536 4x 4y 4