复习：二维随机变量函数的分布PPT课件.ppt

随机变量函数的分布 复习 例1设 X Y 的概率密度是 求 1 c的值 2 两个边缘密度 5c 24 1 c 24 5 解 1 例1设 X Y 的概率密度是 解 2 求 1 c的值 2 两个边缘密度 注意积分限 注意取值范围 例1设 X Y 的概率密度是 解 2 求 1 c的值 2 两个边缘密度 注意积分限 注意取值范围 即 解 0 x 1 0 y 1 由于存在面积不为0的区域 故X和Y不独立 为了解决类似的问题下面我们讨论多维随机变量函数的分布 问题 一 二维离散型随机变量的函数的分布 设 X Y 是二维离散型随机变量 则Z X Y的分布也是一个随机变量 下面讨论其分布 设 X Y 的联合分布律为P X xi Y yj pij i j 1 2 则Z X Y的可能取值zk xi yj k 1 2 因此Z也是离散型随机变量 其分布律为 求和是对一切使xi yj zk的i j来作 特别 若X与Y相互独立 则 类似地 可讨论其它情形 例1设二维随机变量 X Y 的联合分布律如下表所示 试求Z1 X Y Z2 XY Z3 max X Y 的分布律 112 12 0 250 10 3 0 150 150 05 解先列出如下表格 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 Z1 X Y Z2 XY Z3 max X Y 0 250 10 30 150 150 05 201134 1 1 2 224 112222 因此 Z1 X Y的分布律为 20134 0 250 10 450 150 05 Z2 XY的分布律为 2 1124 0 450 10 250 150 05 Z3 max X Y 的分布律为 112 0 250 10 65 例2已知随机X Y相互独立 且X P 1 Y P 2 试求Z X Y的分布律 解因X与Y均服从泊松分布 所以X与Y的取值为任一非负整数 因此Z X Y的取值也为全体非负整数 由概率的运算法则知 对一任非负整数k 有 即X Y P 1 2 该结论也称为泊松分布的可加性 例3假设随机变量X1 X2 X3 X4相互独立 且同分布P Xi 0 0 6 P Xi 1 0 4 i 1 2 3 4 1 求行列式的概率分布 2 线性方程组只有零解的概率 解 1 记Y1 X1X4 Y2 X2X3 则 Y1 Y2 且Y1和Y2独立同分布 随机变量Z Y1 Y2有三个可能值 1 0 1 于是行列式Z的概率分布为 2 线性方程组只有零解 也就是Z 0 故有 二 二维连续型随机变量的函数的分布 设二维连续型随机变量 X Y 的联合概率密度为f x y 则Z X Y的分布函数为 这里积分区域G x y z是直线x y z的左下方半平面 如下图 1 和的分布 Z X Y 作变量代换y u x得 Why 例4设X Y是相互独立的服从标准正态分布N 0 1 的随机变量 求Z X Y的概率密度 解由于 即Z N 0 2 一般来说 若Xi i 1 2 n 是n个相互独立的服从N i i2 分布的随机变量 则仍然是一个服从正态分布N 2 的随机变量 且其参数为 这个事实 也称正态分布具有可加性 例5设随机变量X与Y相互独立 且都服从 a a a 0 上的均匀分布 试求它们的和Z X Y的概率密度 解X与Y的概率密度分别为 显然仅当 上述积分不等于零 因此 当0 z 2a时 当 2a z 0时 所得到的分布称做辛卜生 Simpson 分布或称做三角分布 其概率密度曲线如图 则有 2 M max X Y 及N min X Y 的分布 故有 推广 例6 解 例7设X1 X2 Xn相互独立 且都服从 0 1 上的均匀分布 试求U max X1 X2 Xn 及V min X1 X2 Xn 的密度函数 解因为相应于 0 1 上均匀分布的分布函数为 因此U的分布函数为 故U的概率密度为 而V的分布函数为 故V的概率密度为 小结 1 离散型随机变量函数的分布律 2 连续型随机变量函数的分布 一 重点与难点 二 主要内容 三 典型例题 第三章多维随机变量及其分布习题课 一 重点与难点 1 重点 二维随机变量的分布 有关概率的计算和随机变量的独立性 2 难点 条件概率分布 随机变量函数的分布 定义 联合分布函数 联合分布律 联合概率密度 边缘分布 条件分布 两个随机变量的函数的分布 随机变量的相互独立性 定义 性质 二维随机变量 推广 二 主要内容 二维随机变量 1 定义 二维随机变量的分布函数 且有 2 性质 3 n维随机变量的概念 二维随机变量 X Y 的分布律也可表示为 二维离散型随机变量的分布律 离散型随机变量 X Y 的分布函数为 2020 2 6 51 二维连续型随机变量的概率密度 1 定义 2 性质 表示介于f x y 和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1 3 说明 4 两个常用的分布 设D是平面上的有界区域 其面积为A 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 则称 X Y 在D上服从均匀分布 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 边缘分布函数 为随机变量 X Y 关于Y的边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布 随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为 联合分布 边缘分布 连续型随机变量的边缘分布 同理得Y的边缘概率密度 1 离散型随机变量的条件分布 随机变量的条件分布 同理可定义 2 连续型随机变量的条件分布 联合分布 边缘分布 条件分布的关系 联合分布 随机变量的相互独立性 说明 1 若离散型随机变量 X Y 的联合分布律为 二维随机变量的推广 其它依次类推 5 随机变量相互独立的定义的推广 随机变量函数的分布 1 离散型随机变量函数的分布 当X Y独立时 2 连续型随机变量函数的分布 则有 推广 三 典型例题 例1 解 例2 解 故得 从而有 因此 求证 随机变量X没有数学期望 证由定义 数学期望应为 由微积分学可知 右边的级数发散 因此 随机变量X没有数学期望 设随机变量X的分布律为 备用题例8 1 解 由于 例8 2 柯西分布 设随机变量X服从柯西分布 求E X 因X服从柯西分布 则其密度函数为 因而其数学期望E X 不存在 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光 例9 1 解 已知X在 0 60 上服从均匀分布 其密度为 电梯于每个正点的第5分钟 第25分钟和第55分钟从底层起行 假设在早上的8点的第X分钟到达底层候梯处 且X在 0 60 上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望 考研试题 设Y是游客等候电梯的时间 单位 分 则 因此 11 67 解 例9 2 设随机变量X的分布密度函数为 试求 考研试题 解 例9 3 报童问题 设某报童每日的潜在卖报数 若记真正卖报数为Y 则Y与X的关系如下 X服从参