第4章 参数估计.ppt

第4章参数估计 4 1参数估计的一般问题 4 2一个总体参数的区间估计 4 3样本容量的确定 4 1参数估计的一般问题 一 估计量与估计值二 点估计与区间估计三 评价估计量的标准 一 估计量与估计值 estimator estimatedvalue 估计量与估计值概念 估计量 用于估计总体参数的随机变量 即 用于估计总体参数的统计量的名称 如样本均值 样本比例 样本方差等2 估计值 估计参数时计算出来的统计量的具体数值 如通过某个特定的样本求出该样本的均值 x 80 则80就是相应总体参数 的估计值 二 点估计与区间估计 pointestimate intervalestimate 点估计 定义 用样本统计量的某个取值直接作为总体参数的估计值 称为参数的点估计 例如 用样本均值直接作为总体均值的估计优点 计算简单 快捷 缺点 由于没有给出估计值接近总体参数程度的信息 所以该法估计的可靠性差 区间估计 定义 在点估计的基础上 给出总体参数估计的一个区间范围 称作参数的区间估计 总体参数的估计区间通常是由样本统计量加减抽样误差得到的 优点 区间估计可以根据样本统计量的抽样分布 能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量 区间估计的图示 置信区间 在区间估计中 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间 其中区间的最小值叫做置信下限 最大值叫做置信下限 2 置信水平 是将构造置信区间的步骤重复多次后 置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例 也称为置信系数或置信度 置信水平通常用符号 1 表示 总体参数不包括在置信区间内的概率 区间估计中的两个基本概念 区间估计 数理统计中的概念 定义 设是总体的一个参数 是来自总体的一组样本 是两个统计量 且 对给定的常数及任意的参数 有则称随机区间是的置信度 置信水平 为的置信区间 区间估计 其中分别为置信下限和置信上限 影响置信区间宽度的因素 1 样本容量 当置信水平 1 固定时 置信区间的宽度随样本容量的增大而减小 2 置信水平 1 当样本容量给定时 置信区间的宽度随着置信水平的增大而增大 对置信区间的理解有以下几点要注意 1 如果用某种方法构造的所有区间中有95 的区间包含总体参数的真实值 由5 的区间不包含总体参数的真值 那么用该方法构造的区间称为置信水平为95 的置信区间 2 总体参数的真值是固定的 未知的 而用样本构造的区间则是不固定的 3 在实际问题中 进行估计时往往只抽取一个样本 此时所构造的是与该样本相联系的一定置信水平下的置信区间 注意一类表述 如果以95 的置信水平得到某班学生考试成绩的置信区间为 60 80 问 能否说全班学生平均考试成绩的真值以95 的概率落在 60 80 或者说 60 80 这个区间以95 的概率包含全班学生平均考试成绩的真值 错误的原因 这个概率不是用来描述某个特定的区间包含总体参数真值的可能性 而是针对随机区间而言的 评价估计量的标准 一 无偏性 unbiasedness 无偏性 估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数 设总体参数为 所选择的估计量为 如果满足 则称为的无偏估计量 二 有效性 efficiency 有效性 对同一总体参数的两个无偏点估计量 有更小标准差的估计量更有效 设有两个无偏估计量和 如果有则称比更有效 三 一致性 consistency 一致性 随着样本容量的增大 估计量的值越来越接近被估计的总体参数 即 4 2一个总体参数的区间估计 一 总体均值的区间估计二 总体比例的区间估计三 总体方差的区间估计 一个总体参数的区间估计 总体均值的区间估计 1 大样本 假定条件 总体方差 已知那么我们使用的统计量为正态分布z统计量 则在此条件下推导出的总体均值 在置信水平1 下的置信区间为 假定条件 总体方差 未知 则在此条件下推导出的总体均值 在置信水平1 下的置信区间为 那么我们使用的统计量为正态分布z统计量 2 小样本 假定条件 总体服从正态分布 且方差 已知 则在此条件下推导出的总体均值 在置信水平1 下的置信区间为 那么我们使用的统计量为正态分布z统计量 假定条件 总体服从正态分布 且方差 未知 则在此条件下推导出的总体均值 在置信水平1 下的置信区间为 那么我们使用的统计量为服从t分布的t统计量 例题 例1 一家食品生产企业以生产袋装食品为主 为对产量质量进行监测 企业质检部门经常要进行抽检 以分析每袋重量是否符合要求 现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋 测得每袋重量如下表所示 已知产品重量的分布服从正态分布 且总体标准差为10g 试估计该批产品平均重量在95 置信水平下的置信区间 解 已知 N 102 n 25 1 95 z 2 1 96 根据样本数据计算得 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 该食品平均重量的置信区间为101 44g 109 28g 例2 一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本 得到每个投保人的年龄 周岁 数据如下表 试建立投保人年龄90 的置信区间 解 已知n 36 1 90 z 2 1 645 根据样本数据计算得 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 投保人平均年龄的置信区间为37 37岁 41 63岁 例3 已知某种灯泡的寿命服从正态分布 现从一批灯泡中随机抽取16只 测得其使用寿命 小时 如下 建立该批灯泡平均使用寿命95 的置信区间 解 已知 N 2 n 16 1 95 t 2 2 131根据样本数据计算得 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476 8小时 1503 2小时 总体比例的区间估计 假定条件大样本 即满足 则在此条件下我们推导出的总体比例 在置信水平1 下的置信区间为 那么我们使用的统计量为正态分布z统计量 例题 例 某城市想要估计下岗职工中女性所占的比率 随机地抽取了100名下岗职工 其中65人为女性职工 试以95 的置信水平估计该城市下岗职工中女性比率的置信区间 解 已知n 100 p 65 1 95 z 2 1 96 该城市下岗职工中女性比率的置信区间为55 65 74 35 总体比例 在置信水平1 下的置信区间为 总体方差的区间估计 假设条件总体服从正态分布我们使用的是与分布相关的统计量 则在此条件下得到总体方差在置信水平1 下的置信区间为 图示 2 21 2 总体方差1 的置信区间 自由度为n 1的 2分布 例题 例 一家食品生产企业以生产袋装食品为主 现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋 测得每袋重量如下表所示 已知产品重量的分布服从正态分布 以95 的置信水平建立该种食品重量标准差的置信区间 解 已知n 25 1 95 根据样本数据计算得s2 93 21 2置信度为95 的置信区间为 该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7 54g 13 43g 4 3样本容量的确定 一 估计总体均值时样本容量的确定二 估计总体比例时样本容量的确定 总体均值的置信区间是由样本均值和边际误差两部分组成 令代表希望达到的边际误差 即由此可以推导出确定样本容量的公式如下 一 估计总体均值时样本容量的确定 由上式可以看出 样本容量与置信水平成正比 在其他条件不变的情况下 置信水平越大 所需的样本容量也就越大 样本容量与总体方差成正比 总体的差异越大 所要求的样本容量也越大 样本容量与边际误差成反比 即可以接受的边际误差的平方越大 所需的样本容量就越小 例 拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元 假定想要估计年薪95 的置信区间 希望允许误差为400元 应抽取多大的样本容量 解 已知 2000 E 400 1 95 z 2 1 96应抽取的样本容量为 即应抽取97人作为样本 令E代表所希