九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题

圆【知识梳理】 1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径（2）圆的有关性质 圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.（3）对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长） 2.与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数 （2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 （3）圆心角与圆周角的关系： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角3. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。4. 确定圆的条件:1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2. 经过三点作圆要分两种情况:(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.5. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；dr 直线L和O相交.d=r 直线L和O相切.dr 直线L和O相离.3. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线; 过切点; 过圆心.5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.6. 三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.6. 圆和圆的位置关系.1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 dR+r(2)两圆外切 d=R+r(3)两圆相交 R-rdR+r (Rr)(4)两圆内切 d=R-r (Rr)(5)两圆内含 dr)3. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.4. 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.7. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.8. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式: 圆周长C=2R (R表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4. 弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5. 圆的面积公式.圆的面积 (R表示圆的半径)6. 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)弓形的面积公式:(如图5)图5(1)当弓形所含的弧是劣弧时, (2)当弓形所含的弧是优弧时, (3)当弓形所含的弧是半圆时, 例题解析【例题1】如图1，是的外接圆，是直径，若，则等于（ ） A60 B50 C40 D30 图1 图2 图3【例题2】如图2，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为 cm【例题3】如图3，ABC内接于O，AB=BC，ABC=120，AD为O的直径，AD6，那么BD_【例题4】如图4已知O的两条弦AC，BD相交于点E，A=70o，c=50o，那么sinAEB的值为（） A. B. C. D. 图4PBCEA（图8）【例题5】如图5，半圆的直径，点C在半圆上，（1）求弦的长；（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长 三、课堂练习 1、如图6，在O中，ABC=40，则AOC 度CABS1S2BCAO 图6 图7 图82、如图7，AB是O的直径，AC是弦，若ACO = 32，则COB的度数等于 3、已知O的直径AB=8cm，C为O上的一点，BAC=30，则BC=_cm.4、如图8，已知在中，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，则+的值等于 5、如图9，O的半径OA10cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为_cm。 图96、如图10，在O中，ACB=BDC=60，AC=，（1）求BAC的度数； （2）求O的周长7、已知：如图11，O的直径AB与弦CD相交于，弧BC弧BD，O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F(1)求证:CDBF(2)连结BC,若O的半径为4,cosBCD=,求线段AD、CD的长 8、如图12，在ABC中，AB=BC，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作DFBC，交AB的延长线于E，垂足为F(1)求证：直线DE是O的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值 图12 四、经典考题解析 1.如图13，在O中，已知A CBCDB60 ，AC3，则ABC的周长是_. 图13 图14 图152.“圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”用数学语言可表述为如图14，CD为O的直径，弦ABCD于点E，CE1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ） A125寸 B13寸 C25寸 D26寸3.如图15，已知AB是半圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，那么等于（ ） AsinBPD BcosBPD CtanBPD DcotBPD4.O的半径是5，AB、CD为O的两条弦，且ABCD，AB=6，CD=8，求 AB与CD之间的距离5.如图16，在M中，弧AB所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点C是y轴与弧AB的交点。（1）求圆心M的坐标；（2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积 图16 五、课后训练 1.如图17，在O中，弦AB=1.8cm，圆周角ACB=30 ，则 O的直径等于_cm 图17 图18 图192.如图18，C是O上一点，O是圆心若C=35，则AOB的度数为（ ） A35 B70 C105 D150 3.如图19，O内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和1相等的角有_ 4.在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是和，则 BAC的度数为多少？5.如图20，弦AB的长等于O的半径，点C在O上，则C的度数是_. 图20 图21 图22 6.如图21，四边形 ABCD内接于O，若BOD=100，则DAB的度数为（ ） A50 B80 C100 D1307.如图22，四边形ABCD为O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果BOD=120，那么BCE等于（ ） A30 B60 C90 D1208.如图，O的直径AB=10，DEAB于点H，AH=2 （1）求DE的长； （2）延长ED到P，过P作O的切线，切点为C，若PC=22，求PD的长九年级数学圆练习题一、 填空题：（21分）1、 如图，在O中，弦ABOC，则=_2、如图，在O中，AB是直径，则=_3、如图，点O是的外心，已知，则=_BCOA（1题图） （2题图） （3题图） （4题图）4、如图，AB是O的直径，弧BC=弧BD，则 （5题图） （6题图） （7题图） 5、如图，O的直径为8，弦CD垂直平分半径OA，则弦CD 6、已知O的半径为2cm，弦AB2cm，P点为弦AB上一动点，则线段OP的范围是 7、如图，在O中，B=50，C=20，则BOC的=_二、解答题（70分）BD1、如图，AB是O的直径.若ODAC，与 的大小有什么关系？为什么？2、已知：如图，在O中，弦AB=CD.求证：弧AC=弧BD；AOC=BOD3、如图，已知：O中，AB、CB为弦，OC交AB于D，求证：（1）ODBOBD，（2）ODBOBC；4、已知如图，AB、AC为弦，OMAB于M，ONAC于N，MN是ABC的中位线吗？5、已知如图，AB、CD是O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE，求证：D=B6、已知如图，AB是O的直径，C是O上的一点，CDAB于D，CE平分DCO，交O于E，求证：弧AE=弧EB 7、如图，已知ABC，AC=3，BC=4，C=90，以点C为圆心作C，半径为r.(1)当r取什么值时，点A、B在C外.(2)当r在什么范围时，点A在C内，点B在C外.(2)当r在什么范围时，C与线段AB相切。三、计算下列各题：（40分） 1、如图，已知AB为O的直径，AC为弦，ODBC交AC于D，OD =，求BC的长；ABCDE2、如图，在RtABC中，C90，AC3，BC4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长3、如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，DEB=60，求CD的长。4、如图，在直径为100 mm的半圆铁片上切去一块高为20 mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长. 5、如图所示，已知矩形ABCD的边。（1）以点A为圆心，4cm为半径作A，则点B、C、D与A的位置关系如何？（2）若以点A为圆心作A，使