《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计（教案）.doc

向量的数乘运算及其几何意义（人教A版 必修4）教学分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.三维教学目标知识与技能：通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律.过程与方法：通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.情感态度与价值观：通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.教学重难点教学重点：1实数与向量积的意义及其几何意义；2实数与向量积的运算律；3两个向量共线的等价条件及其运算.教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用.课时安排：1课时.教具：三角板、投影仪、多媒体辅助教学.教学流程 课堂小结向量数乘运算律及其几何意义例1及巩固练习探究：观察、发现和类比向量数乘运算的定义及其几何意义实例引入口答题共线向量定理作业布置例2、例3讲解课堂作业 教学过程导入新课：一条细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁向东方向一秒钟的位移对应的向量为，那么它在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是吗？若蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是吗?你能用图形表示吗？ 学生活动：独立思考.教师行为：提问、引导学生作答.设计意图：向量具有丰富的实际背景和几何背景，并且兼具“数”与“形”的特点，它在物理和几何中具有广泛的应用，故本节通过位移的实际背景引入新课.推进新课：探究：已知非零向量，试作出和，你能说明它的几何意义吗？文字通过学生画图得到.的方向与的方向相同，且；的方向与的方向相反，且.学生活动：独立观察、思考、总结.教师行为：提问、引导学生.设计意图：认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过学生自己作出向量和，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识做好铺垫.问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？ 从而推广到一般的向量数乘的定义.（板书）我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与一致；当时，的方向与的方向相反.由（1）可知当时，.设计意图：通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法.问题2：你能说明它的几何意义吗？学生活动：小组合作交流，学生单独作答.设计意图：从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律，在可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象.通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把向量沿的方向或的反方向放大倍或缩小倍.口答：C在线段AB上，且，则 ； .学生活动：独立思考并踊跃回答.教师行为：评价.设计意图：通过简单口答题来巩固学生对向量数乘定义的理解及运用.通过活动过程的成功体验提高学生学习的积极性.问题3：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？（板书） （1）（2）（3）问题4：你能解释上述运算律的几何意义吗？（板书）特别地：， .问题5：你能从形式上描述向量数乘运算律与思考向量线性运算与以前学习过的哪些运算相类似？师生活动：通过类比得到向量数乘运算律；并且通过师生活动得到向量数乘运算、向量的加法、减法可以进行综合运算；实数运算中去括号、移项、提取公因式等可类比进行向量的线性运算.设计意图：数学中引进一个新的量，自然要看看它的运算及其运算律的问题.向量运算可以与学生熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发.而数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律.向量具有明显的几何背景，所以向量的运算及运算律也具有明显的几何意义，尤其是涉及到长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.这样了解向量数乘运算律的几何意义就有必要了.例题讲解:例1计算：1. ；2 ；3 ；巩固练习：（1）计算：；（2）已知：求.学生活动：独立完成，学生单独回答.教师行为：提问、及时评价.设计意图：心理学认为：概念一旦形成，必须及时加以巩固，通过例1及巩固练习加深学生对数乘向量运算律的理解.解以向量作为未知数的方程可与求解实数方程类比.（板书）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量，以及任意实数，恒有.设计意图：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算.问题6：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？师生活动：（分析总结）对于向量、，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义知与共线，且向量是向量模的倍，而的正负由向量、的方向所决定.反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有.从上述两方面可知（板书）共线向量定理：向量、共线，当且仅当有一个实数，使得.思考: 1) 为什么要是非零向量?2) 可以是零向量吗?3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？学生活动：合作交流，独立作答.教师行为：提问、引导、及时评价.设计意图：师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量的前提下，向量、共线，当且仅当有一个实数，使得；且实数的唯一性是由向量和的模和方向同时决定.通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力.例2.如图，已知任意两个向量试作出你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ 教师行为：（分析）判别三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线.本题中应用向量知识判断A、B、C是否共线，可以通过判断向量是否共线，即是否存在，使得成立.分别作向量，过点A、C作直线AC(如右图)，引导学生观察发现，不论向量怎样变化，点B始终在直线AC上，故猜想A、B、C三点共线. 学生活动：在教师的引导下合作交流得出三点共线的证明.设计意图：这道例题是先让学生猜想，再证明；利用向量共线证明点共线，具体方法是先证明向量共线，再证明向量有公共点；进而引出利用向量共线证明直线平行.例3.如图，ABCD的两条对角线相交于点M，且，你能用表示吗？师生互动：利用向量共线的定理及平行四边形的性质定理，即平行四边形的对角线互相平分.，结合平行四边形的性质：，设计意图：综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算.尤其是应当注意到，从而可简化解题过程，并且在实际的解题中做到举一反三、融会贯通；通过例3的教学使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤.课堂作业1.计算： .2.若向量方程，则向量 .3.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则的值为（ ） 4.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明.（1）； （2） ； （3） 5.如图，在ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线.课堂小结一、 的定义及运算律； 向量共线定理， 向量与共线.二、 定理的应用：（1） 证明向量共线；（2） 证明三点共线；A、B、C三点共线；（3） 证明两直线平行： 直线AB直线CD.三、你体会到了那些数学思想. 引导学生体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化.设计意图：1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.2.运用数学方法，创新素