2011届高三数学单元练习及解析计数原理、概率、随机变.doc

计数原理、概率、随机变量及其分布列, 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1A、B、C、D、E五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为 ()A120B324 C720 D1 280解析：第一天有5种排法，以后各天都有4种排法，故总排法为N544441 280种答案：D2在(1xx2)(1x)10的展开式中，含x4项的系数是 ()A135 B135 C375 D117解析：(1xx2)(1x)10(1x3)(1x)9，且(1x)9的展开式的通项是Tr1(x)r(1)rxr，因此(1xx2)(1x)10的展开式中，含x4项的系数等于1(1)4(1)1135.答案：A3(2010安顺模拟)某班级要从5名男生、3名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有一名女生，那么选派的4人中恰好有2名女生的概率为 ()A. B. C. D.解析：由已知易知至少有一名女生的情况共有种，而恰有2名女生的情况共有种可能，故其概率为.答案：D4在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是 ()A. B. C. D.解析：由已知可设ABC的边AB上的高为h.则S|AB|h，SPBC|PB|h，所以SPBCS，又|PB|AB|的概率为；故SPBC的概率为.答案：C5设随机变量的分布列为P(k)pk(1p)1k(k0,1)，则E()，D()的值分别是()A0和1 Bp和p2 Cp和1p Dp和(1p)p解析：的分布列表为：01P1pp知服从两点分布E()p，D()1p(1p)p(1p)答案：D6已知随机变量服从正态分布N(4,62)，P(5)0.89，则P(3) ()A0.89 B0.22 C0.11 D0.78解析：由题意知正态分布图象关于直线x4对称，故由P(5)0.89P(45)0.890.50.39，因此P(34)0.39，故有P(3)0.5P(34)0.50.390.11.答案：C7在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，18的18名火炬手若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 ()A. B. C. D.解析：基本事件总数n，以1为首项3为公差的等差数列，共有6项，符合题意的火炬手有4种选法；同理以2为首项3为公差的等差数列，以3为首项3为公差的等差数列，符合题意的选法分别有4种，故所求概率P.答案：B8某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为 ()A360 B520 C600 D720解析：若甲乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有种不同的发言顺序，综合可得不同的种发言顺序为600种答案：C9抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次实验成功，则在10次实验中，成功次数的期望是()A. B. C. D.解析：由题意一次试验成功的概率为1，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数B，所以E().答案：C10(2010三亚模拟)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为()A. B. C. D.解析：两点设为a，b，则0a1,0b1，两点之间的距离小于，则|ab|，画出可行域，为图中阴影部分，面积为，概率为.答案：C11(2009安徽高考)考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ()A. B. C. D.解析：甲从6个点中任意选两个点连成直线总共有种不同的选法，同样，乙也有种不同的选法，所以总共有225种选法，其中相互平行但不重合的直线共有6对，甲、乙两人选一对，各选一条有12种选法，所以所求概率就是.答案：D12已知函数f(x)x33x，当x在区间上任意取值时，函数值不小于0又不大于2的概率是 ()A. B. C. D.解析：函数f(x)x33x的两个极值点是1、1，三个零点是、0，结合函数图象和函数的单调性可以知道，当x在区间，2上取值时符合要求，故所求的概率是.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分将答案填写在题中的横线上)13如右图，在一个长为，宽为2的矩形OABC内，曲线ysinx(0x)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是_解析：S矩形OABC2，S阴影2，由几何概型概率公式得P.答案：14(2010烟台模拟)若(ax2)9的展开式中常数项为84，则a_，其展开式中二项式系数之和为_(用数字作答)解析：二项式(ax2)9的通项公式为ax(1)r(1)rax，令183r0可得r6，即得常数项为(1)6a84a384，解之得a1.其展开式二项式系数和为29512.答案：151215有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是_解析：若取出的球的标号为1,2,3,4，则共有384种不同的排法；若取出的球的标号为1,1,4,4，则共有24种不同的排法；若取出的球的标号为2,2,3,3则共有24种不同的排法；由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是3842424432.答案：43216将某城市分为四个区(右图所示)，现有5种不同颜色，图每区只涂一色，且相邻两区必须涂不同的颜色(不相邻两区所涂颜色不限)，则区被涂成红色的概率是_解析：区域有C种涂色方法，区域、的涂色方法依次有、种，由分步计数原理知不同涂色方法有240种区域被涂成红色，则区域有种，区域有C种，区域有种，故P.答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A为“恰有一个红球”，事件B为“第3个是红球”求：(1)不放回时，事件A、B的概率；(2)每次抽后放回时，A、B的概率解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中抽一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共654120个，又事件A中含有基本事件324372个，(第一个是红球，则第2,3个是黄球，取法有243种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)，P(A).因为红球数占总球数的，在每一次抽到都是随机地等可能事件，P(B).(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63216种，事件A含基本事件324496种P(A).第三次抽到红球包括B1红，黄，红，B2黄，黄，红，B3黄，红，红，B4红，红，红四种两两互斥的情形，P(B1)；P(B2)； P(B3)；P(B4)，P(B)P(B1)P(B2)P(B3)P(B4).18(本小题满分12分)(2010大连模拟)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数)，如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为.(1)求该小组中女生的人数；(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望解：(1)设该小组中有n个女生根据题意，得.解得n6，n4(舍去)该小组中有6个女生(2)由题意，的取值为0,1,2,3.P(0)；P(1)C2；P(2)C22；P(3)2.故的分布列为：0123PE()0123.19(本小题满分12分)甲，乙两人约定在下午1点到2点之间到某汽车站乘公共汽车又这段时间内有4班公共汽车，它们的开车时刻分别为115,130,145，200.已知甲、乙到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1点到2点的任何时刻到达车站是等可能的(1)如果他们约定见车就乘，求甲，乙同乘一辆车的概率；(2)如果他们约定最多等一辆车，求甲，乙同乘一辆车的概率解：设x，y(1x2,1y2)分别为甲，乙到达的时刻P为甲乙同乘一辆车的概率(1)见车就上的情况如图(1)所示P.(2)法一：最多等一辆车的情况下，甲乙同乘一车包括3种情况：见车就上；甲先到达等一辆车然后与乙同乘一辆车(如图(2)；乙先到达等一辆车，然后与甲同乘一车P2.法二：如图(3)，P.20(本小题满分12分)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0x100)万元投资A项目，100x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)50.8100.26(万元)，D(Y1)(56)20.8(106)20.24，E(Y2)20.280.5120.38(万元)，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.(2)f(x)D(Y1)D(Y2)()2D(Y1)()2D(Y2)(4x2600x31002)故当x75时，f(x)3为最小值21(本小题满分12分)(2010平顶山模拟)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是1 min.(1)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2 min的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间X的分布及期望解：(1)设这名学生在上学路上因红灯停留的总时间至多是2 min为事件B，这名学生上学路上遇到k次红灯为事件：Bk(k0,1,2)则由题意，得P(B0)4，P(B1)31，P(B2)22由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，事件B的概率为P(B)P(B0)P(B1)P(B2).(2)由题意，可得X可能取得的值为0,1,2,3,4(单位：min)事件“Xk”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k0,1,2,3,4)，P(Xk)4kk(k0,1,2,3,4)即X的分布列是X01234PX的期望是E(X)01234.22(本小题满分14分)检测部门决定对某市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、C三级每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都是B级，则该教室的空气质量不合格设各教室的空气质量相互独立，且每次检测的结果也相互独立根据多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C三级的频率依次为，.(1)在该市的教室中任取一间，估计该间教室空气质量合格的概率；(2)如果对该市某中学的4间教室进行检测，记在上午检测空气