湖南省岳阳市一中2014年高三第六次月考数学（理）试卷.doc

湖南省岳阳市一中2014年高三第六次月考数学（理）试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合的值为 A1或1或0 B1C1或1D02.若复数，则复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.下列有关命题的叙述: 若pq为真命题，则pq为真命题。“”是“”的充分不必要条件。命题P：x，使得xx-10)是双曲线的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且点P在抛物线y2=4cx上，则该双曲线的离心率的平方等于A. B. C. D. 10.已知定义在上的函数满足，且， ，若有穷数列（）的前项和等于，则等于( )A4 B5 C6 D 7二 ，填空题： 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第11.12.13三题中选两题作答案，如果全做，则按前两题记分 ）11在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为.设直线l与曲线C的两个交点为A、B，则的值为.12. 已知函数f(x)|x2|，若a0，且a，bR，都有不等式|ab|ab|a|f(x)成立，则实数x的取值范围是.13如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若的面积，则的大小为.(二)必做题（1416题）14在（的二项展开式中，的系数为 15. 已知实数满足，当时，目标函数的最大值函数的最小值为 16已知集合，对于数列中.若三项数列满足，则这样的数列有_个若各项非零数列和新数列满足首项，（），且末项，记数列的前项和为，则的最大值为_三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）设函数.（）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式；（）将满足（）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移个单位，得到函数，求图像与轴的正半轴、y轴、直线所围成图形的面积。18.(本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使/ 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由 19（本小题满分12分）2014年3月1日,部分高校在湖南省城长沙举行自主招生笔试，岳阳、长沙两城之间开通了高速列车，假设岳阳到长沙每天8：009：00，9：0010：00两个时间段内各有一趟列车从岳阳到长沙（两车发车情况互不影响），岳阳发车时间及其概率如下表所示 ：发车时间8:108:308:509:109:309:50概率若甲、乙两位同学打算从岳阳到长沙参加自主招生，假设他们到达岳阳火车站候车的时间分别是周五8：00和周六8：20.（只考虑候车时间，不考虑其它因素）（1）设乙同学候车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（2）求甲、乙二人候车时间相等的概率.20. (本小题满分13分)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为元,并且每件商品需向总店交元的管理费,预计当每件商品的售价为元时,一年的销售量为万件（）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式；（II）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润最大,并求出的最大值21.(本小题满分13分)已知抛物线y2=2px (p0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.()求t，p的值；()设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中 O为坐标原点）.()求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；()过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.22. (本小题满分13分)已知f(x)xlnxax，g(x)-x22，（）对一切x(0, +)，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（）当a1时，求函数f(x)在m，m3( m0)上的最值；（）证明：对一切x(0, +)，都有lnx1成立。2014年高三年级第六次月考参考答案一、选择题 A C B C D D D A D B二 ，填空题：11. 8 12. 0x4 13. 90 14. -40 15. 6 16. 10.【答案】B ，因为，所以，即函数单调递减，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即数列为首项为，公比的等比数列，所以，由得，解得，选B.11解：点在直线上。 直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有，设两根为， 12.解：|ab|ab|a|f(x)及a0得f(x)恒成立，而2，则f(x)2，从而|x2|2，解得0x4.13解：所以ABEADC，因为ABEADC16.解：（）满足有两种情形：，这样的数列只有个；，这样的数列有个，所以符合题意的数列有个 （）因为数列满足，所以，因为首项，所以 根据题意有末项，所以， 而，于是为正奇数，且中有个和个，要求的最大值，则要求的前项取，后项取所以三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）设函数.（）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式；（）将满足（）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积。17.【答案】解（），（2分） . 由，得. 故函数的单调递减区间是. （4分）（2） 当时，原函数的最大值与最小值的和，.（8分）（3） 由题意知 （10分） =1 （12分）18.(本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使/ 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由 18. (本小题满分12分）【答案】解：（1）证明：取中点，连结，因为，所以因为四边形为直角梯形，所以四边形为正方形，所以 所以平面所以 4分（2）解法1：因为平面平面，且,所以BC平面则即为直线与平面所成的角,设BC=a，则AB=2a，所以,则直角三角形CBE中，即直线与平面所成角的正弦值为 8分解法2：因为平面平面，且 ，所以平面，所以 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，则所以 ，平面的一个法向量为设直线与平面所成的角为，所以 ， 即直线与平面所成角的正弦值为8分 （3）解：存在点，且时，有/ 平面 证明如下：由 ，所以设平面的法向量为，则有所以 取，得因为 ，且平面，所以 / 平面 即点满足时，有/ 平面12分19（本小题满分12分）2014年3月1日部分高校在湖南省城长沙举行自主招生笔试，岳阳、长沙两城之间开通了高速列车，假设岳阳到长沙每天8：009：00，9：0010：00两个时间段内各有一趟列车岳阳到长沙（两车发车情况互不影响），岳阳发车时间及其概率如下表所示 ：发车时间8:108:308:509:109:309:50概率若甲、乙两位同学打算从岳阳到长沙参加自主招生，假设他们到达岳阳火车站候车的时间分别是周五8：00和周六8：20.（只考虑候车时间，不考虑其它因素）（1）设乙同学候车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（2）求甲、乙二人候车时间相等的概率.19. (本小题满分12分）解：（1）X的所有可能取值为10、 30、 50、 70、90（分钟）.2分其概率分布列如下X1030507090P .6分（2）甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为 ， ，；8分， ，10分所以+，即甲、乙二人候车时间相等的概率为12分20. (本小题满分13分)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为元,并且每件商品需向总店交元的管理费,预计当每件商品的售价为元时,一年的销售量为万件（）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式；（II）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润最大,并求出的最大值20.解: （）由题得该连锁分店一年的利润（万元）与售价的函数关系式为. 5分（）7分令，得或 . 当，即时，时，在上单调递减，故 当，即时，时，；时，在上单调递增；在上单调递减，故11分答:当每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元；当每件商品的售价为元时,该连锁分店一年的利润最大,最大值为万元. 12分21.(本小题满分13分)已知抛物线y2=2px (p0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4. ()求t，p的值；()设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中 O为坐标原点）.()求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；()过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.21. (本小题满分13分)解：()由已知得，所以抛物线方程为y2=4x，代入可解得.4分() ()设直线AB的方程为，、 ，联立得，则，.6分由得：或（舍去），即，所以直线AB过定点；8分()由()得，同理得，则四边形ACBD面积，令，则是关于的增函数，故.当且仅当时取到最小值96. 13分22. (本小题满分13分)已知f(x)xlnxax，g(x)-x22，（）对一切x(0, +)，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（）当a1时，求函数f(x)在m，m3( m0)上的最值；（）证明：对一切x(0, +)，都有