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1 有限元知识点归纳及有限元知识点归纳及复习题复习题 1 有限元解的特点 原因 有限元解的特点 原因 答 有限元解一般偏小 即位移解下限性 原因 单元原是连续体的一部分 具有无限多个自 由度 在假定了单元的位移函数后 自由度限制为 只有以节点位移表示的有限自由度 即位移函数对 单元的变形进行了约束和限制 使单元的刚度较实 际连续体加强了 因此 连续体的整体刚度随之增 加 离散后的刚度较实际的刚度 K 为大 因此求得 的位移近似解总体上将小于精确解 2 形函数收敛准则 写出某种单元的形函数 形函数收敛准则 写出某种单元的形函数 并讨论收敛性 王勖成并讨论收敛性 王勖成 P49 1 在节点 i 处 Ni 1 其它节点 Ni 0 2 在单元之间 必须使由其定义的未知量连续 3 应包含完全一次多项式 4 应满足 Ni 1 以上条件是使单元满足收敛条件所必须得 可以推 证 由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调 的单元 所以一定是收敛的 形函数特点形函数特点 即插值基函数 反映了单元的位移形态 由节点位 移求单元内任意一点的位移 1 形函数 Ni 为 x y 坐标的函数 与位移函数有相 同的阶次 2 形 函 数 Ni在i节 点 处 的 值 等 于1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 iiiijjimm jiijjjjmm miimjjmmm N x yN xyN xy Nx yNxyNxy Nx yNxyNxy 类似 而在其他节点上的值为 0 3 单元内任一点的三个形函数之和恒等于 1 1 ijm N x yNx yNx y 4 形函数的值在 0 1 间变化 形函数的性质形函数的性质 a 形函数 Ni 在结点 i 上的值等于 1 在其他结点 上的值等于 0 b 在单元中的任一点 三个形函数之和等于 1 c 在三角形单元边界 ij 上一点 x y 有形函数公 式 1 i i ji xx N x y xx 1 i j ji xx Nx y xx 0 m Nx y d 形函数 Ni 在单元上的面积积分和边界 ij 上的线 积分公式为 3 i A A N dxdy 1 2 i ij N dlij ij为 ij 边的长度 4 等参元的概念 特点 用时注意什么 王 等参元的概念 特点 用时注意什么 王 勖成勖成 P131 答 等参元 为了将局部坐标中几何形状规则的单 元转换成总体 笛卡尔 坐标中的几何形状扭曲的 单元 以满足对一般形状求解域进行离散化的需 要 必须建立一个坐标变换 即 为建立上述的变换 最方便的方法是将上式表示成 插值函数的形式 即 其中 m是用以进行坐标变换的单元节点数 xi yi zi 是这些结点在总体 笛卡尔 坐标内的坐标值 Ni 称为形状函数 实际上它也是局部坐标表示的插值 函数 称前者为母单元 后者为子单元 还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式 在形式上是相同的 如果坐标变换和函数插值采用 相同的结点 并且采用相同的插值函数 即 m n Ni Ni 则称这种变换为等参变换 等参单元定义 存在条件及特性等参单元定义 存在条件及特性 定义 矩形单元比三角形有更高的精度 而三 角形有较矩形单元更好的边界适应性 实际工程 中 往往更希望有单元精度高 边界适应性好的单 元 等参单元具有此特点 即以规则形状单元 如 正四边形 正六面体单元等 的位移函数相同阶次 函数为单元几何边界的变换函数 进行坐标变换所 获得的单元 由于单元几何边界的变换式与规则单 2 元的位移函数有相同的节点参数 故称由此获得的 单元为等参单元 借助于等参单元可以对一般任意 形状的求解域方便地进行有限元离散 等参变换 采用相同的节点数和形函数 将 局部坐标下的规则形状单元转换为总体坐标下几 何形状扭曲的单元 以满足任意形状离散的要求 存在条件及特性 等参单元为协调元 满足有限元解收敛的充 要条件 等参单元存在的充要条件是 0J J 称 为 Jacobi 矩阵 由坐标变换式确定 当 J 的逆存在 时 则形函数对 x y 的导数可求 即应变阵可求 为了保证能进行等参变换 即总体坐标与局 部坐标一一对应 通常要求总体坐标系下的单元为 凸 即不能有内角大于或等于或接近 180 度情况 等参单元的优点是当单元边界呈二次以上 的曲线时 容易用很少的单元去逼近曲线边界 上述等参单元的理论公式可适应三次以上 的曲线型等参元 只是阶次提高 单元自由度相应 增加 计算更复杂 积分更困难 实际中 很少超 过 3 次曲线型 上述推导要求 保持坐标变换中几何模式阶次与描 述单元位移函数中形函数的阶次相同 如取坐标变 换的几何模式阶次较单元的位移函数的阶次高 则 称此单元为超单元 反之 为亚单元 这两类单元 的收敛性也可得到满足 5 单元离散 单元离散 P42 答 离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有 限个部分 各部分之间用有限个点相连 每个部分 称为一个单元 连接点称为结点 对于平面问题 最简单 最常用的离散方式是将其分解成有限个三 角形单元 单元之间在三角形顶点上相连 这种单 元称为常应变三角形单元 常用的单元离散有三节 点三角形单元 六节点三角形单元 四节点四边形 单元 八节点四边形单元以及等参元 6 数值积分 阶次选择的基本要求 数值积分 阶次选择的基本要求 答 通常是选用高斯积分 积分阶次的选择 采用数值积分代替精确积 分时 积分阶数的选取应适当 因为它直接影响计 算精度 计算工作量 选择时主要从两方面考虑 一是要保证积分的精度 不损失收敛性 二是要避 免引起结构总刚度矩阵的奇异性 导致计算的失 败 7 有限元法的基本原理 有限元法的基本原理 是一种工程物理问题的数值分析方法 根据近似分 割和能量极值原理 把求解区域离散为有限个单元 的组合 研究每个单元的特性 组装各单元 通过 变分原理 把问题化成线性代数方程组求解 分析指导思想 化整为零 裁弯取直 以简驭繁 变难为易 有限元分析的基本步骤有限元分析的基本步骤 1 将结构进行离散化 包括单元划分 结点编 号 单元编号 结点坐标计算 位移约束条件确定 2 等效结点力的计算 3 刚度矩阵的计算 先逐个计算单元刚度 再 组装成整体刚度矩阵 4 建立整体平衡方程 引入约束条件 求解结 点位移 5 应力计算 8 单元位移函数应满足什么条件单元位移函数应满足什么条件 a 位移模式必须能反映单元的刚体位移位移模式必 须能反映单元的常量应变位移模式应尽可能反映 位移的连续性 相邻单元间要协调 9 刚度矩阵具有什么特点刚度矩阵具有什么特点 A 刚度矩阵是对称矩阵 每个元素有明确的物理 意义 刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的 B 刚度矩阵是一个稀疏矩阵 C 刚度矩阵是一个奇异阵 1 单元分析 平面桁架单元 平面梁单元 平面 3 3 节点三角形单元 平面 4 节点四边形单元 平面 8 节点四边形单元 10 整体平衡方程中约束条件的处理 整体平衡方程中约束条件的处理 A 划行划列法 零位移约束条件 非零位移约束条件 B 乘大数法 11 平面问题中的应力分量应满足哪些条件平面问题中的应力分量应满足哪些条件 A 平衡微分方程 相容方程 应力边界条件 多 连体中的位移单值条件 B 代入相容方程 不满足相容方程 不是可能的 解答 C 代入相容方程 不满足相容方程 由此求得的 位移分量不存在 12 位移函数的收敛性条件 协调元 非位移函数的收敛性条件 协调元 非 协调元 及单元协调性的判断协调元 及单元协调性的判断 影响有限元解的误差 1 离散误差 2 位移函数 误差 收敛准则 1 位移函数必须包括常量应变 即线形项 2 6 35 x y xy u x v y uv yx 3节 点三角形单元为例证明 2 位移函数必须包括单元的刚体位移 即单元应 变 2635 为 0 时的位移 即常量项 10 40 v uy x 平动和转动 3 位移函数在单元内部必须连续 连续性 条件 因为线性函数 内部连续 4 位移函数应使得相邻单元间的位移协调 协调 性条件 相邻单元在公共边界上位移值相同 设公共边界直线方程为 y Ax B 代入位移函数可 得 边界上位移为 123 456 uxAxB vxAxB u v 仍为线性函数 即公共边界上位移连续协调 综上所述 常应变三角形单元的位移函数满 足解的收敛性条件 称此单元为协调单元 注 上述四个条件称为有限元解收敛于真实解 的充分条件 前三个条件称为必要条件 满足四个 条件的位移函数构成的单元称为协调元 满足前三 个条件的单元称为非协调元 满足前两个条件的单 元称为完备元 13 位移函数的位移函数的构造构造方法及基本条件方法及基本条件 定义 有限单元法的基本原理是分块近似 对每个 单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数 在其上的分布规律 该简单函数可由单元节点上物 理量来表示 通常称为插值函数或位移函数 1 广义坐标法 构造一维单元位移函数 2 011 2 012 1 n n n T n u xxxx u x xxx 简记为 123 456 v uxy xy 3 节点三角形单元的位移函 数 i 为待定系数 也称为广义坐标 2 插值函数法 即将位移函数表示为各个节 点位移与已知插值基函数积的和 一维 1122 1 n ii u xN x uNx u N x u 二维 1 1 n ii n ii u x yN u v x yN v Ni 可为形函数 选择位移函数的一般原则 基本条件 1 位移函数在单元节点的值应等于节点位移 即 4 单元内部是连续的 2 所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实 解 注 为了便于微积分运算 位移函数一般采用多项 式形式 在单元内选取适当阶次的多项式可得到与 真实解接近的近似解 14 平面应力 平面应变问题 空间问题 轴对 称问题 板壳问题 杆梁问题 温度场 线性问题 非线性问题 材料非线性 几何非线性 等 1 平面应力问题 平面应力问题 如等厚度薄板 弹性体在一 个坐标方向的几何尺寸远小于其他两个方向的几 何尺寸 只受平行于板面 且不沿厚度变化的外力 表面力或体积力 在六个应力分量中 只需要研究剩下的平行于 XOY 平面的三个应力分量 即 xyx yyx 000 zzxxzzyyz 一般 0 z z 并不一定等于零 但可由 x 及 y 求得 在分析问题时不必考虑 于是只需要考虑 xyxy 三个应变分量即可 2 平面应变问题 平面应变问题 如长厚壁圆筒 受均匀内压 或外压 重力坝 一纵向 即 Z 向 很长 且沿横截面不变的物体 受 有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力 所有一切应力分量 应变分量和位移分量都不沿 Z 方向变化 它们都只是 x 和 y 的函数 此外 在这 一情况下 由于对称 任一横截面都可以看作对称 面 所有各点都只会有 x 和 y 方向的位移而不会有 Z 方向的位移 即 w 0 这种问题称为平面位移问 题 习惯上常称为平面应变问题 0 zyzzx 只剩下三个应变分量 xyxy 也只需要考虑 xyxy 三个应力分量即可 两种平面问题 几何方程 虚功方程 物理方程相 同 弹性矩阵不同 3 空间轴对称问题空间轴对称问题 即弹性体内任一点的位 移 应力与应变只与坐标 r z 有关 与 无关 几何形状关于轴线对称 作用于其上的载荷关于轴线对称 约束条件关于轴线对称 轴对称单元的特点 与平面三角形单元的区别 轴对称单元为圆环体 单元与单元间为节圆 相连接 节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布 力 单元边界是一回转面 应变分量 中出现了 r u r 即应变不 是常量 且应变矩阵在 r 0 时 存在奇异点 需 特殊处理 通常用该单元的形心坐标替代节点坐 标 4 力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸 小很多的平板 1111 8010058 t b 薄板 且能承受横向或 垂直于板面的载荷 如板不是平板而为曲的 指一 个单元 则称为壳问题 如作用于板上的载荷仅 为平行于板面的纵向载荷 则称为平面应力问 题 如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载 荷 则称为板的弯扭问题 常简称板的弯曲问题 常用的单元有三角形和矩形 为了使相邻单元 间同时可传递力和力矩 节点当作刚性节点 即节 点处同时有节点力和节点力矩作用 每个节点有三 个自由度 即一个扰度和分别绕 x y 轴的转角 薄板矩形 三角形单元是非协调单元 相邻单元 在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续 但实践表明 当单元细分 其解完全能收敛真实解 5 15 有限元法的基本思想 二次近似 与有限元法的基本思想 二次近似 与 有限元分析的基本步骤 有限元分析的基本步骤 5 步 步 有限元法的基本思想 先将求解域离散为有限个单元 单元与单元 只在节点相互连接 即原始连续求解域用有限个 单元的集合近似代替 第一次近似 对每个单元选择一个简单的场函数近似表 示真实场函数在其上的分布规律 该简单函数可由 单元节点上物理量来表示 通常称为插值函数或 位移函数 第二近似 基于问题的基本方程 建立单元节点的平衡 方程 即单元刚度方程 借助于矩阵表示 把所有单元的刚度方程组 合成整体的刚度方程 这是一组以节点物理量为未 知量的线形方程组 引入边界条件求解该方程组即 可 有限元分析的基本步骤 所研究问题的数学建模 物体离散 第一次近似 网格划分 即把结构按一定规则分割成有限 单元 边界处理 即把作用于结构边界上约束和 载荷处理为节点约束和节点载荷 要求 1 离散结构必须与原始结构保形 单元的 几何特性 2 一个单元内的物理特性必须相同 单 元的物理特性 单元分析 第二近似 整体分析与求解 整体分析的四个步骤 1 建立整体刚度矩阵 2 根据支承条件修改整体刚度矩阵 3 解方程组 求节点位移 消元法和迭代法 4 根据节点位移求出应力 结果分析及后处理 16 单元刚度矩阵的性质及元素的物理单元刚度矩阵的性质及元素的物理 意义意义 1 对常应变三角形单元 单元刚度阵的一般格式可 表示为 e T V K B D B dxdydz则则 eee FK 它建立了单元的节点力与节点位 移之间的关系 是 6 6 矩阵 其元素表示该单元的 各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力 它决定于该单元的形状 大小 方位和弹性常数 而与单元的位置无关 即不随单元或坐标轴的平行 移动而改变 2 平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度 矩阵 单元刚阵 K 的物理意义是单元受节点力作用后抗 变形的能力 其元素 ij k的意义为 当第 j 个自由度 发生单位位移 而其他自由度的位移为 0 时 在第 i 个自由度上所施加的力 若按节点来说明 则刚 阵中每个子块 ij k表示 当节点 j 处发生单位位移 而其他节点固定时 在节点 i 上所施加的力 K 的 脚码 标有 的表示水平方向 没有标 的表示 垂直方向 ij K表示节点 j 在垂直方向产生单位位移时 在节点 i 所需要施加的水平节点力的大小 单元刚度矩阵的性质 1 对称阵 2 主对角线元 素恒为正值 3 奇异阵 即 K 0 4 所有奇数行的对应元素之和为零 所有偶数 行的对应元素之和也为零 由此可见 单元刚阵各 列元素的总和为零 由对称性可知 各行元素的总 和也为零 17 常常用单元的特性 用单元的特性 如如单元单元内部边界内部边界位移位移 应应变变 应力分应力分布布 相邻相邻单元单元边界边界的的协调协调性分性分 析 析 常常应应变变单元单元三角三角形形 四四面体面体 矩形单元矩形单元 等参等参四边四边形单元形单元 矩形矩形板板单元 单元 1 三节点三角形单元三节点三角形单元的位移函数为线性函数 则 单元的应变分量均为常量 故这类三角形单元称为 常应变单元 位移在单元内和边界上为线性变化 应变为常量 6 应变矩阵 B 反映了单元内任一点的应变与节 点位移间的关系 应力矩阵 S 反映了单元内任一点的应力与 节点位移间的关系 显然 常应变三角形单元的应变矩阵 B 为 常量矩阵 说明在该单元上的应力和应变为常值 由此可见 在相邻单元的边界处 应变及应力不连 续 有突变 2 矩形单元 矩形单元 4 节点 8 自由度矩形单元 位移函数 1234 5678 v uxyxy xyxy 该位移函数满足收敛性条件 单元为协调 元 且为等参单元 应变矩阵 B 的元素是 x y 的函数 应力也 是随 x 或 y 线性变化的 较常应变单元有更高的计 算精度 矩形板单元 18 总体刚度矩阵组装原则及总刚阵特点 总体刚度矩阵组装原则及总刚阵特点 1 在整体离散结构变形后 应保证各单元在节点 处仍然协调地相互连接 即在某一节点处所有单元 在该节点上有相同位移 12n iiii L 2 整体离散结构各节点应满足平衡条件 即环绕 每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应等 于 作 用 于 该 节 点 上 的 节 点 载 荷Ri e ii e FR 1 对称性 只存贮矩阵的上三角部分 节省近一 半的存贮容量 2 稀疏性 矩阵的绝大多数元素都是零 非零元 素只占一小部分 节点 5 只与周围的六个节点 2 3 4 6 8 9 用 三角形单元相连 它们是 5 的相关节点 在矩阵 K 中 第 5 行的非零子块只有七个 即与相关节点对应 的七个子块 3 带形分布规律 矩阵 K 的非零元素分布在以对角线为中心的带形 区域内 称为带形矩阵 在半个带形区域中 包括对 角线元素在内 每行具有的元素个数叫做半带宽 用 d 表示 半带宽的一般计算公式是 半带宽 d 相邻结点码的最大差值 1 2 利用带形矩阵的特点并利用对称性 可只存贮 上半带的元素 叫半带存贮 同一网格中 应当采用合理的节点编码方式 以便 得到最小的半带宽 从而节省存贮容量 2 单元刚阵计算 在单元刚阵 e k中 e ij k 表示 j 节点单位位移 其他节点位移为零时 单元 e 在 i 节点引起的节点 力 类似 在整体刚阵中 ij k 表示 j 节点单位位 移 其他节点位移为零时 整体结构在 i 节点引起 的节点力 由于结构已被离散为一系列单元 即所 有与 i j 节点相关的单元在 i 节点引起的节点力之 和 如 计算 23 k 时 与节点 2 和 3 相关的单元有单 元 和 当节点 3 发生单位位移时 相关单元 和 同时在节点 2 引起节点力 将相关单元在节点 2 的节点力相加 就得出结构在节点 2 的节点力 13 232323 kkk 3 总体刚度矩阵组装 1 结构中的节点编码称为节点的总码 各个单元 的三个节点又按逆时针方向编为 i j m 称为节点的 局部码 在单元刚度矩阵中 把节点的局部码换成 总码 并把其中的子块按照总码次序重新排列 得 到扩大的单元刚度方程 2 据节点力平衡 各个单元相应节点力叠加 节点 载荷 i 1 6 e ii e FR 3 整理可得整体平衡方程 KR 其中 7 K 为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度 矩阵 有限元法 复习题 有限元法 复习题 一 填空一 填空 1 有限元法是近似求解 场问题的数 值方法 2 有限元法将连续的求解域 得到有限个 单元 单元和单元之间用 相连 3 直梁在外力作用下 横截面上 的内力有 和 两个 4 平面刚架结构在外力作用下 横截面上的内力 有 和 5 进行直梁的有限元分析 梁单元上每个节点的 节点位移为 和 6 平面刚架结构中 已知单元 e 的坐标变换矩阵 T e 及局部坐标系 x O y 下的单元刚度矩阵 K e 则单元在整体坐标系 xOy 下的单元刚度矩阵 为 7 平面刚架结构中 已知单元 e的坐标变换矩阵 Te 及整体坐标系 xOy 下的单元节点力矩阵 p e 则单元在局部坐标系 x O y 下的单元节点力矩 阵为 8 在弹性范围和小变形的前提下 节点力和节点 位移之间是 关系 9 弹性力学问题的方程个数有 个 未知量个 数有 个 10 弹性力学平面问题的方程个数有 个 未 知量个数有 个 11 把经过物体内任意一点各个 上的应力状 况叫做 的应力状态 12 形 函 数 在 单 元 节 点 上 的 值 具 有 本 点 为 它点为零的性质 并且在三角形 单 元 的 任 一 节 点 上 三 个 形 函 数 之 和 为 13 形函数是 单元内部坐标的 函数 14 在进行节点编号时 要尽量使同一单元的相邻 节点的 尽可能小 以便最大限度地 缩小刚度矩阵带宽 节省存储 提高计算效率 15 三角形单元的位移模式 为 16 矩形单元的位移模式 为 17 在选择多项式位移模式的阶次时 要求 与局部坐标系的方位无关的性质称为 各向 同性 18 单元 刚度 矩阵 描 述了 和 之间的关系 19 在选择多项式作为单元的位移模式时 多项式 阶次的确定 要考虑解答的收敛性 即要满足单元 的 和 要求 20 三节点三角形单元内的应力和应变是 四节点矩形单元内的应力和应变是 变化 的 21 在矩形单元的边界上 位移是 变化的 22 整体刚度矩阵是一个呈 分布的 稀疏矩阵 23 整体刚度矩阵 K 是一个奇异阵 在排除 后 它是正定阵 二 选择题二 选择题 1 从选择未知量的角度来看 有限元法可分为三 类 下面哪种方法不属于其中 A 力法 B 位移法 C 应变 法 D 混合法 2 下述对有限元法特点的描述中 哪种说法是错 误的 A 可以模拟各种几何形状复杂的结构 得出其 近似解 B 解题步骤可以系统化 标准化 C 容易处理非均匀连续介质 可以求解非线性 问题 D 需要适用于整个结构的插值函数 3 几何方程研究的是 之间关系的方程 式 A 应变和位移 B 应力和体力 C 应力和位 移 D 应力和应变 4 物理方程研究的是 之间关系的方程 式 A 应变和位移 B 应力和体力 C 应力和位 移 D 应力和应变 5 平衡方程研究的是 之间关系的方程 式 A 应变和位移 B 应力和体力 C 应力和位 移 D 应力和应变 6 在划分单元时 下列哪种说法是错误的 A 一般首选矩形单元 B 可以同时选用两种或 两种以上的单元 C 节点与节点相连 D 划分单元的数目 视 要求的计算精度和计算机性能而定 7 下面哪种单元的单元刚度矩阵必须通过积分计 算才能得到 A 杆单元 B 梁单元 C 等厚度三角形 单元 D 矩形单元 8 单元的刚度不取决于下列哪种因素 A 单元大小 B 单元位置 C 弹性常数 D 单元方向 9 可以证明 在给定载荷作用下 有限元计算 模型的变形与实际结构变形之间的关系为 A 前者大于后者 B 前者小于后者 C 两者相等 D 不确定 10 ANSYS 按功能作用可分为若干个处理器 其中 用于施加载荷及边界条件 A 前处理器 B 求解器 C 后 8 处理器 D 辅助处理器 11 下面关于有限元分析法的描述中 那种说法是 错误的 A 分布载荷与自由边界的分界点 支撑点等应 取为节点 B 单元之间通过其边界连接成组合体 C 应力变化梯度较大的部位划分的单元可小一些 D 单元各边的长度以及各内角不应相差太大 12 下列关于等参单元的描述中 哪种说法是错误 的 A 应用范围广 B 可以灵活地增减节点 容易构造各种过渡单元 C 将规则单元变换为不规则单元后 易于构造位移 模式 D 推导过程具有通用性 13 从选择未知量的角度来看 有限元法可分为三 类 混合法的未知量是 A 节点位移和应变 B 节点力和应变 C 节点力和节点位移 D 不确定 14 下述对有限元法特点的描述中 哪种说法是错 误的 A 复杂问题的有限单元分析计算 可能会耗费 相当惊人的计算资源 B 对有限求解域问题没有较好的处理方法 C 划分网格时 需依赖使用者的经验 D 较容易处理非均匀连续介质 15 在划分单元时 下列哪种说法是错误的 A 杆件的交点取为节点 B 集中载荷作用处 取为节点 C 单元长度不能相差太大 D 自由端不能取为 节点 16 对于平面问题 在选单元时一般首选 A 六面体单元 B 矩形单元 C 四面体 单元 D 三角形单元或等参单元 17 下面哪种说法不是形函数的性质 A 本点为 1 它点为 0 B 在单元的 任一节点上 三个形函数之和为 1 C 三角形单元任一条边上的形函数 与三角形 的三个节点坐标都有关 D 相邻单元的位移分别进行线性插值后 在其 公共边上将是连续的 18 下面四种假设中 那种不属于分析弹性力学的 基本假设 A 连续性假设 B 完全弹性假设 C 大变形假设 D 均匀性假设 19 下面四种假设中 那种不属于分析弹性力学的 基本假设 A 无初应力假设 B 有限变形假设 C 各向同性假设 D 小变形假设 20 下列关于三角形单元的说法中哪种是错误的 A 位移在单元内是线性的 B 应变和应力 在单元内是常数 C 在单元的公共边界上应力和应变的值是连续 的 D 其形函数是线性的 21 应用圣维南原理简化边界条件时 是将物体 的一小部分边界上的面力 变换为分布不同但静 力等效的面力 这里的 静力等效 是指变化前 后的力系的 A 主矢量相同 B 对于同一 点的主矩相同 C 主矢量相同 主矩也相同 D 主矢量相 同 对于同一点的主矩也相同 22 描述平面问题一点应力状态需要的应力分量是 A x y xy B y z xy C x xz xy D x yz xz 23 描 述 一 点 的 应 力 状 态 需 要 的 应 力 分 量 是 A 2 个 B 3 个 C 6 个 D 9 个 24 在选择多项式作为单元的位移模式时 多项式 阶次的确定 要考虑解答的收敛性 那种说法不是 单元须满足的要求 A 完备性 B 协调性 C 几何各向同性 D 对称性 三 问答题三 问答题 1 试述节点力和节点载荷的区别 2 试述求整体刚度矩阵的两种方法 3 平面应力问题和平面应变问题的区别是什么 试各举出一个典型平面应力问题和平面应变问题 的实例 4 试述平面应力问题和平面应变问题的特点 5 试分别叙述三角形单元和矩形单元的优缺点 6 在等厚度三角形平面问题中 试述节点位移 e 分别与应变 应力 及节点载荷 F 之间的 关系 其中厚度为 t 三角形单元面积为 A 7 平面问题中划分单元的数目是否越多越好 8 写出弹性力学中平面应力问题的几何方程 物 理方程及平衡方程 9 写出单元刚度矩阵的表达式 并说明单元刚度 与那些因素有关 10 弹性力学的基本假设有哪些 11 整体刚度矩阵有哪些性质 12 各向同性材料有几个弹性常数 它们分别是什 么 其中独立的有几个 为什么 13 描述一点的应力状态需要几个应力分量 为什 么 14 有限元法解的收敛性主要取决于什么 15 为了保证解答的收敛性 单元的位移模式必须 满足什么条件 16 选则多项式为单元的位移模式时 除了要满 9 足单元的完备性和协调性要求 还须考虑什么因 素 17 试用分块矩阵形式写出下图所示平面结构的整 体刚度矩阵 7 以三节点三角形单元为例 简述有限单元法求 解离散化结构的具体步骤 1 取三角形单元的结点位移为基本未知量 2 应用插值公式 由单元的结点位移求出 单元的位移函数 3 应用几何方程 由单元的位移函数求出 单元的应变 4 应用物理方程 由单元的应变求出单元 的应力 5 应用虚功方程 由单元的应力出单元的 结点力 6 应用虚功方程 将单元中的各种外力荷 载向结点移置 求出单元的结点荷载 7 列出各结点的平衡方程 组成整个结构 的平衡方程组 8 为了保证有限单元法解答的收敛性 位移模式 应满足哪些条件 答答 为了保证有限单元法解答的收敛性 位移模式 应满足下列条件 1 位移模式必须能反映单元的 刚体位移 2 位移模式必须能反映单元的常量应 变 3 位移模式应尽可能反映位移的连续性 9 在有限单元法中 为什么要求位移模式必须能 反映单元的刚体位移 每个单元的位移一般总是包含着两部分 一部 分是由本单元的形变引起的 另一部分是本单元的 形变无关的 即刚体位移 它是由于其他单元发生 了形变而连带引起的 甚至在弹性体的某些部位 例如在靠近悬臂梁的自由端处 单元的形变很小 单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起 的刚体位移 因此 为了正确反映单元的位移形态 位移模式必须能反映该单元的刚体位移 10 在有限单元法中 为什么要求位移模式必须能 反映单元的常量应变 答答 每个单元的应变一般总是包含着两部分 一部 分是与该单元中各点的位置坐标有关的 是各点不 相同的 即所谓变量应变 另一部分是与位置坐标 无关的 是各点相同的 即所谓常量应变 而且 当单元的尺寸较小时 单元中各点的应变趋于相 等 也就是单元的应变趋于均匀 因而常量应变就 成为应变的主要部分 因此 为了正确反映单元的 形变状态 位移模式必须能反映该单元的常量应 变 11 在平面三结点三角形单元中 能否选取如下的 位移模式并说明理由 1 yxyxu 3 2 21 2 654 yxyxv 2 2 32 2 1 yxyxyxu 2 65 2 4 yxyxyxv 答答 1 不能采用 因为位移模式没有反映全部的 刚体位移和常量应变项 对坐标 x y 不对等 在单 元边界上的连续性条件也未能完全满足 2 不能采用 因为 位移模式没有反映刚 体位移和常量应变项 在单元边界上的连续性条件 也不满足 14 有限单元法首先将连续体变换成为离散化结 构 然后再用结构力学位移法进行求解 其具 体步骤分为单元分析和整体分析两部分 15 每个单元的位移一般总是包含着两部分 一部 分是由本单元的形变引起的 另一部分是由于 其他单元发生了形变而连带引起的 16 每个单元的应变一般总是包含着两部分 一部 分是与该单元中各点的位置坐标有关的 是各 点不相同的 即所谓变量应变 另一部分是与 位置坐标无关的 是各点相同的 即所谓常量 应变 17 为了能从有限单元法得出正确的解答 位移模 式必须能反映单元的刚体位移和常量应变 还 应当尽可能反映相邻单元的位移连续性 18 为了使得单元内部的位移保持连续 必须把位 移模式取为坐标的单值连续函数 为了使得相 邻单元的位移保持连续 就不仅要使它们在公 共结点处具有相同的位移时 也能在整个公共 边界上具有相同的位移 19 在有限单元法中 单元的形函数 Ni在 i 结点 Ni 1 在其他结点 Ni 0 及 Ni 1 20 为了提高有限单元法分析的精度 一般可以采 用两种方法 一是将单元的尺寸减小 以便较 好地反映位移和应力变化情况 二是采用包含 更高次项的位移模式 使位移和应力的精度提 高 10 二 判断题二 判断题 请在正确命题后的括号内打 在错误命题后的括号内打 1 连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个 物体的介质所填满 不留下任何空隙 2 均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个 物体的介质所填满 不留下任何空隙 3 连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的 4 平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完 全相同的 5 如果某一问题中 0 zyzxz 只存在平面 应力分量 x y xy 且它们不沿 z 方向变 化 仅为 x y 的函数 此问题是平面应力问题 6 如果某一问题中 0 zyzxz 只存在平面 应变分量 x y xy 且它们不沿 z 方向变 化 仅为 x y 的函数 此问题是平面应变问题 7 表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平 衡微分方程 8 表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物 理方程 9 当物体的形变分量完全确定时 位移分量却不 能完全确定 10 当物体的位移分量完全确定时 形变分量即完 全确定 11 按应力求解平面问题时常采用位移法和应力 法 12 按应力求解平面问题 最后可以归纳为求解一 个应力函数 13 在有限单元法中 结点力是指单元对结点的作 用力 14 在有限单元法中 结点力是指结点对单元的作 用力 15 在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和 应力均有突变 一 单选题 1 平面刚架单元坐标转换矩阵的阶数为 A 2 2 B 2 4 C 4 4 D 6 6 2 图示的四根杆组成的平面刚架结构 用杆单元进 行有限元分析 单元和节点的划分如图示 则总体 刚度矩阵的大小为 A 8 8 阶矩阵 B 10 10 阶矩阵 C 12 12 阶 矩阵 D 16 16 阶矩阵 3 坐标转换矩阵可归类为 A 正交矩阵 B 奇异矩阵 C 正定矩阵 D 对称矩阵 4 图示弹簧系统的总体刚度矩阵为 A 11 11232 2244 434 00 0 0 00 kk kkkkk kkkk kkk B 11 1122 2244 434 00 0 0 00 kk kkkk kkkk kkk C 11 112323 2244 3434 00 0 0 kk kkkkkk kkkk kkkk D 11 11223 2244 3434 00 0 0 kk kkkkk kkkk kkkk 5 确定已知三角形单元的局部码为 1 e 2 e 3 e 对应 总码依次为 3 6 4 则其单元的刚度矩阵中的 元素 k24应放在总体刚度矩阵的 A 1 行 2 列 B 3 行 12 列 C 6 行 12 列 D 3 行 6 列 6 对一根只受轴向载荷的杆单元 k12为负号的物理 意义可理解为 A 当节点 2 沿轴向产生位移时 在节点 1 引起的载 荷与其方向相同 B 当节点 2 沿轴向产生位移时 在节点 1 引起的载 荷与其方向相反 C 当节点 2 沿轴向 产生位移时 在节点 1 引起的位移与其 方向相同 11 D 当节点 2 沿轴向产生位移时 在节点 1 引起的位 移与其方向相反 7 平面桁架中 节点 3 处铅直方向位移为已知 若 用置大数法引入支承条件 则应将总体刚度矩阵中 的 A 第 3 行和第 3 列上的所有元素换为大数 A B 第 6 行第 6 列上的对角线元素乘以大数 A C 第 3 行 和 第 3 列 上 的 所 有 元 素 换 为 零 D 第 6 行和第 6 列上的所有元素换为零 8 在任何一个单元内 A 只有节点符合位移模式 B 只有边界点符合位移模式 C 只有边界点和节点符合位移模式 D 单元内任意点均符合位移模式 9 平面应力问题中 Z 轴与该平面垂直 所有非零应 力分量均位于 A XY 平面内 B XZ 平面内 C YZ 平面 内 D XYZ 空间内 12 刚架杆单元与平面三角形单元 A 单元刚度矩阵阶数不同 B 局部坐标系的 维数不同 C 无任何不同 D 节点载荷和位移 分量数不同 13 图示平面结构的总体刚度矩阵 和竖带矩 阵 K 的元素总数分别是 A 400 和 200 B 400 和 160 C 484 和 200 D 484 和 160 14 在有限元分析中 划分单元时 在应力变化大的 区域应该 A 单元数量应多一些 单元尺寸小一些 B 单元数量应少一些 单元尺寸大一些 C 单元数量应多一些 单元尺寸大一些 D 单元尺寸和数量随便确定 15 在平面应力问题中 沿板厚方向 A 应变为零 但应力不为零 B 应力为零 但应变不为零 C 应变 应力都为零 D 应变 应力都不为零 16 若把平面应力问题的单元刚度矩阵改为平面应 变问题的单元刚度矩阵只需将 A E 换成 E 1 2 换成 1 2 B E 换成 E 1 2 换成 1 C E 换成 E 1 换成 1 2 D E 换成 E 1 换成 1 17 图示三角形单元非节点载荷的节点等效载荷为 A Fyi 100KN Fyj 50KN Fyk 0 B Fyi 80KN Fyj 70KN Fyk 0 C Fyi 70KN Fyj 80KN Fyk 0 D Fyi 50KN Fyj 100KN Fyk 0 18 半斜带宽矩阵 r 行 s 列的元素对应于竖带矩阵 元素 A r 行 s 列 B r 行 s r 列 C r 行 s r 1 列 D r 行 s r 1 列 19 已知单元的节点局部与总码的对应关系如下 单 元 e 1 e 2 e 3 e 5 4 2 试写出单元 e 在整体坐 标中的单元刚度矩阵为 A e K 222425 424445 525455 KKK KKK KKK B e K 555452 454442 252422 KKK KKK KKK C e K 224252 244454 254555 KKK KKK KKK D e K 224525 544424 524222 KKK KKK KKK 20 下 列 哪 一 步 属 于 有 限 元 后 处 理 的 范 畴 A 对变形结果图象化显示 B 网格的划分 C 对节点进行自动编码 D 各节点坐标值 二 多选题 1 整体坐标系中 单元刚度矩阵具有 A 奇异性 B 正定性 C 对称性 D 分块性 E 稀疏性 2 总体刚度矩阵在用划去行列法引入支承条件后具 有的特性有 A 奇异性 B 对称性 C 稀疏性 D 非奇异性 E 分块性 3 平面刚架与平面桁架的不同之处表现在 A 单元刚度矩阵的阶数不同 B 每个节点的位移 分量数不同 C 单元形状不同 D 每个单元的节点数不同 E 坐标转换矩阵的 阶数不同 三 简答题 12 1 对于平面桁架中的杆单元 其单元刚度矩阵在 局部坐标系中是几阶方阵 在整体坐标系中是 几阶方阵 分析出两坐标系间的坐标转换矩阵 2 在有限元分析中 为什么要采用半带存储 四 计算题 1 图示结构中两个三角形单元的刚度矩阵相同 即 200020 11011 1011 202 31 3 4 11 对称 Et kk 试求 1 总体刚度矩阵 2 引入支承条件和载荷的平衡方程 2 由六根弹簧组成一个弹簧系统 彼此间的连接方 式 各弹簧的刚度系数 节点所受载荷及支承条 件如图所示 写出该系统的总体平衡方程 4 由两根杆组成的平面刚架结构如图示 每根杆的 长度都是 200cm 单元 1 作用分布载荷 q 5N cm 单元 2 作用集中载荷 F 100N 节点和单元划 分如图示 试求等效到节点 1 上的总载荷矢量 一一 填空题填空题 1 有限单元法分析问题的三个主要内容是 有限单元法分析问题的三个主要内容是 2 弹性力学平面问题包括 和 两弹性力学平面问题包括 和 两 类 类 3 平面应力问题等效节点荷载一般形式为 平面应力问题等效节点荷载一般形式为 4 平面问题三角常应变有限元中形函数平面问题三角常应变有限元中形函数 i N之和为之和为 5 平面问题的几何方程为 平面问题的几何方程为 6 平面应力问题的物理方程为 平面应力问题的物理方程为 2 有一个四边形形状的物体 由有一个四边形形状的物体 由4个角点个角点P1 P2 P3 和和 P4 定义 几何变形见图 当它受外力的变形定义 几何变形见图 当它受外力的变形 后 形状见图 求此时物体的位移场和应变场 后 形状见图 求此时物体的位移场和应变场 由形函数由形函数构造构造位移函数 位移函数 可得可得此时的位移此时的位移 场为场为 根据根据几何方程 几何方程 得得单元的应变为单元的应变为 3 一个平面问题的位移场为一个平面问题的位移场为 u x y x2 2y2 6xy 10 4 v x y 3x 6y y2 10 4 求求出出位位于于点点 处处的的 x 1 y 0 处处的的 xx yy xy 13 4 在在 x y 坐标系中的一个单元如题图所示 对它坐标系中的一个单元如题图所示 对它 进行等参元的坐标转换 求变换后的一个点进行等参元的坐标转换 求变换后的一个点 1 0 5 所对应的所对应的 x y 坐标系中的位置 坐标系中的位置 5 请简述有限元法的思想 答 有限元法的基本思想是 1 把变形体看成是有限数目单元体的集合 单元 之间只在指定节点处铰接 再无任何关连 通过这 些节点传递单元之间的相互作用 如此离散的变形 体 即为实际变形体的计算模型 2 分片近似 即对每一个单元选择一个由相关节 点量确定的函数来近似描述其 场变量 如速度或位移 并依据一定的原理建立各 物理量之间的关系式 3 将各个单元所建立的关系式加以集成 得到一 个与有限个节点相关的总体方程 解此总体方程 即可求得有限个节点的未知量 一 般为速度或位移 进而求 得整个问题的近似解 如应力应变 应变速率等 所以有限元法的实质 就是将具有无限个自由度的 连续体 简化成只有有限个自由 度的单元集合体 并用一个较简单问题的解去逼近 复杂问题的解 7 设平面三角形单元内部任意点的位移采用如下 的线性多项式来表示 则单 元内任一点外的应变可表示为 8 求图示结构在所给坐标系下的整体原始刚度矩 阵 各杆件抗压刚度均为 EA 9 计算抗压刚度为 EA 的图示结构在引入边界条件 之前的原始刚度矩阵 10 求图示结构引入边界条件之前的原始整体刚度 矩阵和综合结点荷载列阵 设各杆抗弯刚度为 EI 不考虑轴向变形和剪切影响 11 计算图示常应变三角形单元的单元刚度矩阵 已知弹性模量 E 厚度 t 泊松比 0 14 12 试按图示网格求解结点位移 取 t 1m 0 13 用刚度集成法求下图所示结构的整体刚度矩阵 K 要求 单元刚度矩阵元素用 e ij k形式表示 单元刚度 矩阵用 e K形式表示 其中 e 为单元号 14 已 知 平 面 应 力 问 题 形 函 数 矩 阵已 知 平 面 应 力 问 题 形 函 数 矩 阵 000 000 ijk ijk NNN N NNN 试画出其图形 试画出其图形 i j m i j m NiNj 15 已已知单元知单元结结点力点力 eF 单元 单元结结点位移点位移 eq 单 单 元应变矩元应变矩阵阵 几何矩 几何矩阵阵 B 弹性矩 弹性矩阵阵 D 推推 出出单元单元刚度刚度矩矩阵阵 K e的一般的一般表达表达形式 形式 15 来到昭通来到昭通 有限元分析重点学习有限元分析重点学习 2009 11 27 18 23 51 阅读阅读 1668 评论评论 0 1 诉述有限元法的定义 P1 答 有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方 法 2 有限元法的基本思想是什么 P3 答 首先 将表示结构的连续离散为若干个子域 单元之间通过其边界上的节点连接成组合体 其 次 用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求 解域内待求的未知厂变量 3 有限元法的分类和基本步骤有哪些 P3 答 分类 位移法 力法 混合法 步骤 结构的 离散化 单元分析 单元集成 引入约束条件 求 解线性方程组 得出节点位移 4 有限元法有哪些优缺点 P4 答 优点 有限元法可以模拟各种几何形状复杂的 结构 得出其近似解 通过计算机程序 可以广泛 地应用于各种场合 可以从其他 CAD 软件中导入 建好的模型 数学处理比较方便 对复杂形状的结 构也能适用 有限元法和优化设计方法相结合 以 便发挥各自的优点 缺点 有限元计算 尤其是复杂问题的分析计算 所耗费的计算时间 内存和磁盘空间等计算资源是 相当惊人的 对无限求解域问题没有较好的处理办 法 尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应 技术 但在具体应用时 采用什么类型的单元 多 大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验 5 梁单元和平面钢架结构单元的自由度由 什么确定 答 每个节点上有几个节点位移分量 就称每个节 点有几个自由度 6 简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的 物理意义 P9 答 单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之 间关系的矩阵 单元刚度矩阵中元素 aml的物理意义为单元第 L 个节点位移分量等于 1 其他节点位移分量等于 0 时 对应的第 m个节点力分量 7 有限元法基本方程中的每一项的意义是 什么 P14 答 整个结构的节点载荷列阵 外载荷 约 束力